孫瑞琦，祁瑞

北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院， 北京 100081

1 引言

自1957年10月4日第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射升空，人類航天活動(dòng)日趨頻繁，在持續(xù)推進(jìn)航天科技發(fā)展的同時(shí)，也不可避免地產(chǎn)生了大量太空垃圾，即空間碎片?？臻g碎片不僅長(zhǎng)期占據(jù)寶貴的軌道資源，其極高的飛行速度也給在軌人員和資產(chǎn)造成威脅，一旦發(fā)生碰撞將產(chǎn)生大量小碎片，有可能進(jìn)一步引起碰撞鏈?zhǔn)椒磻?yīng)[1-2]。而僅依靠大氣阻力等方式清除碎片的速度遠(yuǎn)比不上不斷增加的發(fā)射任務(wù)等導(dǎo)致的空間碎片的產(chǎn)生速度[3-4]，因此，必須對(duì)空間碎片進(jìn)行主動(dòng)清除。在眾多碎片主動(dòng)清除技術(shù)中，繩系拖曳系統(tǒng)[5]因其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、成本低、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)可變、捕獲距離大等特點(diǎn)，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[6]。作為空間碎片的一類，失效航天器因體積和質(zhì)量較大，在確定清除目標(biāo)時(shí)應(yīng)得到足夠重視。并不是所有的失效航天器都是因?yàn)槿剂虾谋M而失效，有些航天器可能因器件損壞、通訊模塊故障而失效，雖然航天器已不受地面控制，但星上姿態(tài)穩(wěn)定的自動(dòng)控制模塊依然有效，將失效星穩(wěn)定在某一固定指向。對(duì)這類目標(biāo)開(kāi)展繩系拖曳清除，會(huì)發(fā)生拖船與目標(biāo)在姿態(tài)穩(wěn)定指向上的抗衡效果，從而表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)與控制特性。

目前已有許多學(xué)者展開(kāi)了關(guān)于繩系復(fù)合體的研究[7-8]，針對(duì)其離軌階段的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題，許多學(xué)者初步將拖船和目標(biāo)簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，觀察系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律并對(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行研究。Wen等將拖船和失效航天器均簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，基于勢(shì)能整形與阻尼注入設(shè)計(jì)了一種張力控制律，在拖曳離軌過(guò)程中，只需要系繩長(zhǎng)度反饋即可有效地使TST系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)[9]；劉海濤等忽略拖船與目標(biāo)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，針對(duì)TST系統(tǒng)離軌過(guò)程中系繩擺動(dòng)抑制，設(shè)計(jì)了系繩張力控制律，并構(gòu)造了使擺動(dòng)衰減的期望繩長(zhǎng)收放速率[10]；王班等針對(duì)切向推力作用下繩系復(fù)合體拖曳離軌過(guò)程中的縱向振動(dòng)問(wèn)題提出一種以速度控制為外環(huán)、以張力控制為內(nèi)環(huán)的雙閉環(huán)振動(dòng)控制法[11]。以上簡(jiǎn)化模型均忽略了拖船與失效航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)控制能力，這有可能導(dǎo)致系繩纏繞等問(wèn)題從而引起系統(tǒng)失穩(wěn)，因此為更加精細(xì)地描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者在簡(jiǎn)化模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將目標(biāo)視作剛體，對(duì)拖曳過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題進(jìn)行研究。Aslanov等將拖船視為質(zhì)點(diǎn)，失效航天器視為剛體，分析了目標(biāo)慣量、系繩長(zhǎng)度等對(duì)繩系拖曳系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的影響，得出當(dāng)系繩始終處在張緊狀態(tài)時(shí)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)失效航天器的成功拖曳等結(jié)論，針對(duì)此系統(tǒng)，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)失效航天器的振蕩幅度主要取決于系繩[12]。在失效航天器質(zhì)心與系繩固定點(diǎn)連線和系繩之間的角度較大時(shí)，系繩的振蕩幅度也會(huì)增大，易使系繩松弛進(jìn)而導(dǎo)致系繩纏結(jié)[13]；在此基礎(chǔ)上，還研究了失效航天器帶有剩余燃料[14]與柔性附件[15]時(shí)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，推導(dǎo)了TST系統(tǒng)在中心重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程，但并未考慮拖船與失效航天器的自主控制能力；為更加準(zhǔn)確地描述真實(shí)繩系拖曳系統(tǒng)模型，Jaworski等將拖船與失效航天器視作剛體，將系繩看作彈簧—質(zhì)點(diǎn)模型，在拖船有姿態(tài)控制能力的情況下，研究了系繩材質(zhì)對(duì)于目標(biāo)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響，通過(guò)仿真得出較大的系繩彈性系數(shù)會(huì)增加失效航天器碰撞的風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)論[16]；針對(duì)繩網(wǎng)清理失效航天器的繩系復(fù)合體拖曳離軌過(guò)程，Benvenuto等將繩系復(fù)合體中的拖船與失效航天器均視為剛體，研究了離軌過(guò)程中系繩松弛與推力器關(guān)機(jī)時(shí)導(dǎo)致的危險(xiǎn)情形，將離軌策略分為單次點(diǎn)火和多次點(diǎn)火兩種情況，分別給出了避免拖船與失效航天器碰撞的解決方案[17]。更加精細(xì)的動(dòng)力學(xué)模型帶來(lái)了復(fù)雜的控制問(wèn)題，為實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的姿軌控制，Linskens設(shè)計(jì)了滑?？刂破鲗?duì)拖船的相對(duì)軌道與姿態(tài)進(jìn)行控制，并將其性能與線性控制器進(jìn)行對(duì)比，但并未給出失效航天器姿態(tài)的詳細(xì)信息[18]；Zhang等基于Takagi-Sugeno模糊模型，通過(guò)求解一組線性矩陣不等式，獲得系統(tǒng)的控制律，在目標(biāo)有旋的情況下，通過(guò)拖船位置和系繩張力控制可以使系統(tǒng)在垂直于系繩的兩個(gè)方向上穩(wěn)定[19]；Jasper等提出了一種使用帶有燃料的火箭上面級(jí)與LEO區(qū)域失效航天器交會(huì)并通過(guò)系繩牽引離軌的方法，利用推力輸入整形法來(lái)減小推力器關(guān)機(jī)后拖船與失效航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)避免碰撞[20-21]；為增強(qiáng)系統(tǒng)的控制能力與魯棒性，Yang等建立了單繩拖曳系統(tǒng)的三維模型，在失效航天器初始旋轉(zhuǎn)的情況下通過(guò)系繩連接點(diǎn)偏置控制法與繩長(zhǎng)控制使系統(tǒng)穩(wěn)定；并提出了失效航天器的多繩分叉拖曳系統(tǒng)，在失效航天器有不同初始角速度的情況下進(jìn)行仿真，說(shuō)明了所提出系統(tǒng)的有效性[22-23]。

以上研究均未考慮繩系復(fù)合體中失效航天器姿態(tài)可控的情況。在對(duì)具有姿態(tài)控制能力的失效航天器進(jìn)行繩系拖曳時(shí)，會(huì)發(fā)生拖船與目標(biāo)在姿態(tài)穩(wěn)定指向上的抗衡，拖曳方向易受影響，可能出現(xiàn)拖曳路徑漂移，從而導(dǎo)致清除任務(wù)的失敗。本文針對(duì)這一問(wèn)題開(kāi)展研究，將拖船與失效航天器均視為剛體，采用牛頓法對(duì)繩系拖曳系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，并針對(duì)失效的自旋穩(wěn)定航天器和三軸穩(wěn)定航天器分別開(kāi)展了拖曳動(dòng)力學(xué)與控制分析，研究了繩系復(fù)合體在拖曳離軌過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，為帶有殘余姿態(tài)控制能力的失效航天器的清除與未來(lái)的空間攻防提供了參考。

2 系統(tǒng)描述

2.1 模型基本假設(shè)

如圖1所示，TST系統(tǒng)由拖船、失效航天器(下文中簡(jiǎn)稱“碎片”)和連接兩航天器的一根柔性系繩組成，首先，做出如下假設(shè)：

1)除地心引力外，忽略其他外部擾動(dòng)；

2)系繩受剪和受扭量級(jí)遠(yuǎn)小于受拉的量級(jí)，因此忽略系繩所受的剪切力和扭矩，只考慮系繩所受拉力；

3)假設(shè)連接拖船與碎片的系繩無(wú)質(zhì)量，但具有剛度和阻尼；

4)拖船與碎片均被視為剛體。

圖1 TST系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Sketch of tethered space-tug system

2.2 坐標(biāo)系定義

為描述系統(tǒng)各體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，定義如下坐標(biāo)系：

1)地心赤道慣性系fe(CeXeYeZe)

慣性參考系，以地球質(zhì)心為中心，Xe沿著春分點(diǎn)方向；Ze垂直于地球赤道平面；Ye位于赤道平面，滿足右手定則。

2)軌道坐標(biāo)系f0(C0X0Y0Z0)

原點(diǎn)C0固連在拖船質(zhì)心，Z0軸從原點(diǎn)指向地球中心；X0軸在軌道平面內(nèi)，垂直于軸并指向系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方向；Y0軸方向滿足右手定則。

3)拖船本體系f1(C1X1Y1Z1)

原點(diǎn)C1固連在拖船剛體質(zhì)心，三個(gè)坐標(biāo)軸方向分別沿拖船的慣性主軸方向。

4)碎片本體系f2(C2X2Y2Z2)

原點(diǎn)C2固連在碎片剛體質(zhì)心，三個(gè)坐標(biāo)軸方向分別沿目標(biāo)的慣性主軸方向。

3 TST系統(tǒng)建模

3.1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

本文中主要涉及的坐標(biāo)系為：地心赤道慣性系fe、軌道坐標(biāo)系f0、拖船本體系f1和碎片本體系f2。為了避免拖船與碎片姿態(tài)大角度變化時(shí)發(fā)生奇異，f1系與f2系相對(duì)于f0系的姿態(tài)分別通過(guò)四元數(shù)Q1=[q10,q11,q12,q13]T、Q2=[q20,q21,q22,q23]T來(lái)描述。

軌道系的三軸向量可表示為：

jo=-(Rs)e×(Vs)e/‖Rs×Vs‖

ko=-(Rs)e/‖(Rs)e‖

io=jo×ko

式中：(Rs)e、(Vs)e分別為拖船在慣性系下的位置矢量與速度矢量。

地心慣性系到軌道系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為：

Aoe=[io,jo,ko]T

f0系到f1系與f2系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣分別為：

歐拉角按軌道坐標(biāo)系“3-1-2”旋轉(zhuǎn)到本體坐標(biāo)系，四元數(shù)與歐拉角的相應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

3.2 系統(tǒng)質(zhì)心動(dòng)力學(xué)建模

TST系統(tǒng)在軌運(yùn)行所受外力主要為重力與發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，拖船與碎片所受的重力可寫作：

式中：μ為地球引力常數(shù)；ms、md分別為拖船與碎片的質(zhì)量；Rs、Rd分別為拖船與碎片質(zhì)心的位置矢量。

由牛頓第二定律，拖船的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

(1)

式中：fT為施加在拖船上的推力；Gs為拖船所受重力；Ts為拖船所受系繩拉力。

(2)

式中：Gd為碎片所受重力；Td為碎片所受系繩拉力。

3.3 碎片的質(zhì)心相對(duì)動(dòng)力學(xué)建模

TST系統(tǒng)在高軌運(yùn)行時(shí)，其位置向量的變化遠(yuǎn)小于位置向量的大小，在慣性系下直接進(jìn)行計(jì)算可能會(huì)引起較大誤差，因此考慮建立碎片相對(duì)于拖船的動(dòng)力學(xué)方程。

碎片相對(duì)于拖船的位置矢量為：

rsd=Rd-Rs

將rsd對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：

(3)

式中：ω0為軌道系相對(duì)慣性系的角速度矢量，滿足：

(4)

將式(3)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：

(d2rsd/dt2)o=d2(rsd)o/dt2+

(5)

將式(2)與式(1)相減，有：

(6)

由坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：

(d2Rsd/dt2)o=Aoe(d2Rsd/dt2)e

(7)

聯(lián)立式(5)、(6)、(7)可得：

3.4 系繩張力模型

系繩拉力可以使用Kelvin-Voigt模型計(jì)算，將其近似為線彈性部分Te和阻尼的Tv線性組合：

T=Te+Tv

系繩的長(zhǎng)度變化率可以通過(guò)系繩兩端點(diǎn)相對(duì)速度在系繩方向的投影來(lái)計(jì)算，即：

式中：VA為系繩在拖船上連接點(diǎn)處的速度矢量；VB為系繩在碎片上連接點(diǎn)處的速度矢量。

系繩兩端點(diǎn)的速度在慣性系下可分別寫作：

式中：ω1、ω2分別為拖船和碎片本體系相對(duì)于慣性系的角速度，由角速度關(guān)系可知：ωi=ωoi-ω0，(i=1,2)，其中，ωoi為拖船/碎片相對(duì)軌道系的角速度矢量；Ae1、Ae2分別為拖船本體系與碎片本體系到慣性系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

3.5 拖船與碎片姿態(tài)動(dòng)力學(xué)

采用四元數(shù)描述的拖船與碎片的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

將拖船與碎片視作勻質(zhì)長(zhǎng)方體剛體，二者所受的重力梯度力矩在各自本體系f1與f2下的分量列陣為：

拖船與碎片的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可分別寫作：

式中：M1、M2分別為拖船與碎片所受的外力矩；Mi=MiG+Mic+MiT,i=1,2，其中，MiG、Mic、MiT分別為拖船與碎片所受的重力梯度力矩、控制力矩與系繩拉力產(chǎn)生的力矩。

3.6 拖船姿態(tài)控制模型

為了維持拖曳方向穩(wěn)定，拖船具有姿態(tài)控制能力，當(dāng)拖船實(shí)際姿態(tài)偏離期望姿態(tài)時(shí)，姿態(tài)控制系統(tǒng)對(duì)拖船施加控制力矩，把姿態(tài)穩(wěn)定在期望值附近。

在拖船控制律的設(shè)計(jì)中，采用姿態(tài)誤差四元數(shù)與誤差角速度來(lái)描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)：

拖船的三個(gè)慣性主軸上各安裝有一個(gè)反作用輪，采用PD控制律，則拖船控制器輸出的控制力矩為：

式中：K1p、K1d為反饋增益；M1c為在拖船本體系下表示的控制力矩。

3.7 系統(tǒng)軌道描述與計(jì)算

本文采用改進(jìn)的春分點(diǎn)軌道根數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)，改進(jìn)的春分點(diǎn)軌道根數(shù)與經(jīng)典軌道根數(shù)可通過(guò)下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

相應(yīng)的高斯攝動(dòng)方程如下：

(8)

式中：w=1+fcosL+gsinL；s2=1+h2+k2。 將軌道攝動(dòng)方程(8)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程同時(shí)積分，可以得出系統(tǒng)在慣性系下的軌道高度及角速度：

4 自旋穩(wěn)定碎片拖曳分析

4.1 自旋穩(wěn)定碎片姿態(tài)控制模型

當(dāng)自旋穩(wěn)定碎片為對(duì)稱剛體時(shí)，章動(dòng)角?為：

碎片自旋角速度ω2y較大且基本保持不變，因此可以通過(guò)減小橫向角速度ω2xz的大小來(lái)減小章動(dòng)角?。

假設(shè)自旋穩(wěn)定碎片采用主動(dòng)噴氣控制策略，推力器安裝在平行于碎片本體軸Y2方向的星體表面上，如圖2所示。

圖2 作用在自旋穩(wěn)定碎片上的推力示意Fig.2 Sketch of thrust on the spin stabilized debris

考慮角速度測(cè)量誤差，當(dāng)控制力矩方向?yàn)樗槠瑱M向角速度的反方向時(shí)，消章效果最好。具體的噴氣相位選擇方法為：

式中：ωon=J2yω2ytan?e/J2x為噴管開(kāi)啟閾值；?e為章動(dòng)角控制精度。

4.2 算例仿真

初始系統(tǒng)在橢圓軌道運(yùn)行，拖船與碎片均有姿態(tài)控制能力，拖船為三軸穩(wěn)定，碎片為自旋穩(wěn)定。建立仿真模型，采用變步長(zhǎng)龍格—庫(kù)塔方程對(duì)建立的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行積分。系統(tǒng)輸入?yún)?shù)如表1所示。

表1 TST系統(tǒng)參數(shù)

初始拖船繞各軸無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，主慣性矩[Jx1,Jy1,Jz1]為[1 500,1 500,500]kg·m2。碎片質(zhì)量md為400 kg, 主慣性矩[Jx2,Jy2,Jz2]為[700,1 200,700]kg·m2。初始以[0,-30(°)/s,0]旋轉(zhuǎn)，章動(dòng)角控制精度?e取0.01°，期望自旋軸為垂直于軌道面的方向，初始拖船與碎片的本體系與軌道系重合，姿態(tài)四元數(shù)可表示為[q10,q11,q12,q13,q20,q21,q22,q23]T=[1,0,0,0,1,0,0,0]T，拖船的期望姿態(tài)四元數(shù)與歐拉角分別為Q1d=[1,0,0,0]T與Ω1=[0°,0°,0°]T；碎片理想姿態(tài)為自旋軸Y2與軌道系Y0重合，系繩在碎片上的連接點(diǎn)為[-2.12,0,0]，拖船上控制器的參數(shù)分別為K1p=[120,120,40]T與K1d=[1 200,1 200,400]T。

假定推力ft大小恒定，為比較不同推力大小對(duì)系統(tǒng)的影響，分別取幅值為5 N、10 N、15 N與20 N的推力進(jìn)行仿真，推力方向均在本體系f1下沿-X1軸方向，隨拖船姿態(tài)改變而變化，如圖3所示。

圖3 作用在拖船上的推力示意Fig.3 Sketch of thrust on the space tug

軌道偏心率、軌道高度與軌道角速度如圖4所示。

圖4 不同推力大小作用下軌道元素的時(shí)間歷程Fig.4 Evolution of system’s orbit under different thrust

由圖4可知，在給定的不同大小推力作用下，每一次振蕩都對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)繞地球一次完整的旋轉(zhuǎn)。如圖4(a)所示，偏心率隨時(shí)間振蕩增大，推力越大，偏心率振幅越大，振蕩越劇烈；由圖4(b)可知，由于施加在拖船上的推力與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)反向，系統(tǒng)的軌道高度沿螺旋線軌跡緩慢降低；相應(yīng)地，如圖4(c)所示，軌道角速度隨著時(shí)間振蕩增大，振幅也隨時(shí)間緩慢增大。推力越大，軌道高度下降越快，軌道角速度越大，降軌效率越高。

如圖5所示，在0.4天的仿真時(shí)間內(nèi)，拖船與碎片的姿態(tài)角隨時(shí)間振蕩變化，均呈現(xiàn)出振幅衰減趨勢(shì)。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，拖船并未穩(wěn)定在理想姿態(tài)，碎片無(wú)法維持自旋；推力越大，姿態(tài)角收斂越快，且穩(wěn)定后振蕩較小，TST系統(tǒng)越快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 不同大小推力作用下拖船與碎片姿態(tài)角時(shí)間歷程Fig.5 Time history of Euler angles of space tug and debris under different thrust

如圖6所示，由于推力方向會(huì)隨拖船姿態(tài)變化而變化，在不同大小推力作用下，TST系統(tǒng)的面外角與面內(nèi)角在給定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到不同值，推力越大，面外角最終的穩(wěn)定值越大，面內(nèi)角在0°附近以不同振幅隨時(shí)間振蕩變化。

圖6 不同大小推力作用下TST系統(tǒng)面內(nèi)角、面外角時(shí)間歷程Fig.6 Time history of in-plane angle and out-plane angle of TST system

綜合圖4、圖5與圖6可知，推力主要影響系統(tǒng)的軌道，推力越大，系統(tǒng)降軌效率越高；同時(shí)推力大小對(duì)系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定也起到一定的作用。

發(fā)動(dòng)機(jī)推力幅值取10 N，分別改變系繩在碎片上的連接點(diǎn)位置進(jìn)行仿真，系繩初始連接點(diǎn)的位置如表2所示，連接點(diǎn)1、2與3在碎片星體表面，4在自旋軸上，如圖7所示，紅色圓點(diǎn)表示系繩在碎片上的連接點(diǎn)；自旋穩(wěn)定碎片的三軸角速度、拖船碎片的姿態(tài)角與系繩張力分別如圖8～12所示。

表2 系繩在碎片上的連接點(diǎn)位置

圖7 系繩在碎片上的連接點(diǎn)示意Fig.7 Sketch of attachment points on space debris

圖8 自旋穩(wěn)定碎片本體系下三軸角速度的時(shí)間歷程Fig.8 Time history of three-axis angular rate of spin stabilized debris

如圖8所示，在給定的仿真時(shí)間內(nèi)，碎片在本體系下沿三個(gè)軸的姿態(tài)角速度隨時(shí)間振蕩變化，最終穩(wěn)定在特定值附近以不同的振幅振蕩。當(dāng)系繩連接點(diǎn)在位置1、2和3時(shí)，碎片的自旋角速度最終均穩(wěn)定在0(°)/s附近振蕩變化，無(wú)法維持自旋狀態(tài)，連接點(diǎn)越靠近表面邊緣，角速度振蕩越劇烈。當(dāng)連接點(diǎn)在碎片的自旋軸上時(shí)，由于系繩張力在垂直于碎片自旋軸的方向，不改變目標(biāo)自旋角速度的大小,只改變其方向，故碎片沿自旋軸方向的角速度大小一直保持在-30(°)/s，沿本體系X2、Z2方向的角速度最終在0(°)/s附近小幅度振蕩變化。

如圖9與圖10所示，在給定的仿真時(shí)間內(nèi)，拖船與碎片的三個(gè)姿態(tài)角隨時(shí)間振蕩變化，除碎片的俯仰角θ2之外，均呈現(xiàn)出收斂趨勢(shì)；拖船與碎片的姿態(tài)角在初始階段，系繩從松弛突然張緊，系繩張力在拖船與碎片上產(chǎn)生力矩，姿態(tài)角偏離理想狀態(tài)；在控制器與系繩的共同作用下，拖船的三個(gè)姿態(tài)角并未收斂到期望姿態(tài)，最終穩(wěn)定到不同特定值附近振蕩；當(dāng)系繩連接點(diǎn)在碎片自旋軸上時(shí)，碎片的滾轉(zhuǎn)角φ2與偏航角ψ2最終在[-10°,10°]與[-78°,-88°]內(nèi)振蕩。如圖10所示，θ2在[-180°,180°]內(nèi)不斷振蕩，這是由于將四元數(shù)轉(zhuǎn)換為歐拉角時(shí)，反正切函數(shù)的值域有限制，由碎片的三軸角速度可知，碎片應(yīng)為單向旋轉(zhuǎn)，θ2實(shí)際不斷增大，并非振蕩變化，TST系統(tǒng)的最終狀態(tài)如圖11所示，碎片自旋軸由垂直于軌道面變?yōu)樵谲壍烂娓浇袷?，碎片繞自旋軸以-30(°)/s的角速度旋轉(zhuǎn)。

圖9 拖船與碎片姿態(tài)角時(shí)間歷程Fig.9 Time history of Euler angles of space tug and spin stabilized debris

圖10 當(dāng)系繩連接點(diǎn)在碎片自旋軸上時(shí)碎片θ2的時(shí)間歷程Fig.10 Time history of θ2 when attachment point is on spinning axis

圖11 當(dāng)系繩連接點(diǎn)在碎片自旋軸上時(shí)TST系統(tǒng)穩(wěn)定后的狀態(tài)示意Fig.11 TST system in equilibrium state when attachment point is on spinning axis

圖12 系繩張力大小的時(shí)間歷程Fig.12 Time history of tether tension

如圖12所示，隨著拖船與碎片之間距離增大，系繩張緊；而后，張力大小隨時(shí)間振蕩減小。在系繩阻尼作用下，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定，系繩在拖曳過(guò)程中始終處于張緊狀態(tài)，張力最終穩(wěn)定在4.45 N附近振蕩變化。

5 三軸穩(wěn)定碎片拖曳分析

5.1 三軸穩(wěn)定碎片姿態(tài)控制模型

在碎片控制律的設(shè)計(jì)中，采用姿態(tài)誤差四元數(shù)與誤差角速度來(lái)描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。

碎片的三個(gè)慣性主軸上各安裝有一個(gè)反作用輪，采用PD控制律，則碎片控制器輸出的控制力矩為：

式中：K2p、K2d為反饋增益；M2c為在碎片本體系下表示的控制力矩。

5.2 算例仿真

初始系統(tǒng)在橢圓軌道運(yùn)行，同理采用變步長(zhǎng)龍格—庫(kù)塔方程對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行積分。系統(tǒng)輸入?yún)?shù)與表1相同，拖船主慣性矩[Jx1,Jy1,Jz1]為[1 500,1 500,500]kg·m2。碎片質(zhì)量md為700 kg, 主慣性矩[Jx2,Jy2,Jz2]為[2 000,2 000,700]kg·m2。

初始拖船與碎片繞各軸無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，拖船與碎片初始姿態(tài)四元數(shù)分別為[q10,q11,q12,q13]T=[1,0,0,0]T與[q20,q21,q22,q23]T=[cos (π/8),0,0,sin (π/8)]T，相對(duì)軌道系的期望姿態(tài)四元數(shù)分別為Q1d=[1,0,0,0]T、Q2d=[cos (π/8),0,0,sin (π/8)]T，拖船與碎片期望歐拉角分別為Ω1=[0°,0°,0°]T與Ω2=[0°,0°,45°]T。碎片初始姿態(tài)示意圖如圖13所示。

拖船上控制器的參數(shù)分別為K1p=[120,120,40]T與K1d=[1 200,1 200,400]T；碎片上控制器的參數(shù)分別為K2p=[160,160,56]T與K2d=[1 600,1 600,560]T。假定推力Ft為10 N，大小恒定，在本體系f1下沿-X1軸方向，會(huì)隨拖船姿態(tài)改變而變化。改變系繩在碎片星體表面連接點(diǎn)的位置進(jìn)行仿真，系繩初始連接點(diǎn)的位置如表3所示，連接點(diǎn)如圖13所示，紅色圓點(diǎn)表示系繩在碎片上的連接點(diǎn)；拖船碎片的姿態(tài)角、碎片控制器輸出的力矩與系繩張力如圖14-圖16所示。

表3 系繩在碎片上的連接點(diǎn)位置

圖14 拖船與碎片姿態(tài)角的時(shí)間歷程Fig.14 Time history of Euler angles of space tug and three-axis stabilized debris

如圖14所示，在0.5 d的仿真時(shí)間內(nèi)，拖船與碎片的姿態(tài)角均隨時(shí)間振蕩變化，最終均未穩(wěn)定至期望姿態(tài)Ω1=[0°,0°,0°]T與Ω2=[0°,0°,45°]T；由于系繩連接在星體表面的不同位置，張力作用對(duì)碎片產(chǎn)生的力矩不同，故三軸姿態(tài)角最終穩(wěn)定在不同特定值附近，值的大小與系繩連接點(diǎn)位置有關(guān)；當(dāng)連接點(diǎn)在位置1、2與3時(shí)，碎片的三個(gè)姿態(tài)角最終分別穩(wěn)定到[0°,0.1°,35.5°]、[-4.1°,-4.5°,41°]與[-7.2°,-7°,-44°]附近。

如圖15所示，在給定的仿真時(shí)間內(nèi)，碎片的控制器輸出的三軸力矩呈現(xiàn)出隨時(shí)間振蕩收斂的趨勢(shì)。碎片在初始受到系繩張力時(shí)，姿態(tài)產(chǎn)生變化，此時(shí)控制器通過(guò)輸出控制力矩來(lái)將碎片姿態(tài)保持在理想位置，結(jié)合圖14可知，TST系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，碎片的姿態(tài)角并未收斂至期望位置，故控制器輸出力矩不為0，穩(wěn)定后的姿態(tài)偏離理想姿態(tài)越多，控制器輸出的控制力矩越大。

圖15 碎片控制器三軸輸出力矩Fig.15 Output torque of debris controller

如圖16所示，系繩在拖曳過(guò)程中始終處于張緊狀態(tài)，系繩連接點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)系繩的張力并無(wú)明顯影響。

6 結(jié)論

本文針對(duì)帶有殘余姿態(tài)控制能力的空間碎片的繩系拖曳系統(tǒng)，采用牛頓法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，考慮目標(biāo)穩(wěn)定方式分別為自旋穩(wěn)定與三軸穩(wěn)定兩種情況，分析了拖曳系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制行為，并研究了不同系繩連接點(diǎn)的影響，通過(guò)仿真得到下列結(jié)論：

圖16 系繩張力大小的時(shí)間歷程Fig.16 Time history of tether tension

1)推力主要影響系統(tǒng)的軌道，同時(shí)對(duì)拖船與碎片的姿態(tài)穩(wěn)定也起到一定的作用；推力越大，系統(tǒng)降軌效率越高，拖船與目標(biāo)的姿態(tài)角越快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

2)當(dāng)目標(biāo)為失效自旋穩(wěn)定碎片時(shí)，若系繩連接點(diǎn)在星體表面，碎片無(wú)法保持自旋狀態(tài)，拖船與目標(biāo)的三個(gè)姿態(tài)角均在控制律作用下逐漸穩(wěn)定到特定值附近；若系繩連接點(diǎn)在星體自旋軸上，則僅自旋軸方向發(fā)生改變，自旋角速度變化不大，此時(shí)系繩會(huì)出現(xiàn)扭曲。

3)當(dāng)目標(biāo)為失效三軸穩(wěn)定碎片時(shí)，拖曳組合體的姿態(tài)在目標(biāo)姿態(tài)控制與拖船拖曳的雙方抗衡下逐步收斂，收斂后的組合體穩(wěn)定姿態(tài)與目標(biāo)姿態(tài)控制能力和拖船推力幅值等系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)。

4)本文研究了利用TST系統(tǒng)清除帶有姿態(tài)控制能力的失效航天器中的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題，為此類空間碎片的安全清除與未來(lái)空間攻防提供了參考。后續(xù)將進(jìn)一步展開(kāi)針對(duì)使用TST系統(tǒng)清除質(zhì)量參數(shù)、慣量參數(shù)與控制參數(shù)未知的失效航天器中的未知參數(shù)估計(jì)問(wèn)題與系繩張力控制律的研究。