從“數(shù)”與“差”的錯題中體驗概念教學

【摘?要】概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人頭腦中的反映，是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，數(shù)學概念是學生深入學習數(shù)學知識的基礎(chǔ)，是計算和解決問題的重要依據(jù)，正確理解并靈活運用數(shù)學概念，是掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯思維能力和空間想象能力的前提，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要保障.

【關(guān)鍵詞】中位數(shù);眾數(shù);方差;體驗;概念

李邦河院士說：“根據(jù)我上大學以后搞數(shù)學研究的經(jīng)驗，數(shù)學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”我們要判斷一件事情是什么或者不是什么，要判斷一道題的結(jié)果正確與否，最基本的方法就是“用定義來判斷”.章建躍博士也提出：“‘理解數(shù)學是當好數(shù)學教師的前提.在數(shù)學教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是‘數(shù)學素養(yǎng)，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學知識的背景，準確把握數(shù)學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義.”可以說“依定義行事”“從定義出發(fā)研究問題”是數(shù)學理性精神的重要體現(xiàn).

1?知識背景分析

教師在進行“數(shù)據(jù)的集中趨勢和波動程度”的有關(guān)概念教學時，通常用統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表整理和描述數(shù)據(jù)，為了進一步獲取信息，還需要對數(shù)據(jù)進行分析.采用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（簡稱“數(shù)”）刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢，采用極差、方差、平均差或標準差（簡稱“差”）等來分析數(shù)據(jù)的波動程度.其中，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的三個統(tǒng)計量，平均數(shù)的計算要用到所有的數(shù)據(jù)，它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，但它受極端值的影響較大;中位數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的位置的代表值，表示一組數(shù)據(jù)排序后，位于最中間的統(tǒng)計量;當一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)是值得關(guān)注的一個統(tǒng)計量，它是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù);而極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度;方差則較為精確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，是一個被廣泛用來描述數(shù)據(jù)離散程度的量.

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“課標”）[1]中指出：“教學中讓學生經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程.”“理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)，加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述.體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差.”

近期，學校在進行中考復(fù)習時，一些基礎(chǔ)薄弱的學生對“統(tǒng)計和概率”中“數(shù)”與“差”的概念理解出現(xiàn)了錯誤，筆者通過對這些錯題的分析和體驗教學指導(dǎo)，和一線教師探討交流概念教學，目的是通過概念教學使得學生經(jīng)歷概念的形成過程，深入理解并內(nèi)化概念，使得一線教師能提高概念教學的有效性，最終提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

2?典型錯題分析

2.1?對“眾數(shù)”的概念理解錯誤

例1?某校九年級（1）班40名同學的數(shù)學期末考試成績統(tǒng)計表如下：

下列結(jié)論：①成績的中位數(shù)在80≤x<90;②成績的眾數(shù)在80≤x<90;③成績的平均數(shù)

可能為70;④成績的極差可能為40.其中所有正確結(jié)論的序號是.

分析?一些學生的答案是①②④，而正確答案是①④，為什么會有學生認為②也是對的，筆者對這些學生進行了解，很多學生的想法是，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，這40名同學的數(shù)學期末考試成績在80≤x<90出現(xiàn)的人數(shù)最多，是16人，所以成績的眾數(shù)在80≤x<90.

學生對眾數(shù)的概念理解為成績在80≤x<90這個范圍內(nèi)出現(xiàn)的人數(shù)多就認為眾數(shù)在80≤x<90.而教材中眾數(shù)的概念是：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).概念中強調(diào)的是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是在某個范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多.

體驗?知道學生出錯的原因后，筆者對這些學生進行了體驗式指導(dǎo)，讓學生把這40個數(shù)據(jù)一一列舉出來，特別地，把在70≤x<80分的14人的成績都寫成75分，把在80≤x<90分的16人的成績寫成不同的數(shù)據(jù)，比如：80，80.5，81，81.5，82，82.5，83，83.5，84，84.5，85，85.5，86，86.5，87，87.5，學生還沒寫完，就恍然大悟，“哦！原來眾數(shù)指的是某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，而不是某個范圍內(nèi)的數(shù)最多.”

2.2?對“中位數(shù)”的概念理解錯誤

例2?一組數(shù)據(jù)6，8，10，x的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求x的值.

分析?一些學生的答案是12，而正確答案是4或8或12，為什么這些學生只得到一個答案，筆者繼續(xù)尋找原因，發(fā)現(xiàn)很多學生認為數(shù)據(jù)6，8，10，x是一組按照從小到大排好順序的數(shù)據(jù)，還有的學生忘記了中位數(shù)要排序，只想到找中間兩個數(shù)8和10的平均數(shù)作為中位數(shù)，對中位數(shù)的概念理解出現(xiàn)了錯誤.教材中中位數(shù)的概念是：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).因此，找中位數(shù)的前提是先將一組數(shù)據(jù)按從大到小或者從小到大的順序排列.

學生經(jīng)過推理發(fā)現(xiàn)：一組數(shù)據(jù)如果都增加3，則平均數(shù)也增加3，但方差不變.一組數(shù)據(jù)如果擴大3倍，則平均數(shù)也擴大3倍，但方差擴大9倍.

進一步思考：如果把一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都增加c，平均數(shù)和方差如何變化？如果把一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都擴大c倍（c>0），那么平均數(shù)和方差又如何變化？

學生通過推理得出方差具有如下特點：如果一組數(shù)據(jù)都增加c，平均數(shù)也增加c，方差不變.如果一組數(shù)據(jù)都擴大c倍（c>0），平均數(shù)也擴大c倍，方差則為原方差的c2倍.

3?概念教學反思

概念教學是數(shù)學教學的核心，在實際教學中，教師壓縮概念教學時間的現(xiàn)象很常見，這使得學生對概念本質(zhì)的理解產(chǎn)生了影響，因為概念是濃縮的精華，是以不變應(yīng)萬變的法寶，所以教師要引領(lǐng)學生回歸概念，重視概念的獲得過程，讓概念教學落地生根[2].

3.1?初步感知概念，激發(fā)學習欲望

對于概念教學，教師要從學生已有的認知出發(fā)，課前先清楚了解學生已經(jīng)具備哪些知識和生活經(jīng)驗，充分了解學情，然后通過課堂教學設(shè)計，喚醒學生已有的知識和生活經(jīng)驗，讓學生自然地去感知概念并接受概念.

教師在教“眾數(shù)和中位數(shù)”之前，可以先進行調(diào)查：“你聽說過眾數(shù)和中位數(shù)嗎？”如果學生對概念不能清晰去表達，可以接著問：“你能從生活中舉例進行說明嗎？”學生的初步感知就是眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)是中間位置的數(shù).當然，學生在課前對概念的理解不準確是很正常的，只有了解實際的學情，教師才會有重點、有目的、有針對性地去設(shè)計教學，使學生理解概念并且掌握地更加清晰.

在教學引入時，可展示某一次考試，班級10個學生的數(shù)學成績，分別為：81，86，86，87，89，86，91，92，92，92.問學生：你知道眾數(shù)和中位數(shù)是多少嗎？對于眾數(shù)，學生會發(fā)現(xiàn)86出現(xiàn)了3次，92也出現(xiàn)了3次，眾數(shù)可以是兩個嗎？學生會覺得不確定;對于中位數(shù)，按照學生的理解，找中間一個數(shù)，這10個數(shù)的中間一個數(shù)是多少呢？是89，還是86呢？學生也會很猶豫.原因是學生目前還不清楚眾數(shù)和中位數(shù)的概念是什么？對概念的認知還不清楚，這充分說明了學習眾數(shù)和中位數(shù)概念的必要性.學生產(chǎn)生了困惑，迫切想學習新知，從而激發(fā)學生對學習眾數(shù)和中位數(shù)的強烈欲望，這樣的喚醒是自覺的，也是學生運用經(jīng)驗感知概念的一種理性思考.

3.2?合理設(shè)問，經(jīng)歷概念的形成過程[3]

在“統(tǒng)計與概率”的概念課教學中，教師覺得內(nèi)容很簡單，往往把重點放在學生的技能訓(xùn)練上，忽視探究知識的過程，在一定程度上抑制了學生思維能力的發(fā)展，這樣學生就沒有經(jīng)歷概念形成的具體過程.該如何讓學生經(jīng)歷概念的形成過程呢？首先，需要建立在學生的認知基礎(chǔ)上;其次，概念是由學生經(jīng)歷概念的形成過程后，對概念逐漸清晰后總結(jié)出來的，不是老師告訴的.

對于上面班級10個學生的數(shù)學成績，分別為：81，86，86，87，89，86，91，92，92，92.教師可以問學生：“你覺得眾數(shù)是什么？”學生會回答：“眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，”繼續(xù)追問：“那么，這組數(shù)據(jù)中哪個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)最多？”學生會回答：“86和92出現(xiàn)的次數(shù)最多，都出現(xiàn)3次.”按照這個學生的理解，眾數(shù)應(yīng)該是86和92這兩個數(shù).所以，學生經(jīng)歷這個思考過程，可總結(jié)出眾數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).需要提醒的是眾數(shù)可以不是一個數(shù)，當有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多時，這兩個數(shù)據(jù)都是眾數(shù).

那么，中位數(shù)呢？是中間一個數(shù)據(jù)嗎？學生不太敢回答，因為對中位數(shù)的概念不清楚，但也會有學生認為是“89和86”，因為這兩個數(shù)在中間，那么如果將這10個數(shù)的位置進行調(diào)整呢？變成89，81，86，86，87，91，92，92，92，86.按照剛才這位學生的理解，那么中位數(shù)豈不是變成了“87和91”，這顯然是不可取的.一方面，一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)隨位置的變化而不同，另一方面，中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，如果這樣，中位數(shù)就不能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢了.該如何定義中位數(shù)呢？以此引發(fā)學生對中位數(shù)概念的思考，學生會發(fā)現(xiàn)中位數(shù)和一組數(shù)據(jù)的位置有關(guān)，要想使得中位數(shù)反映數(shù)據(jù)集中趨勢，應(yīng)該將中位數(shù)先進行排序，然后找中間的那個數(shù)，將上面10個數(shù)排好順序為：81，86，86，86，87，89，91，92，92，92.那么中間的兩個數(shù)為“87和89”，并且是鄰近的兩個數(shù)，為了更好地反映數(shù)據(jù)集中趨勢，排序后，當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，處于中間位置的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，處于中間位置的數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).也說明這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是一個數(shù)，這是有別于眾數(shù)的，讓學生經(jīng)歷概念的形成過程.

3.3?典例剖析，深入理解概念的內(nèi)涵

為了加深學生對眾數(shù)的理解，可以設(shè)計這樣的典型例子：

這是某一次考試，另外一個班級10個學生的數(shù)學成績表，你知道這10個學生數(shù)學成績的眾數(shù)在哪嗎？有些學生會不假思索地回答：“眾數(shù)在80≤x<90”，也會產(chǎn)生反對的聲音：“通過觀察，前面一個班10個學生的成績，成績在80≤x<90也有6人，90≤x<100也有4人，但眾數(shù)是86和92這兩個數(shù)，其中92就不在80≤x<90”，引發(fā)學生對眾數(shù)的概念再次進行深度思考：眾數(shù)概念中強調(diào)的是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是在某個范圍內(nèi)出現(xiàn)的人數(shù)最多.

對于中位數(shù)，可以這樣設(shè)計典型題目，加深學生對中位數(shù)的理解，如圖，為了解九年級女生體質(zhì)健康的變化情況，老師從九年級全體200名女生中隨機抽取20名女生進行體質(zhì)測試，并對成績進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

這20名女生體質(zhì)測試成績（百分制）的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分組：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：

其中，成績在80≤x<90的是：80，81，85，85，85，86，88.

那么，這些參加體質(zhì)測試的女生成績的中位數(shù)是多少？部分學生會誤認為是85，可見，這些學生找的是80≤x<90這7位女生的成績的中位數(shù)，并不是抽取的20名女生體質(zhì)測試成績的中位數(shù)，要找這20名女生體質(zhì)測試成績的中位數(shù)，應(yīng)該排序后，找第10個和第11個數(shù)據(jù)的中位數(shù).題中成績在60≤x<70的有3個學生，70≤x<80的有6個學生，那么，第10個和第11個數(shù)據(jù)應(yīng)該從80≤x<90中來找，第10個和第11個數(shù)據(jù)分別為80和81，中位數(shù)是取其平均數(shù)，應(yīng)該是80.5.

學生在解決數(shù)學問題時出現(xiàn)錯誤，主要原因是對概念的理解出現(xiàn)偏差，數(shù)學教學中，教師可把有細微差別的內(nèi)容安排在一起進行辨析教學，讓學生從錯誤中反省，從中感知概念的內(nèi)涵，達到深度理解概念的目的.

3.4?了解概念產(chǎn)生的必要性，發(fā)展核心素養(yǎng)

數(shù)學的很多概念之間有著密切的聯(lián)系，每一個新概念的產(chǎn)生都是舊概念的延續(xù)，教師在教學時，應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學生去探索新舊概念之間的聯(lián)系，這樣不僅能促進學生對新概念的理解，又能在相互聯(lián)系的概念中進行比較，厘清知識之間的區(qū)別和聯(lián)系.例如：在學習方差時，方差是如何產(chǎn)生的？方差和平均數(shù)有什么關(guān)系？方差是不是越小就越好呢？需要把這些問題思考清楚.

教學時，可以借助于教材中的情境，兵乓球的標準直徑是40mm.質(zhì)檢部門隨機抽取了A和B廠生產(chǎn)的10只乒乓球，對其直徑進行檢測，結(jié)果如下（單位：mm）.

分析表格發(fā)現(xiàn)，A和B兩廠生產(chǎn)的10只乒乓球的平均數(shù)都是40mm，極差都是0.4mm，僅用平均數(shù)和極差就無法比較了，究竟哪家生產(chǎn)的乒乓球更接近標準直徑？怎樣更精確地比較這兩組數(shù)據(jù)的離散程度呢？

學生會找每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，求所有差值的和.但這樣會出現(xiàn)正負抵消的情況，如何避免抵消，可以把這些差值取絕對值后，再相加.但如果這兩組數(shù)據(jù)選取的個數(shù)不一樣呢？學生會想到求其平均數(shù)，這其實就是平均差.由于平均差得到的結(jié)果很接近，相差不大，為了更清楚地反應(yīng)數(shù)據(jù)的離散程度，我們把每一個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差進行平方，然后求其平均數(shù)，方差是經(jīng)歷這樣的過程才產(chǎn)生的[4]，通過方差就能很好地解決這個問題.

3.5?內(nèi)化概念，提升對概念的認知

學生通過對方差概念的理解，已經(jīng)知道方差是反映數(shù)據(jù)波動程度的量，一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，波動就越大;反之，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，波動就越小.顯然，僅知道這些是不夠的，還需要對方差的概念進行內(nèi)化，提升學生對概念的深度認知.例如：（2015年南京市中考）某工程隊有14名員工，他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所示：

現(xiàn)該工程隊進行了人員調(diào)整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名.與調(diào)整前相比，該工程隊員工月工資的方差（填“變小”，“不變”或“變大”）.

部分學生通過表格觀察出來，減少木工2名，增加電工、瓦工各1名.其實是把2名木工每月的工資的6000和6000變成一名電工和一名瓦工每月的工資7000和5000，雖然人員調(diào)整了，14名員工每月工資的平均數(shù)仍不變，因為平均數(shù)是6000，數(shù)據(jù)7000和5000比6000和6000數(shù)據(jù)的波動變大了，離散程度變大了，也就是方差變大了，根本不需要通過計算方差和比較方差計算的結(jié)果，就可以分析出來，這就需要學生在內(nèi)化概念的基礎(chǔ)上，不斷提升對方差概念的認知.

總之，教師在概念教學時，要結(jié)合學生的認知規(guī)律和教學內(nèi)容的特點，巧妙設(shè)計教學過程，幫助學生在探索、體驗、辨析、應(yīng)用中深入理解概念的本質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學概念的知識體系，提升數(shù)學概念教學的效果，學生需要在教師的引導(dǎo)下去經(jīng)歷、去體驗、去領(lǐng)悟，才能使數(shù)學概念得以內(nèi)化和提升，從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]楊莉.大道至簡，悟在概念[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2021（4）：54-56.

[3]沈淑霞.讓數(shù)學概念教學之“根”深植于活動經(jīng)驗之中[J].小學教學參考，2021（5）：46-47.

[4]鄭雋，葉旭山.突出過程教學，激活學生思維——“方差”教學設(shè)計[J].中小學數(shù)學，2015（2）：35-36.

作者簡介?萬濤（1984—），男，中學高級教師，南京市張愛平、趙齊猛初中數(shù)學名師工作室成員，南京市鼓樓區(qū)學科教學帶頭人，南京市鼓樓區(qū)優(yōu)秀青年教師，曾獲得南京市優(yōu)秀教育案例一等獎，南京市鼓樓區(qū)初中數(shù)學青年教師基本功大賽一等獎，主要從事初中數(shù)學體驗教學研究.