多視角解析一道2021年三模壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué) 835400)

一、題目呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

二、總體分析

定點、定值是圓錐曲線中的常見問題，問題的呈現(xiàn)形式有：以兩直線斜率乘積、和、比值為定值引出的直線過定點；或已知直線過定點，能否得出兩直線斜率之積、和或比值為定值.本文擬以直線過定點，兩直線斜率比值為定值進(jìn)行多視角探究，旨在理清問題的本質(zhì)，找到解決此類問題的行之有效的方法.

三、試題解答

以下重點探討第(2)問.

視角1利用直線的普通方程求解.

將④⑤代入，化簡整理,得

視角2圓錐曲線齊次化，借助橢圓的第三定義求解.

又直線m(x+3)+ny=1過點F(-2,0)，所以m=1.

此時，直線方程設(shè)為mp+nq=1.⑦

直線過點(1,0)，所以m=1.

將⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

評注以上三種解法的本質(zhì)是圓錐曲線的齊次化，其中一種策略是平移圓錐曲線，比如以上的解法5，不過學(xué)生對這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下，步驟為：

(1)設(shè)直線方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1；

(4)得出結(jié)論：比如以上的解法3和解法4.當(dāng)然還需要借助橢圓的第三定義聯(lián)合求解.

視角3借助韋達(dá)定理求解.

評注圓錐曲線結(jié)合韋達(dá)定理，求解的方法又稱圓錐曲線的公式聯(lián)立，其實是一套求解橢圓(或雙曲線)與直線相交時，聯(lián)立方程求判別式、韋達(dá)定理與相交弦等問題的公式，平時并不多見.針對學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以適當(dāng)介紹，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的思維能力.

四、解后反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出，高中數(shù)學(xué)的六大素養(yǎng)為數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)急需提高學(xué)生的綜合能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師要鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中勤思考、多動腦，在對兩直線斜率比值、乘積以及和為定值的問題探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).教師可以根據(jù)核心素養(yǎng)所提出的相關(guān)理論進(jìn)行教學(xué)方式、教學(xué)目的的調(diào)整，使學(xué)生能夠得到更全面的發(fā)展，將立德樹人的根本任務(wù)落到實處.

“一題多解”既可以豐富教學(xué)內(nèi)容，也可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得活潑生動，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓每個學(xué)生都自覺地投入到課堂中來，不僅可以使學(xué)生集中注意力，還可以使學(xué)生的思維越來越縝密，考慮越來越周全.應(yīng)用“多題一解”的教學(xué)，可以鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力，使得學(xué)生“做一題，會一類”.“多題一解”的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，還能映射生活的哲理，對于學(xué)生生存能力的提高也有效果.