寇瑞雄，楊樹(shù)文

( 1. 蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，蘭州 730070；2. 地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心，蘭州 730070；3. 甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070 )

0 引 言

隨著四大全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)的建成與升級(jí)換代，日本建設(shè)的準(zhǔn)天頂衛(wèi)星系統(tǒng)(QZSS)和印度區(qū)域衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(IRNSS)也在逐步推進(jìn). 其中日本建設(shè)的QZSS 是服務(wù)于亞太地區(qū)的區(qū)域衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1-2]，也是美國(guó)的GPS 在亞太區(qū)域的星基增強(qiáng)系統(tǒng). 由于多系統(tǒng)融合導(dǎo)航定位是衛(wèi)星定位發(fā)展的一個(gè)重要方向，文獻(xiàn)[3-4]評(píng)估了QZSS 在中國(guó)和日本及周邊區(qū)域的定位性能. 結(jié)果表明：QZSS 系統(tǒng)對(duì)GNSS定位導(dǎo)航精度有所提高，在GNSS 可用性方面也具有一定補(bǔ)充作用.

在衛(wèi)星實(shí)時(shí)導(dǎo)航定位數(shù)據(jù)處理中，廣播星歷計(jì)算導(dǎo)航衛(wèi)星位置是一個(gè)重要環(huán)節(jié). 廣播星歷文件中發(fā)布軌道參數(shù)的時(shí)間間隔一般為1 h 甚至更長(zhǎng)，與觀測(cè)文件秒級(jí)的采樣間隔不一致，為了保證衛(wèi)星位置計(jì)算精度且能減少重復(fù)迭代次數(shù)，需要對(duì)衛(wèi)星位置按需插值或擬合. 目前對(duì)GNSS 廣播星歷插值和擬合的研究較多，但對(duì)RNSS 的研究較少，且QZSS 的J01、J02 和J03 采用了大橢圓非對(duì)稱“8”字形傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星，與目前現(xiàn)有的GNSS 衛(wèi)星軌道都不一樣，所以QZSS 廣播星歷具有一定的研究意義. 針對(duì)GNSS 廣播星歷擬合或插值方法包括牛頓多項(xiàng)式、拉格朗日多項(xiàng)式、五次樣條插值法和埃爾米特多項(xiàng)式等，如文獻(xiàn)[5]討論了滑動(dòng)式和非滑動(dòng)式拉格朗日多項(xiàng)式在北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)精密星歷中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[6]利用五次樣條擬合法在GPS 衛(wèi)星軌道擬合中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[7]對(duì)比分析了牛頓多項(xiàng)式和埃爾米特多項(xiàng)式在GNSS 廣播星歷中的擬合精度. 為了研究切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)QZSS 廣播星歷擬合精度，本文首先評(píng)定QZSS 廣播星歷的精度，然后利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法對(duì)QZSS 衛(wèi)星坐標(biāo)擬合并評(píng)定擬合精度.

1 QZSS 廣播星歷

1.1 計(jì)算QZSS 衛(wèi)星位置

QZSS 廣播軌道采用的坐標(biāo)系統(tǒng)是日本衛(wèi)星導(dǎo)航大地測(cè)量系統(tǒng). QZSS 的時(shí)間系統(tǒng)稱為QZSST，它的秒長(zhǎng)與國(guó)際原子時(shí)間(TAI)的秒長(zhǎng)相等，但落后TAI 19 s[8]. 目前系統(tǒng)在軌衛(wèi)星有4 顆，包括3 顆IGSO衛(wèi)星和1 顆地球同步軌道(GEO)衛(wèi)星[9]. QZSS 廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置與GPS 廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置方法一致，文獻(xiàn)[10]詳細(xì)介紹了根據(jù)直接法使用廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置的過(guò)程，因此本文不再贅述直接法QZSS廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置的方法.

1.2 QZSS 廣播星歷精度評(píng)定

QZSS 廣播星歷每1 h 提供一組開(kāi)普勒軌道數(shù)據(jù)，通過(guò)廣播星歷軌道參數(shù)計(jì)算一定時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻QZSS 衛(wèi)星的空間坐標(biāo). QZSS 精密星歷每組衛(wèi)星坐標(biāo)的時(shí)間間隔為15 min，目前精密星歷是精度最高的衛(wèi)星星歷，因此在廣播星歷精度評(píng)定時(shí)將精密星歷提供的衛(wèi)星三維(3D)坐標(biāo)設(shè)定為真值.

本文在https://sys.qzss.go.jp/dod/en/archives/pnt.html 網(wǎng)址上下載了自2020-04-27—2020-05-06 (年積日第118—127 天)的廣播星歷和精密星歷. 由于廣播星歷的時(shí)間間隔與精密星歷的時(shí)間間隔不一致，為方便對(duì)比，利用廣播星歷計(jì)算歷元前后半小時(shí)之間的15 min 間隔衛(wèi)星位置，然后以精密星歷為真值，計(jì)算10 天內(nèi)所有歷元的廣播星歷在空間大地坐標(biāo)系(X、Y、Z) 三個(gè)方向和衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系(R、T、N) 三個(gè)方向的誤差. 分別統(tǒng)計(jì)兩個(gè)坐標(biāo)系下的廣播星歷誤差，使用最大絕對(duì)誤差(Max)、平均絕對(duì)誤差(Mean)和均方誤差(Std)來(lái)評(píng)定廣播星歷精度，具體結(jié)果如表1和表2 所示.

表1 空間大地坐標(biāo)系誤差統(tǒng)計(jì)m

表2 衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系誤差統(tǒng)計(jì)m

由表1 可知，在空間大地坐標(biāo)系中QZSS 廣播星歷的Max 在J03 衛(wèi)星Y方向最大，其余都小于5 m.GEO 衛(wèi)星在X和Y方向的平均絕對(duì)誤差大于IGSO衛(wèi)星，但在Z方向比IGSO 衛(wèi)星的都小. J01 衛(wèi)星Z方向的Std 較大，其余衛(wèi)星的Std 大部分小于1 m.

由表2 可知，在衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中，GEO 衛(wèi)星R方向的Mean 大于IGSO 的，T和N方向的Mean平均絕對(duì)誤差也大于其中2 顆IGSO 衛(wèi)星的. GEO衛(wèi)星在R和N方向的Std 均大于IGSO 衛(wèi)星，在T方向僅小于J03 衛(wèi)星.

從整體上看，GEO 衛(wèi)星的廣播星歷誤差大于IGSO衛(wèi)星. 在兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中，QZSS 廣播星歷精度均處于米級(jí).

2 切比雪夫擬合法原理

對(duì)QZSS 廣播星歷，在 [t0,t0+Δt] 時(shí)間間隔內(nèi)使用n階切比雪夫擬合法進(jìn)行擬合，其中t0為初始?xì)v元，Δt為擬合區(qū)間長(zhǎng)度. 首先將t∈[t0,t0+Δt] 處理成τ ∈[?1,1]的形式，即

以衛(wèi)星X坐標(biāo)為例，使用間接平差原理求解切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)，將式(2)的第1 個(gè)式子列出誤差方程并整理為式(4)：

同理，使用上述方法可以求得Y和Z坐標(biāo)的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)計(jì)算得到的多項(xiàng)式可以計(jì)算擬合區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的3D 坐標(biāo).

3 QZSS 廣播星歷擬合精度分析

繼續(xù)使用上述10 天的QZSS 廣播星歷數(shù)據(jù)，因?yàn)镼ZSS 衛(wèi)星軌道有IGSO 和GEO 兩種軌道，不同軌道類型的擬合結(jié)果可能不相同，所以選取軌道誤差較大且分別代表不同軌道的衛(wèi)星J01(IGSO)衛(wèi)星和J07(GEO)衛(wèi)星對(duì)廣播星歷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析. QZSS 廣播星歷每1 h 發(fā)布1 次，每顆衛(wèi)星1 天內(nèi)提供24 組軌道參數(shù)，為了增加統(tǒng)計(jì)量，使用J01 和J07 衛(wèi)星10 天數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

使用QZSS 廣播星歷軌道參數(shù)，計(jì)算出每個(gè)歷元前后30 min 時(shí)間段內(nèi)，時(shí)間間隔為30 s 的衛(wèi)星空間3D 坐標(biāo)，作為真值檢核切比雪夫多項(xiàng)式的擬合結(jié)果.為了擬合精度評(píng)定，需將對(duì)應(yīng)時(shí)刻的擬合值與采用軌道參數(shù)方法求得的衛(wèi)星坐標(biāo)求差，對(duì)殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，用Max、Mean 和Std 作為擬合精度的評(píng)價(jià)指標(biāo). 考慮到切比雪夫擬合法的擬合精度與時(shí)間間隔、節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合階數(shù)都有關(guān)系，下面分兩部分進(jìn)行分析：一是在固定時(shí)間間隔下，不同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合階數(shù)對(duì)精度的影響；二是在不同時(shí)間間隔下，達(dá)到所需擬合精度時(shí)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合階數(shù)最優(yōu)組合的變化情況.

3.1 不同節(jié)點(diǎn)和擬合階數(shù)下的擬合精度

選用QZSS 系統(tǒng)中J01 和J07 衛(wèi)星10 天的廣播星歷數(shù)據(jù)，在單歷元前后各30 min 的時(shí)間段內(nèi)，設(shè)節(jié)點(diǎn)時(shí)間間隔為240 s，則1 h 共有16 個(gè)已知點(diǎn)；每30 s設(shè)置1 個(gè)檢核點(diǎn)，則總共有121 個(gè)檢核點(diǎn)，通過(guò)選取不同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合階數(shù)對(duì)廣播星歷進(jìn)行擬合，并統(tǒng)計(jì)X、Y、Z三個(gè)方向的擬合誤差. 本節(jié)共使用了240個(gè)參考?xì)v元擬合區(qū)間，檢核點(diǎn)最多時(shí)達(dá)到29 040 個(gè)，分別統(tǒng)計(jì)在不同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和擬合階數(shù)下J01 和J07衛(wèi)星廣播星歷X、Y、Z方向的擬合誤差，J01 衛(wèi)星的統(tǒng)計(jì)情況如表3～5 所示，J07 衛(wèi)星的如表6～8 所示，需要注意的是節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)要大于等于擬合階數(shù)，所以表3～8 給出了表格的上三角部分.

表3 X 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

表4 Y 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

表5 Z 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

表6 X 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

表7 Y 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

表8 Z 方向上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與擬合階數(shù)不同組合的擬合誤差mm

針對(duì)J01 衛(wèi)星分析表3～5，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，擬合階數(shù)為7 時(shí)，X、Y、Z三個(gè)方向的Max 分別為12.48 mm、12.64 mm 和3.14 mm；當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為10 和13，擬合階數(shù)為9 時(shí)，擬合精度指標(biāo)在三個(gè)方向上均小于1 mm；當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為16 時(shí)，精度隨著擬合階數(shù)的增加迅速提高，擬合階數(shù)為10 時(shí)，Max 在三個(gè)方向均為小于1 mm；當(dāng)擬合階數(shù)超過(guò)10 時(shí)，存在所有擬合誤差不同程度上變大的情況，且耗時(shí)較長(zhǎng).

表6～8 是切比雪夫擬合法對(duì)J07 衛(wèi)星廣播星歷擬合精度的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，擬合階數(shù)取6 時(shí)，三個(gè)方向的誤差指標(biāo)都小于1 mm，其中Z方向Max 最小；當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為10 和13，擬合階數(shù)取7 時(shí)，Max 達(dá)到亞毫米級(jí). 當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為16 時(shí)，精度隨著擬合階數(shù)的增加迅速提高，擬合階數(shù)為7 時(shí)，Max 在三個(gè)方向均為小于1 mm；當(dāng)擬合階數(shù)在8～12 時(shí)，擬合精度遠(yuǎn)小于QZSS 廣播星歷米級(jí)的誤差，但隨著階數(shù)的增大計(jì)算耗時(shí)也逐漸增多.

3.2 不同時(shí)間間隔最優(yōu)擬合階數(shù)

固定時(shí)間間隔下，擬合節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，隨著擬合階數(shù)增大擬合誤差減小后增大，因此將三個(gè)方向Max 小于1 mm 且擬合階數(shù)最小的擬合階數(shù)定義為該時(shí)間間隔下的最優(yōu)擬合階數(shù). 繼續(xù)使用J01 和J07 衛(wèi)星10 天的廣播星歷，在參考?xì)v元前后30 min區(qū)間里，依次設(shè)置時(shí)間間隔為120 s、180 s、240 s、300 s和360 s，統(tǒng)計(jì)兩個(gè)衛(wèi)星在最優(yōu)組合擬合階數(shù)下的擬合精度如表9～10 所示.

表9 J01 衛(wèi)星不同時(shí)間間隔下最優(yōu)組合的誤差統(tǒng)計(jì)

由表9 和表10 可得，在固定擬合區(qū)間時(shí)，不同時(shí)間間隔下節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，當(dāng)J01 衛(wèi)星擬合階數(shù)取10 階和J07 衛(wèi)星擬合階數(shù)為7 階的情況下，Max、Mean 和Std 都小于1 mm，滿足精度需求. 同時(shí)，對(duì)比分析J01 和J07 衛(wèi)星的擬合情況可得，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同時(shí)，達(dá)到亞毫米級(jí)精度所需的J07 衛(wèi)星的擬合階數(shù)小于J01 衛(wèi)星階數(shù).

表10 J07 衛(wèi)星不同時(shí)間間隔下最優(yōu)組合的誤差統(tǒng)計(jì)

3.3 直接法與擬合法精度和效率對(duì)比

為比較直接法和擬合法的精度差異，圖1 和圖2 給出了J01和J07 衛(wèi)星在時(shí)間間隔為360 s 擬合最優(yōu)組合時(shí)三個(gè)坐標(biāo)方向在240 個(gè)參考?xì)v元區(qū)間內(nèi)所有檢核點(diǎn)擬合法與直接法之間的差值.

由圖1 和圖2 可知，Z方向的擬合誤差小于X和Y方向的擬合誤差，但三個(gè)方向的擬合誤差均小于1 mm，所以擬合法對(duì)廣播星歷的精度影響可以忽略. 由于軌道類型不同，擬合誤差的分布也不完全一致，GEO 衛(wèi)星擬合誤差明顯具有周期性.

圖1 360 s 時(shí)間間隔最佳擬合階數(shù)下J01 衛(wèi)星擬合誤差

圖2 360 s 時(shí)間間隔最佳擬合階數(shù)下J07 衛(wèi)星擬合誤差

在計(jì)算效率方面，使用擬合法時(shí)，只需將時(shí)間參數(shù)代入J01 和J07 衛(wèi)星在X、Y、Z三個(gè)方向分別提供一個(gè)10 階和7 階的切比雪夫多項(xiàng)式計(jì)算衛(wèi)星位置，而直接法計(jì)算過(guò)程中需要迭代計(jì)算. 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，J01 衛(wèi)星使用10 階切比雪夫擬合法比直接法時(shí)間效率提高了15%，J07 衛(wèi)星使用7 階切比雪夫擬合法比直接法時(shí)間效率提高了24%.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先使用2020 年年積日第118—127 天的QZSS 廣播星歷數(shù)據(jù)計(jì)算了衛(wèi)星坐標(biāo)，然后以精密星歷為參考值，使用10 天計(jì)算所得的衛(wèi)星坐標(biāo)數(shù)據(jù)評(píng)定了廣播星歷的精度，最后利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法對(duì)10 天的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行擬合，得出以下結(jié)論：

1)在空間大地坐標(biāo)系中，廣播星歷在X、Y、Z方向的Max 都小于7 m，Mean 不大于2.5 m，Std 最大值為1.728 m. 衛(wèi)星軌道坐標(biāo)中，N方向誤差大于R和T方向誤差. 總之，GEO 衛(wèi)星的廣播星歷誤差大于IGSO 衛(wèi)星，且所有衛(wèi)星誤差均處于米級(jí).

2)在固定時(shí)間間隔時(shí)，不同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)下擬合精度小于1 mm 的最優(yōu)擬合階數(shù)不完全相等；節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，擬合階數(shù)過(guò)低或過(guò)高擬合誤差都大于最優(yōu)擬合階數(shù)的擬合誤差. 當(dāng)擬合區(qū)間固定時(shí)，不同時(shí)間間隔的最優(yōu)擬合階數(shù)變化不大. 相同擬合條件下，GEO衛(wèi)星的最優(yōu)擬合階數(shù)小于IGSO 衛(wèi)星的最優(yōu)擬合階數(shù). 當(dāng)三個(gè)方向的擬合誤差均小于1 mm 時(shí)，X和Y方向的擬合誤差大于Z方向的擬合誤差.

3)最優(yōu)擬合階數(shù)下切比雪夫擬合法的擬合誤差不大于1 mm. 與直接法相比，運(yùn)算效率也有所提高.因此，最優(yōu)擬合階數(shù)的切比雪夫擬合法可作為一種QZSS 廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星坐標(biāo)的方法.