關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí) 開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)
——以《衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間》一課為例

陳莉群

（泉州師范學(xué)院附屬小學(xué)，福建 泉州 362000）

國(guó)際著名數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾指出：“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是指站在數(shù)學(xué)的角度去觀(guān)察客觀(guān)世界并在此基礎(chǔ)上去思考所獲取的知識(shí)內(nèi)容，關(guān)注與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)不但包括他們已有的人生經(jīng)歷、知識(shí)背景、數(shù)學(xué)思維、抽象能力等，還應(yīng)該包括他們?cè)诋?dāng)下所能夠得到的教育和數(shù)學(xué)成長(zhǎng)，是學(xué)生個(gè)體的、變化的和發(fā)展的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)?！保?］所謂結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指“建立在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，以整體關(guān)聯(lián)為抓手、以動(dòng)態(tài)建構(gòu)為核心，以發(fā)展思維為導(dǎo)向，以提高基本學(xué)力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)所要求的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)方式和方法?！保?］

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的真正目的在于發(fā)展學(xué)習(xí)系統(tǒng)，提高學(xué)科素養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已由大量識(shí)記無(wú)遷移能力的知識(shí)輸入轉(zhuǎn)向?qū)W生自我汲取知識(shí)的教育階段。教學(xué)中，教師要緊密關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，站在整體化、系統(tǒng)化的高度，幫助學(xué)生將新知與原有的認(rèn)知產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的遷移，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、智力和能力體系結(jié)構(gòu)的發(fā)展。本文以北師大版教材四年級(jí)上冊(cè)《衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間》一課為例，談?wù)劵趯W(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)探索。

《衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間》這節(jié)課的主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)，與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相比，算理和算法完全相同。大多數(shù)教師在教學(xué)本課時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生興致不高，學(xué)得不好，看起來(lái)會(huì)了，但是若檢查對(duì)算理的理解，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤百出。面對(duì)這樣的情況，在教學(xué)《衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間》這一課時(shí)，筆者思考的問(wèn)題是：

1.基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（學(xué)生之前學(xué)了三位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩數(shù)），本節(jié)課教什么？

2.如何將教材中編排（或?qū)W生出現(xiàn)）的不同計(jì)算方法之間建立起有序聯(lián)系，讓學(xué)生更加深入理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理？

帶著這樣的思考，認(rèn)真解讀教材與學(xué)生，教師不難發(fā)現(xiàn)，雖然三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)完全一致，但由于增加了因數(shù)位數(shù)，相應(yīng)地提高了計(jì)算的難度，導(dǎo)致了計(jì)算中各種不同情況的出現(xiàn)。因此，本課的學(xué)習(xí)不僅必要，而且重要。本課教學(xué)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中，完成新舊知識(shí)的銜接，掌握筆算的技能，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

基于此，筆者的教學(xué)從以下兩個(gè)方面展開(kāi)。

一、突出本質(zhì)，同化認(rèn)知，在類(lèi)比中理解

學(xué)生在學(xué)習(xí)中的知識(shí)遷移具有完備性和條件性，需要共同因素的作用。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的共同要素，有助于學(xué)生把握表面異質(zhì)的知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系，具有舉一反三、促進(jìn)理解之效。

（一）復(fù)習(xí)鞏固，喚醒經(jīng)驗(yàn)

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，當(dāng)新知識(shí)與原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)程度越深，就越能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)就激活程度越高，越容易實(shí)現(xiàn)對(duì)新知的個(gè)性化學(xué)習(xí)。［3］

上課伊始，先通過(guò)兩道復(fù)習(xí)題，喚起學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在計(jì)算、交流過(guò)程中對(duì)三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法、算理得以回顧，喚醒，對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納整理，同時(shí)為新授作充分的鋪墊，在新舊知識(shí)之間搭起了一座橋梁。

［教學(xué)片段一］

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些乘法計(jì)算？

生：我們學(xué)過(guò)乘法口算、三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。

師：請(qǐng)你用豎式計(jì)算214×7、35×16 這兩道題，并和同桌說(shuō)一說(shuō)計(jì)算過(guò)程。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，并交流。

生：計(jì)算214×7，分別用7 去乘214 各個(gè)數(shù)位上的數(shù)就可以得到結(jié)果。

生：計(jì)算35×16，先用個(gè)位上的6 去乘35，得210，再用十位上的1 去乘35，得35 個(gè)十，也就是350。最后把350 和210 相加就可以。

像這樣，在學(xué)習(xí)中將新知與舊知充分聯(lián)系，從而拓展原有認(rèn)知，將新知融入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，該過(guò)程通常稱(chēng)為“同化”（從舊知探尋新知）。上文所述的學(xué)生通過(guò)調(diào)用“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算方法的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算的新問(wèn)題，這就是同化。同化可以幫助學(xué)生在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到新知識(shí)的可對(duì)應(yīng)內(nèi)容，以便使新知識(shí)與學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)聯(lián)結(jié)，使之處于準(zhǔn)備接受、處理新知識(shí)的狀態(tài)。

（二）經(jīng)驗(yàn)遷移，自主建構(gòu)

學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)是逐步推進(jìn)的。在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法豎式計(jì)算的過(guò)程中，他們經(jīng)歷了一系列的操作體驗(yàn)活動(dòng)，如擺學(xué)具、擺小棒、點(diǎn)子圖等，這些活動(dòng)讓他們直觀(guān)理解了算理，抽象出了算法，在頭腦中形成乘法豎式計(jì)算的位值制模型。所以，本節(jié)課要學(xué)習(xí)的三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算，與前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)比，只是增加了因數(shù)的位數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是借助豎式計(jì)算的位值制模型和算理經(jīng)驗(yàn)，利用遷移規(guī)律展開(kāi)的探究學(xué)習(xí)。因此，本課的學(xué)習(xí)對(duì)于大多數(shù)四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)不會(huì)有太大難度。

［教學(xué)片段二］

1.分析題意，列一列

出示例題：

學(xué)生根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師從學(xué)生提出的問(wèn)題中選取一個(gè)展開(kāi)教學(xué)。

師：繞地球21 圈需要多少時(shí)間？請(qǐng)列出算式，再和同桌說(shuō)一說(shuō)為什么這樣列？

生：因?yàn)槔@地球1 圈要114 分，求繞地球21 圈所用的時(shí)間就是求21 個(gè)114 分是多少。所以列式為：114×21。

2.借助已學(xué)，明晰算理

師：回顧之前所學(xué)，想一想怎么算114×21，并把計(jì)算過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。

生1：把21 分成20 加1，先算20 圈需要多少時(shí)間，用114×20＝2280；再算1 圈需要多少時(shí)間，用114×1＝114；最后把它們合起來(lái)就是21 圈所需的時(shí)間，用2280+114＝2394。

（114×20＝2280 114×1＝114 2280+114＝2394）

生2：我是把21 分解成7×3，然后轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘一位數(shù)來(lái)算就很簡(jiǎn)單。先算114×7=798，再算798×3＝2394。

（114×21＝114×7×3＝798×3＝2394）

生3：我用表格的方法，把114 分成100+10+4，把21 分成20+1，第一行算的是114×20=2280，第二行算的114×1=114，最后把2280 和114 相加，得2394。

生4：我是列豎式計(jì)算的。先算114 乘1 等于114，再算114 乘20 等于2280，最后把兩部分的積相加。

師：咱們請(qǐng)這位同學(xué)把豎式寫(xiě)在黑板上。（板書(shū)豎式）

……

教學(xué)時(shí)，通過(guò)列一列、算一算等活動(dòng)，激活學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。無(wú)論哪種方法，不管是豎式計(jì)算，還是口算，或者借助表格計(jì)算，學(xué)生無(wú)不是嘗試調(diào)用已學(xué)，把新知識(shí)帶入到已學(xué)的舊知識(shí)中，主動(dòng)地進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)。這個(gè)探究的過(guò)程不僅發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，提高運(yùn)算能力，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的計(jì)算做鋪墊。

縱覽有關(guān)計(jì)算教學(xué)，大多數(shù)的新知都是由原有知識(shí)遷移變化，最后整合而形成的。因此，通過(guò)分析知識(shí)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，教師在計(jì)算教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，充分發(fā)揮學(xué)生從舊知探尋新知的優(yōu)勢(shì)，從而幫助學(xué)生建構(gòu)新知，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（三）理解算理，理法交融

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》正式將“運(yùn)算能力”列入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的范疇，“理解算理”成為學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的重要目標(biāo)之一。馬云鵬教授提出：“我們?cè)诶斫馑憷淼倪^(guò)程中，需要學(xué)生具備一定的數(shù)感。在課堂教學(xué)中，語(yǔ)言表征、算式和意象等各種多元化的表現(xiàn)形式都有助于增強(qiáng)和培養(yǎng)學(xué)生對(duì)算理的認(rèn)識(shí)，加深了學(xué)生對(duì)算理的深層感知，進(jìn)而培養(yǎng)和提高學(xué)生的計(jì)算能力?！保?］

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，計(jì)算貫穿始末，而能否靈活運(yùn)用“口算、估算、筆算”這三種計(jì)算，是評(píng)估學(xué)生運(yùn)算能力的重要標(biāo)準(zhǔn)。因此，培養(yǎng)學(xué)生這三種能力是核心追求。

1.筆算的算理

［教學(xué)片段三］

曹培英提出：“算法、算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢。”［5］對(duì)于算理的理解，本課借助情境，先讓學(xué)生自己嘗試用已學(xué)的知識(shí)來(lái)解決，在交流的過(guò)程中，努力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，把學(xué)生的思維引到新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上，還要引導(dǎo)學(xué)生把算理與算法融為一體，比如，說(shuō)清楚怎么算，每一步算什么。學(xué)生在算法的探究中理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上完善算法。

教學(xué)中，學(xué)生只有理解算理才能為算法的建構(gòu)提供有力保障，也只有當(dāng)算理與算法溝通，才能實(shí)現(xiàn)算法根植于算理基礎(chǔ)上的保障“自然生長(zhǎng)”，才能契合數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，真正達(dá)到循“理”入“法”，以“理”馭“法”，構(gòu)建一個(gè)“理”“法”交融的計(jì)算課堂。［4］

2.估算的意識(shí)

［教學(xué)片段四］

師：請(qǐng)你估一估，大概需要多少時(shí)間？

生：把114 看作100，100×21=2100（分），比2100分多。

生：把114 看作110，21 看作20，110×20=2200（分），因?yàn)槲野?14 和21 都估小了所以精確結(jié)果比2200 分多。

生：把114 看作120，把21 看作20，120×20=2400（分），約2400 分。因?yàn)槲野?14 估大，把21 估小，所以精確結(jié)果接近2400 分。

師：說(shuō)得都有道理。估算是為了讓我們更好把握精確結(jié)果的范圍，沒(méi)有固定的答案，方法也可以不相同，只要合理就行。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》指出：估算教學(xué)不僅僅是教給學(xué)生模式化的估算方法，而是通過(guò)教學(xué)使學(xué)生對(duì)估算的意義和價(jià)值有透徹的理解，從而在計(jì)算中靈活運(yùn)用估算技能。為激發(fā)學(xué)生的估算意識(shí)，重點(diǎn)在于賦予學(xué)生實(shí)際體驗(yàn)，積累豐富經(jīng)驗(yàn)。估算的進(jìn)行應(yīng)該盡量結(jié)合具體情境，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又有助于提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，真正達(dá)到學(xué)有所用。教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中估算，初步感知結(jié)果的大小，在交流中感受估算方法的多樣性。

［教學(xué)片段五］

194×21=（），以下哪個(gè)答案正確？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【A.384 B.1494 C.3983 D.4074】

2★6×★1=（）。下面哪個(gè)答案是正確的？

A.576 B.4132 C.31006 D.5376

上述習(xí)題，不同的要求促使學(xué)生深入思考、靈活選用口算、筆算、估算三種方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，既發(fā)展了數(shù)感，也提升運(yùn)算能力。別出心裁的作業(yè)設(shè)計(jì)既融合了估算、筆算、驗(yàn)算和尾數(shù)判斷等多種運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的綜合運(yùn)用，又有效鞏固新學(xué)的計(jì)算方法，還引導(dǎo)學(xué)生在充分交流的過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，估算的必要性及對(duì)筆算的強(qiáng)烈需求水到渠成。

二、連點(diǎn)成線(xiàn)，溝通聯(lián)系，在序列中建構(gòu)

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)一般有兩種途徑：一是依賴(lài)已有的生活經(jīng)驗(yàn)，二是憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)中已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性有一定的建構(gòu)。如果教學(xué)能遵從數(shù)學(xué)自身的邏輯體系并基于此促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，也能為學(xué)生領(lǐng)悟美麗的數(shù)學(xué)風(fēng)景打開(kāi)一扇窗。

［教學(xué)片段六］

師：同學(xué)們用了四種方法來(lái)計(jì)算114×21，這些方法之間有什么聯(lián)系？

生：我發(fā)現(xiàn)第1 種、第3 種和第4 種方法的思路其實(shí)是一樣的，都是先把21 分成20 加1，分別和114 相乘，再把兩個(gè)積相加。

生：這些方法都是先把乘數(shù)拆分成更小的數(shù)來(lái)計(jì)算，再把計(jì)算結(jié)果合起來(lái)。

生：我還發(fā)現(xiàn)這些方法都是把三位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的來(lái)計(jì)算。

師：是的。這些方法不同，但道理相同，都是利用“先分后合”的思路，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決。

在這個(gè)環(huán)節(jié)，以問(wèn)題“這幾種方法有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？（有什么聯(lián)系？）”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、比較、發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算和口算、借助表格計(jì)算之間的聯(lián)系，都是把除數(shù)先拆分成較簡(jiǎn)單的進(jìn)行計(jì)算，再把結(jié)果合起來(lái)，也轉(zhuǎn)化成已學(xué)的知識(shí)來(lái)解決，幫助學(xué)生搭建豎式和算理之間的橋梁，真正理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，找到豎式的“根”。

［教學(xué)片段七］

師：兩位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘兩位數(shù)在計(jì)算方法上有什么相同點(diǎn)？

生：它們的計(jì)算方法是一樣的。都是先用乘數(shù)個(gè)數(shù)上的數(shù)去乘另一個(gè)乘數(shù)，得到幾個(gè)一，再用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘另一個(gè)乘數(shù)，得到幾個(gè)十，再把結(jié)果加起來(lái)。

師：你認(rèn)為更多位數(shù)的整數(shù)乘法應(yīng)該怎么算？

生：我認(rèn)為更多位數(shù)的整數(shù)乘法也是和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法一樣。

教學(xué)中，通過(guò)呈現(xiàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)再延伸多位數(shù)乘多位數(shù)，在觀(guān)察比較、溝通聯(lián)系、遷移應(yīng)用中不斷建立新知識(shí)與已有知識(shí)的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生深入思考，梳理知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)習(xí)感受，發(fā)展思維素養(yǎng)。

總之，教學(xué)時(shí)，教師要站在知識(shí)系統(tǒng)的高度，從整體的角度審視學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，幫助學(xué)生整合所學(xué)的零散知識(shí)，連點(diǎn)成線(xiàn)，在舊知的基礎(chǔ)上形成關(guān)聯(lián)性的新知，并將其融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，讓學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，進(jìn)一步展望知識(shí)的后續(xù)生長(zhǎng)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。倘若能有效開(kāi)展這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，學(xué)生的能力發(fā)展將不可限量。