方差的計算與應用

陳洪兵

方差是指一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，方差的計算公式是s2 = [1n][（x1 - [x]）2 + （x2 - [x]）2 + … + （xn - [x]）2]. 方差是反映一組數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計量，其應用極其廣泛. 現(xiàn)以2021年中考題為例來說明.

例1（2021·北京）甲、乙兩組數(shù)據(jù)如表1所示，它們的方差分別為[s2甲]，[s2乙]，則[s2甲] （填“>”“<”或“=”）[s2乙].

解析：∵x甲 = [15] × （11 + 12 + 13 + 14 + 15） = 13，x乙 = [15] × （12 + 12 + 13 + 14 + 14） = 13，

[s2甲] = [15] × [（11 - 13）2 + （12 - 13）2 + （13 - 13）2 + （14 - 13）2 + （15 - 13）2] = 2，

[s2乙] = [15] × [（12 - 13）2 + （12 - 13）2 + （13 - 13）2 + （14 - 13）2 + （14 - 13）2] = 0.8，

∴[s2甲] > [s2乙]. 故應填>.

反思：甲組數(shù)據(jù)是五個連續(xù)整數(shù)，五個連續(xù)整數(shù)的方差一定是2. 將各數(shù)據(jù)減去10，分別得到1，2，3，4，5和2，2，3，4，4，計算這兩組數(shù)據(jù)的方差更簡便些.若有兩組數(shù)據(jù)，可設其平均數(shù)分別為[x1]，[x2]，方差分別為[s21]，[s22]，當?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是第一組每個數(shù)據(jù)的n倍再增加m時，則有[x2] = n[x1] + m，[s22] = n2[s21]. 利用這個結論可簡化平均數(shù)和方差的計算.

例2（2021·山東·菏澤）在2021年初中畢業(yè)體育測試中，某校隨機抽取10名男生引體向上的成績，整理制成表2，關于這組數(shù)據(jù)的結論不正確的是（ ）.

A.中位數(shù)是10.5 B.平均數(shù)是10.3 C.眾數(shù)是10 D.方差是0.81

解析：這里的數(shù)據(jù)是用表格以頻數(shù)的形式呈現(xiàn)的，弄清表格中的信息，由其轉(zhuǎn)化出10名男生引體向上的成績分別是12，11，11，11，10，10，10，10，9，9.

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10，平均數(shù)是10.3 ，眾數(shù)是10，方差是0.81. 故選A.

反思：當數(shù)據(jù)用表格以頻數(shù)的形式呈現(xiàn)時，可以將其轉(zhuǎn)化為原數(shù)據(jù)，也可直接由表格求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差.

例3（2021·四川·樂山）圖1是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數(shù)）制作的折線統(tǒng)計圖，你認為誰的成績較為穩(wěn)定？ （填“甲”或“乙”）

解析：先分別求出甲、乙的平均數(shù)，再求出甲、乙的方差，由方差越小的成績越穩(wěn)定作出判斷即可.

[x甲] = [15] × （7 + 6 + 9 + 6 + 7） = 7（環(huán)），

[x乙] = [15] × （5 + 9 + 6 + 7 + 8） = 7（環(huán)），

[s2甲] = [15] × [（7 - 7）2 + （6 - 7）2 + （9 - 7）2 + （6 - 7）2 + （7 - 7）2] = 1.2，

[s2乙] = [15] × [（5 - 7）2 + （9 - 7）2 + （6 - 7）2 + （7 - 7）2 + （8 - 7）2] = 2.

∵1.2 < 2，∴甲的成績較為穩(wěn)定. 故應填甲.

反思：這里的數(shù)據(jù)是以折線統(tǒng)計圖的形式呈現(xiàn)的，可以從折線統(tǒng)計圖中轉(zhuǎn)化出兩組數(shù)據(jù)，再計算方差，然后根據(jù)方差越小的數(shù)據(jù)越穩(wěn)定作出判斷;也可以直接從折線統(tǒng)計圖中各數(shù)據(jù)的離散程度對其穩(wěn)定性直接作出判斷，由圖1可一目了然地看到甲的成績較為穩(wěn)定. 顯然，利用數(shù)形結合，借助圖形直觀，可輕松解決某些生活中的數(shù)學問題.

例4（2021·江蘇·泰州）近五年，我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化. 以甲、乙、丙三種家電為例，將這三種家電2016～2020年的產(chǎn)量（單位：萬臺）繪制成如圖2所示的折線統(tǒng)計圖，圖中只標注了甲種家電產(chǎn)量的數(shù)據(jù). 觀察統(tǒng)計圖回答下列問題：（1）這五年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為 萬臺;（2）若將這五年家電產(chǎn)量按年份繪制成五個扇形統(tǒng)計圖，每個統(tǒng)計圖只反映該年這三種家電產(chǎn)量占比，其中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°，這個扇形統(tǒng)計圖對應的年份是 年;（3）小明認為：某種家電產(chǎn)量的方差越小，說明該家電發(fā)展趨勢越好. 你同意他的觀點嗎？請結合圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由.

解析：（1）甲種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)從小到大排列為466，921，935，1035，1046，中間的數(shù)據(jù)935即為中位數(shù). （2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的圓心角公式確定對應年份，觀察統(tǒng)計圖可知2020年甲種家電產(chǎn)量和丙種家電產(chǎn)量之和小于乙種家電產(chǎn)量，所以根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的圓心角公式可知，2020年乙種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°. （3）不同意.理由如下：丙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較小，產(chǎn)量從2018年起在逐年降低;乙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較大，產(chǎn)量在逐年提高. 因此不能說家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)的方差越小，該家電發(fā)展趨勢越好.

反思：第3問是判斷說理題.先作判斷，再說明做出這種判斷的理由.在運用方差說理時，必須注意：（1）方差是用來比較數(shù)據(jù)波動大小的，只有在數(shù)據(jù)平均數(shù)相等或較接近時才能用，否則一般不用方差來比較數(shù)據(jù)的波動大小;（2）一般而言，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定，因此有同學就認為在實際生活中方差越小越好，這種觀點是錯誤的.本題中乙種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)方差較大，但產(chǎn)量在逐年提高，說明乙種家電發(fā)展趨勢好.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學）