修連成，杜志葉，岳國(guó)華，何靖萱，蔡泓威，易凡

(1.武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院，武漢430072；2.空軍預(yù)警學(xué)院雷達(dá)士官學(xué)校，武漢430345)

0 引言

近年來(lái)，隨著我國(guó)電能需求的不斷增加，特高壓直流輸電技術(shù)在電力系統(tǒng)中得到廣泛運(yùn)用[1-3]。當(dāng)特高壓直流輸電線路的導(dǎo)線和金具表面電場(chǎng)強(qiáng)度超過(guò)起暈電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，其表面會(huì)發(fā)生電暈[4-7]，導(dǎo)線和金具周圍產(chǎn)生了正、負(fù)電荷。因?yàn)橹绷鬏旊娋€路導(dǎo)線極性不變，電荷受到電場(chǎng)力的作用向空間中擴(kuò)散，與標(biāo)稱電場(chǎng)作用形成了合成電場(chǎng)，提高了地面電場(chǎng)強(qiáng)度[8-10]。由于輸電電壓等級(jí)的不斷提高，線路附近的電磁環(huán)境問(wèn)題更加嚴(yán)重。因此，特高壓直流輸電線路下方的離子流場(chǎng)研究具有非常重要的意義。

解析求解是一種可以精確計(jì)算離子流場(chǎng)的方法，其原理是根據(jù)場(chǎng)域及其內(nèi)部物理量分布對(duì)稱特性，從而獲得與邊界條件對(duì)應(yīng)的唯一解[11]。但是，該方法只能求解相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，如同軸圓柱模型、平行板模型等。為了解決復(fù)雜模型離子流場(chǎng)求解問(wèn)題，文獻(xiàn)[12-13]基于Deutsch假設(shè)提出了一種離子流場(chǎng)計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜模型的離子流場(chǎng)快速求解。然而，該假設(shè)認(rèn)為空間電荷只會(huì)影響電場(chǎng)數(shù)值，而不會(huì)改變電場(chǎng)方向，這與實(shí)際情況有所區(qū)別。而且在含有風(fēng)速影響時(shí)，采用Deutsch假設(shè)的離子流場(chǎng)求解精度較低。文獻(xiàn)[14]提出一種利用Kaptzov假設(shè)求解離子流場(chǎng)的有限元方法。針對(duì)不同結(jié)構(gòu)的直流輸電線路問(wèn)題，文獻(xiàn)[15-18]利用基于Kaptzov假設(shè)的有限元法對(duì)其離子流場(chǎng)進(jìn)行了求解和分析。文獻(xiàn)[19-20]通過(guò)有限元法計(jì)算了單極和雙極直流輸電線路的離子流場(chǎng)。有限元法求解過(guò)程主要分為兩個(gè)部分：首先，通過(guò)假設(shè)的初始電荷密度求解泊松方程，實(shí)現(xiàn)獲取空間電場(chǎng)信息。隨后，利用空間電場(chǎng)和電流連續(xù)性方程計(jì)算空間電荷密度。將上述兩部分反復(fù)迭代即可獲得地面合成電場(chǎng)和離子流場(chǎng)分布。但是該方法在求解復(fù)雜模型時(shí)經(jīng)常會(huì)發(fā)生迭代過(guò)程不收斂的情況。

為了快速準(zhǔn)確地求解特高壓直流線路離子流場(chǎng)，文獻(xiàn)[21]提出了一種上流有限元法來(lái)求解直流線路的離子流場(chǎng)。上流有限元法的原理是搜尋和確定上流有限單元，從而實(shí)現(xiàn)由電荷源點(diǎn)向外擴(kuò)散求解的目標(biāo)。基于上流有限元法和Kaptzov假設(shè)對(duì)輸電線路的合成電場(chǎng)和離子流密度進(jìn)行了求解[22-23]。文獻(xiàn)[24]基于上流有限元法提出了一種減少剖分網(wǎng)格數(shù)量的方法。該方法將二維上流有限元法求解的離子流場(chǎng)當(dāng)作三維求解時(shí)輸電導(dǎo)線的求解邊界。但是上述文獻(xiàn)對(duì)初始導(dǎo)體表面電荷敏感度較高，迭代過(guò)程容易無(wú)法收斂。文獻(xiàn)[25]提出了一種偏差估算法來(lái)計(jì)算初始導(dǎo)線表面電荷密度。但是該方法的迭代步數(shù)較多，迭代計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

本文通過(guò)基于牛頓-拉夫遜的上流有限元法求解特高壓直流線路下方的地面合成電場(chǎng)與離子流場(chǎng)。該方法不僅無(wú)需調(diào)整和優(yōu)化算法參數(shù)，還提高了收斂能力。該算法應(yīng)用簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，可求解復(fù)雜情況下的地面合成電場(chǎng)和離子流密度。

1 離子流場(chǎng)模型

特高壓直流輸電線路離子流場(chǎng)模型中的正、負(fù)電荷主要受到了風(fēng)力和電場(chǎng)力的影響。因此，離子流場(chǎng)的控制方程可以表示為：

(1)

j+=ρ+(k+E+W)

(2)

j-=ρ-(-k-E+W)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：φ為電位，V；ρ+、ρ-分別為正、負(fù)電荷密度，C/m3；ε0為空氣介電常數(shù)；j+、j-分別為正、負(fù)離子流密度，A/m2；k+、k-分別為正、負(fù)離子遷移率，m2/Vs；E為電場(chǎng)強(qiáng)度，V/m；W為風(fēng)速，m/s；Rn為復(fù)合系數(shù)。

將式(1)—(6)代入式(4)和式(5)，可得：

(7)

式中V+(-)為正、負(fù)離子的遷移速度。

特高壓直流輸電線路下方的離子流場(chǎng)求解屬于強(qiáng)非線性問(wèn)題，很難實(shí)現(xiàn)直接準(zhǔn)確求解，因此需要簡(jiǎn)化離子流場(chǎng)模型[26]。同時(shí)，假設(shè)條件應(yīng)對(duì)地面離子流場(chǎng)計(jì)算結(jié)果影響較小，即

1)忽略特高壓直流輸電導(dǎo)線的電暈層厚度；

2)電暈已到達(dá)穩(wěn)態(tài)，不考慮暫態(tài)過(guò)程；

3)導(dǎo)線表面場(chǎng)強(qiáng)滿足Kaptzov假設(shè)；

4)正、負(fù)離子的遷移率、復(fù)合系數(shù)和風(fēng)速與電場(chǎng)無(wú)關(guān)，即設(shè)置為恒定常數(shù)。

2 基于牛頓-拉夫遜的離子流場(chǎng)求解算法

求解電流連續(xù)性方程是離子流場(chǎng)計(jì)算的重要環(huán)節(jié)。因此，本文通過(guò)上流有限元法求解電流連續(xù)性方程。上流有限元法的基本原理是通過(guò)三角單元的兩個(gè)已知電荷密度節(jié)點(diǎn)去計(jì)算另一未知電荷密度節(jié)點(diǎn)[5,7]?？臻g正電荷密度可描述為：

(8)

式中：下標(biāo)i,j,m分別代表不同節(jié)點(diǎn)；bijm和cijm均為三角形單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)；SΔ為三角形單元面積。

由式(7)—(8)可得特高壓直流輸電線路的正電荷密度。正、負(fù)電荷密度求解思路一致。因此，節(jié)點(diǎn)i處的正、負(fù)電荷密度為：

(9)

式中：

(10)

(11)

(12)

式(9)的求解結(jié)果實(shí)現(xiàn)了從源點(diǎn)電荷發(fā)出并擴(kuò)散到整個(gè)場(chǎng)域，與實(shí)際情況相符，保證了電流連續(xù)方程的收斂性。

在迭代求解過(guò)程中，導(dǎo)線表面電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)變化較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致更新的導(dǎo)體表面電荷密度發(fā)生大幅度振蕩，進(jìn)而使迭代過(guò)程不收斂。同時(shí)，導(dǎo)線表面電荷密度的初值設(shè)置對(duì)計(jì)算泊松方程和電流連續(xù)性方程時(shí)的收斂性影響較大。當(dāng)電荷密度的初值選擇不恰當(dāng)時(shí)，迭代過(guò)程容易發(fā)生振蕩不收斂的情況。為此，本文提出了一種基于牛頓-拉夫遜的迭代收斂算法，具體證明如下。

假設(shè)迭代電荷密度方程屬于單變量非線性方程，即可得：

f(ρi)=0

(13)

將式(13)改寫成式(14)。

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=0

(14)

式中：ρi(k-1)為節(jié)點(diǎn)i在第k-1次迭代時(shí)的電荷密度；ρi(k-1)和Δρi(k-1)分別為迭代電荷密度方程的近似解和真解誤差。

根據(jù)泰勒公式原理，式(14)可改寫為：

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=

f[ρi(k-1)]+f′[ρi(k-1)]Δρi(k-1)+

(15)

迭代電荷密度方程的真解誤差Δρi(k-1)相對(duì)較小，因此可以忽略其二階以上的高次項(xiàng)，即：

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=

f[ρi(k-1)]+f′[ρi(k-1)]Δρi(k-1)

(16)

根據(jù)式(14)和式(16)可知，真解誤差Δρi(k-1)的修正解可表示為：

ρi(k)=ρi(k-1)+Δρi(k-1)

=ρi(k-1)-f(k-1)/f′(k-1)

(17)

根據(jù)式(17)可知，改進(jìn)算法依據(jù)迭代過(guò)程的前2步導(dǎo)線表面電荷密度來(lái)求解新的電荷密度。該算法在導(dǎo)線表面場(chǎng)強(qiáng)與起暈場(chǎng)強(qiáng)相差較遠(yuǎn)(較近)時(shí)，電荷密度更新較快(較慢)，保證了算法的快速穩(wěn)定收斂。因此，本算法對(duì)導(dǎo)體表面電荷密度的初始值不敏感。具體控制過(guò)程如下。

ρi(k)=ρi(k-1)+Δρi(k-1)=

(18)

式中：Emaxk-1、Emaxk-2分別為第k-1、k-2次迭代時(shí)導(dǎo)線表面的最大電場(chǎng)強(qiáng)度；E0為導(dǎo)線表面起暈場(chǎng)強(qiáng)。

式(18)解決了導(dǎo)體表面電荷密度快速收斂到真值附近問(wèn)題。但是當(dāng)計(jì)算空間電荷密度時(shí)，前后兩次迭代的空間電荷密度大幅度變化，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不收斂。因此，本文引入了迭代變化系數(shù)到空間電荷密度更新中，確保迭代穩(wěn)定收斂?？臻g電荷密度可以表示為：

ρis(k)=(1-v)ρis(k-1)+ρisc(k)v

(19)

式中：ρis(k)、ρis(k-1)分別為上一步迭代過(guò)程中的空間電荷密度；ρisc(k)為當(dāng)前迭代步中根據(jù)上一步有限元法計(jì)算得到的空間電荷密度；ν為迭代變化系數(shù)。

綜述所述，在迭代過(guò)程前期，輸電導(dǎo)線表面的電荷密度距離實(shí)際電荷密度相差較遠(yuǎn)。因此，本算法加大了調(diào)整電荷量，確保迭代過(guò)程快速進(jìn)行，提高迭代過(guò)程計(jì)算效率，使得導(dǎo)線表面電場(chǎng)強(qiáng)度可以快速接近起暈場(chǎng)強(qiáng)。在迭代過(guò)程后期，本算法減少了更新的電荷量，使得本算法可以穩(wěn)定收斂。離子流場(chǎng)的收斂條件為：

(20)

(21)

式中：δE、δρ分別為導(dǎo)線表面的電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷密度相對(duì)誤差；Emax為導(dǎo)線表面的最大電場(chǎng)強(qiáng)度。

當(dāng)導(dǎo)線表面未發(fā)生電暈時(shí)，通過(guò)求解拉普拉斯方程獲得空間電場(chǎng)分布。而求解離子流場(chǎng)主要分為四個(gè)步驟：通過(guò)空間電荷密度求解泊松方程得到空間電場(chǎng)分布信息；利用空間電場(chǎng)信息和上流有限元法求解電流連續(xù)性方程；判斷是否滿足Kaptzov假設(shè)和電荷密度結(jié)果穩(wěn)定的收斂條件；如果不滿足穩(wěn)態(tài)收斂條件，則采用基于牛頓-拉夫遜的迭代收斂算法來(lái)修改電荷密度。將上述過(guò)程重復(fù)迭代到達(dá)收斂條件。離子流場(chǎng)求解的流程圖如圖1所示。

圖1 離子流場(chǎng)計(jì)算流程圖

3 算法驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證

通過(guò)單極直流試驗(yàn)線路模型來(lái)驗(yàn)證本文所提出的新型迭代收斂算法的正確性和有效性。該模型的直流導(dǎo)線施加電壓為30 kV，導(dǎo)線半徑為0.8 mm，直流導(dǎo)線高度為0.394 m，試驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示。在導(dǎo)體模型下方放置場(chǎng)磨探頭和威爾遜板，用于測(cè)量地面電場(chǎng)強(qiáng)度和離子流密度。圖中左側(cè)的高壓發(fā)生器控制臺(tái)用于控制導(dǎo)線電壓等級(jí)。送風(fēng)機(jī)用于控制試驗(yàn)風(fēng)速。

圖2 試驗(yàn)平臺(tái)

參考國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 37543—2019中的評(píng)價(jià)依據(jù)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。圖3給出了不同風(fēng)速下的本文算法與試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果。圖3(a)和3(b)中的紫(深)色點(diǎn)和黃(淺)色點(diǎn)分別表示在風(fēng)速為0 m/s和3 m/s時(shí)的測(cè)量結(jié)果。

圖3 計(jì)算和測(cè)量結(jié)果對(duì)比

根據(jù)圖3(a)，本算法求解的地面合成電場(chǎng)結(jié)果與試驗(yàn)線路的測(cè)量結(jié)果相差較小。特別是在風(fēng)速值為0 m/s時(shí)，計(jì)算值與測(cè)量值基本一致。本算法的離子流密度計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值對(duì)比如圖3(b)所示。實(shí)際測(cè)量峰值下降速度比本文方法的計(jì)算值下降速度稍快。但計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值基本一致，證明了本算法的正確性。需要說(shuō)明的是，風(fēng)速對(duì)離子流密度和合成電場(chǎng)影響明顯。電荷由逆風(fēng)側(cè)被吹至順風(fēng)側(cè)，合成電場(chǎng)最大值位置也向順風(fēng)側(cè)發(fā)生偏移。

3.2 算法收斂性與穩(wěn)定性分析

本文利用云南—廣東± 800 kV特高壓直流輸電線路模型來(lái)驗(yàn)證本算法的收斂性和穩(wěn)定性。該線路導(dǎo)線數(shù)據(jù)詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[27]。當(dāng)初始導(dǎo)線表面電荷不同時(shí)，本算法求解離子流場(chǎng)的迭代收斂結(jié)果如圖4所示。圖中導(dǎo)線表面初始電荷密度分別為1×10-8、5×10-8、1×10-7、1.5×10-7和2×10-7C/m3。顯然，本算法在不同初始導(dǎo)線表面電荷密情況下都能夠快速穩(wěn)定收斂，且迭代步數(shù)都少于20步。

圖4 收斂效果驗(yàn)證

當(dāng)初始導(dǎo)線表面電荷為2×10-7C/m3時(shí)，將本文算法、收斂控制因子法以及傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對(duì)比，如圖5所示。傳統(tǒng)方法對(duì)電荷敏感度較高，容易出現(xiàn)迭代振蕩，從而導(dǎo)致計(jì)算無(wú)法收斂。迭代收斂控制因子法和本文算法都能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的迭代收斂。

圖5 不同方法收斂速度對(duì)比

迭代收斂控制因子法對(duì)初始導(dǎo)線表面電荷密度不敏感，但該方法需要設(shè)置控制因子，且控制因子值的大小與收斂性和計(jì)算速度直接相關(guān)。當(dāng)控制因子較小時(shí)，迭代過(guò)程中的電荷密度變化不大，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定收斂。但是，其迭代速度較慢，計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng)。當(dāng)控制因子較大時(shí)，迭代收斂速度變快，然而導(dǎo)體表面電荷變化較大，可能導(dǎo)致無(wú)法收斂。由圖5可知，迭代收斂控制因子法雖然能夠較快速到達(dá)電荷真值附近，但是仍需要多次迭代才能達(dá)到收斂條件。而本文所提出的算法迭代速度較快，且無(wú)需復(fù)雜的算法參數(shù)調(diào)整與優(yōu)化。特高壓直流輸電線路的導(dǎo)線表面電荷和表面電場(chǎng)強(qiáng)度變化情況如圖6所示。

圖6 導(dǎo)線表面電荷和表面電場(chǎng)強(qiáng)度變化曲線

本文算法在迭代過(guò)程初期的導(dǎo)線表面電荷密度變化程度較大，而迭代后期的電荷變化較小，使得本文算法可以快速穩(wěn)定迭代收斂。迭代初期(3～10步)，導(dǎo)線附近合成電場(chǎng)強(qiáng)度變化劇烈，使得導(dǎo)體表面電荷變化率較大，從而實(shí)現(xiàn)快速地迭代到起暈場(chǎng)強(qiáng)附近。迭代后期，導(dǎo)線表面電荷變化率較小，確保離子流場(chǎng)迭代穩(wěn)定收斂，防止在起暈場(chǎng)強(qiáng)附近發(fā)生振蕩。因此，本文算法實(shí)現(xiàn)了快速穩(wěn)定地計(jì)算特高壓直流線路下方離子流場(chǎng)。

4 風(fēng)速對(duì)±800 kV特高壓直流輸電線路離子流場(chǎng)影響分析

本文以± 800 kV特高壓直流輸電線路為例進(jìn)行了地面離子流場(chǎng)求解，得到了地面合成場(chǎng)強(qiáng)和地面離子流密度在不同風(fēng)速下的分布規(guī)律。具體線路參數(shù)和測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[27]。圖7和圖8分別表示了不同風(fēng)速時(shí)地面合成電場(chǎng)強(qiáng)度和離子流密度。

圖7 地面合成場(chǎng)強(qiáng)求解結(jié)果

圖8 地面離子流密度求解結(jié)果

圖7—8中風(fēng)向從左側(cè)向右側(cè)為正，風(fēng)速?gòu)?3 m/s增加到3 m/s。當(dāng)風(fēng)速?gòu)?3 m/s增加時(shí)，合成場(chǎng)強(qiáng)和離子流密度的最大值位置逐漸向右側(cè)移動(dòng)，且其最大值先減小后增加。本文計(jì)算的合成電場(chǎng)和離子流密度與測(cè)量結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本算法的有效性和正確性。

隨著風(fēng)速向左增加，正極性導(dǎo)線下方地面合成場(chǎng)強(qiáng)和離子流密度逐漸增大，而負(fù)極性導(dǎo)線下方的離子流場(chǎng)有所減小。當(dāng)風(fēng)速值從0 m/s增加時(shí)，負(fù)極性下方的合成電場(chǎng)和離子流密度逐漸減小。這是由于負(fù)極性導(dǎo)線下方的空間電荷都被吹到了正極性導(dǎo)線下方，從而導(dǎo)致負(fù)極性導(dǎo)線下方的合成電場(chǎng)和離子流密度減小。當(dāng)風(fēng)速值為3 m/s時(shí)，最大合成場(chǎng)強(qiáng)為36.58 kV/m，且最大離子流密度為83.6 nA/m2。同時(shí)，對(duì)比于風(fēng)速為0 m/s時(shí)的最大合成電場(chǎng)，其位置發(fā)生了約5 m的偏移。綜上所述，隨著風(fēng)速向右(向左)增大，合成場(chǎng)強(qiáng)和離子流密度的分布曲線和最大值都逐漸向右(向左)移動(dòng)，而且順風(fēng)側(cè)導(dǎo)線的合成場(chǎng)強(qiáng)和離子流密度數(shù)值均會(huì)顯著變大。

本文算法在不同風(fēng)速情況下求解合成電場(chǎng)和離子流場(chǎng)時(shí)，迭代過(guò)程一般少于20步，相比于傳統(tǒng)方法縮短了計(jì)算時(shí)間，且滿足工程精度要求。同時(shí)，本文所提出算法不但對(duì)導(dǎo)體表面電荷密度初值選擇不敏感，而且無(wú)須調(diào)整和優(yōu)化算法參數(shù)，具有較好的魯棒性。

5 結(jié)語(yǔ)

為了解決特高壓輸電線路離子流場(chǎng)計(jì)算的快速穩(wěn)定收斂問(wèn)題，本文基于牛頓-拉夫遜法提出了一種快速穩(wěn)定求解離子流場(chǎng)算法。該算法在導(dǎo)線表面場(chǎng)強(qiáng)距離起暈電場(chǎng)強(qiáng)度相差較大(較小)時(shí)，電荷密度更新較多(較少)，從而實(shí)現(xiàn)了快速穩(wěn)定收斂。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)室模型線路的地面合成電場(chǎng)和離子流場(chǎng)計(jì)算，驗(yàn)證了本算法的有效性和正確性。同時(shí)，本文對(duì)±800 kV 特高壓輸電線路下方離子流場(chǎng)進(jìn)行了求解，證實(shí)了該算法可以提高求解速度并保證收斂的穩(wěn)定性。隨著向右風(fēng)速的增加，正極性導(dǎo)線下方的地面合成場(chǎng)強(qiáng)和離子流密度逐漸增大，而負(fù)極性導(dǎo)線下方的離子流場(chǎng)數(shù)值逐漸減小。該算法不但對(duì)導(dǎo)體表面電荷密度初值選擇不敏感，而且無(wú)需調(diào)整算法參數(shù)，具有較好的魯棒性。研究結(jié)論有助于快速準(zhǔn)確計(jì)算特高壓直流輸電線路下方離子流場(chǎng)。