高中三角函數(shù)教學(xué)中的整合策略研究*

廣東省廣州市第四十一中學(xué)(510250) 李菊

三角函數(shù)章節(jié)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中的一項重要的組成部分,也是高考的重點內(nèi)容之一.三角函數(shù)的公式繁多復(fù)雜,而且富于變化,學(xué)生很難完全理解和融會貫通,教師要從高中數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和方法,進行必要的補充、精簡、調(diào)整、統(tǒng)合,實施有效的整合策略,從而建立更加有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu),并落實到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去,高屋建瓴,從聯(lián)系中尋找解決問題的思路.下面從幾個角度談?wù)劇叭呛瘮?shù)”教學(xué)整合策略:

1 整合情境創(chuàng)設(shè),培養(yǎng)探究能力

新一輪數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的課程模式,三角函數(shù)的相關(guān)知識內(nèi)容,其實與我們的生活都有著密切而廣泛的關(guān)聯(lián),因此教師在進行三角函數(shù)的教學(xué)時,可以充分應(yīng)用三角函數(shù)生活性的特點,在符合其課堂知識內(nèi)容的基礎(chǔ)上,創(chuàng)設(shè)與實際生活密切關(guān)聯(lián)的情境,引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué)之中,良好地感知,產(chǎn)生強烈的探究與求知的欲望.例如:為了將三角函數(shù)的圖像性質(zhì)更好地讓學(xué)生理解,引導(dǎo)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)過程,提升其探究能動性,教師可以在新知識的教學(xué)之前,將本節(jié)課的知識點內(nèi)容和實際生活中的問題結(jié)合,創(chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境,設(shè)置如下的問題:

假設(shè)半徑為2 米的風(fēng)車,每隔12 秒旋轉(zhuǎn)一周,其最低點O距離地面0.5 米,風(fēng)車圓周上一點A從O開始,其運動t(s)后,與地面的距離設(shè)為h(m).那么(1)函數(shù)的h=f(t)關(guān)系式如何?(2)你能畫出函數(shù)h=f(t)的圖像嗎?

在這樣的問題教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)下,加上教師的鼓勵性語言,以及生活情境的感觸,就會很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,充分發(fā)揮其內(nèi)心想要學(xué)習(xí)的情感,探究欲望也得到了明顯的加強.在充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性及探究性的情況下,其內(nèi)在能動性會促使學(xué)生積極參與到整體教學(xué)活動之中,有利于其分析、解決問題能力和數(shù)學(xué)問題素養(yǎng)的提高.

2 整合教學(xué)過程,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀表明:知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生,而只能由每個學(xué)生依據(jù)自身已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu).學(xué)習(xí)者必須依據(jù)自身已有的知識和經(jīng)驗(認(rèn)知結(jié)構(gòu))對新的學(xué)習(xí)內(nèi)容作出恰當(dāng)?shù)慕忉?并應(yīng)在兩者之間加以實質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系.只有這樣,新的學(xué)習(xí)內(nèi)容對于主體而言才能真正成為有意義的.這就需要我們把數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有機整合,精心設(shè)計教學(xué)過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題素養(yǎng)和數(shù)學(xué)觀念素養(yǎng).

如在新課“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”里,教科書提出:“根據(jù)三角函數(shù)的定義,可以討論同角三角函數(shù)間的一些基本關(guān)系.由式子可以看出,當(dāng)時,有又通過x2+y2=r2,可以看出,1.”然后再舉例說明關(guān)系式在求值、三角函數(shù)恒等式證明中的應(yīng)用.雖然這樣做可以非?？旖莸匕阎R教給學(xué)生,但總讓人感覺到有把學(xué)生當(dāng)成“知識容器”之嫌.另外具有獨立探索精神的學(xué)生也許會提出疑問:怎么會想到要討論這些基本關(guān)系的?顯然,這些疑問是學(xué)生認(rèn)識事物的內(nèi)部規(guī)律時必然會產(chǎn)生的,是學(xué)生從知識發(fā)生發(fā)展過程、知識之間的相互聯(lián)系性去認(rèn)識知識的必然產(chǎn)物.如果漠視這些思想,不但會失去一次極好的思想教育機會,還會使教學(xué)變得呆板機械,降低課堂教學(xué)質(zhì)量.因此,教師必須根據(jù)學(xué)生可能產(chǎn)生的疑問,對教學(xué)進行整合設(shè)計.例如,教師可以結(jié)合“基本關(guān)系式”的作用來設(shè)計教學(xué)情境,安排“再發(fā)現(xiàn)”過程.

教師按照學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律和不同知識內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展規(guī)律整合“兩個過程”,課堂教學(xué)中放手讓學(xué)生自己去獨立實踐和思考.這種設(shè)計,著重于知識的發(fā)展發(fā)生過程,利用了基本關(guān)系式不同的表現(xiàn)形式,使學(xué)生感到教學(xué)內(nèi)容不是從天而降,對教學(xué)過程做到心中有數(shù),而且還使學(xué)生從中體驗到數(shù)學(xué)研究的思想方法,其中包含了試驗、猜想、聯(lián)想、類比、推理等.這些正是通過教學(xué)過程的整合以培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力、創(chuàng)造精神和探索新知識的能力以及數(shù)學(xué)觀念的最好體現(xiàn).

3 整合信息技術(shù),擴大思維空間

在《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》中提出了“信息技術(shù)對教育發(fā)展具有革命性影響”的觀點.但是在信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)教學(xué)方面,全國目前仍處于“初級階段”,離信息化社會發(fā)展的要求尚有較大的距離.有了信息技術(shù)工具,運算技能較弱的學(xué)生也可以進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).信息技術(shù)也可以促進教學(xué)內(nèi)容的變革,可以增加與“腦力勞動”相關(guān)的內(nèi)容,讓學(xué)生有更多的時間用于理解數(shù)學(xué)本質(zhì),更有效地培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力.

隨著科技的不斷發(fā)展與進步,科技產(chǎn)品給課堂教學(xué)帶來了更多的便捷.例如模擬勻速圓周運動的過程而明確其中的常量、變量及其相互關(guān)系,作函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)的圖像和討論參數(shù)“A,ω,ψ的變化對函數(shù)的影響”都是新課教學(xué)的難點,而信息技術(shù)為化解這些難點提供了條件.借助信息技術(shù),不僅能方便地展示勻速圓周運動的過程,而且可以通過有意識的控制,幫助學(xué)生觀察影響運動的要素及其關(guān)系;不僅使“畫圖象”變得簡單,而且參數(shù)“A,ω,ψ的變化導(dǎo)致圖像變化的規(guī)律也很容易發(fā)現(xiàn).進一步利用信息技術(shù)展示y=sin(ωx+ψ)+b的圖像變換,兩種不同方法對應(yīng)的兩種變化過程,能使學(xué)生更好地理解和掌握這兩種情況下平移量不同這一個難點,使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)的價值.這種數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化與滲透通過信息技術(shù)展現(xiàn)出來,使得繁雜的數(shù)學(xué)變得生動趣味,充滿活力.信息技術(shù)在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想、解決問題、交流想法和展示成果等方面發(fā)揮了很大的作用.

4 整合知識脈絡(luò),構(gòu)建知識框架

三角函數(shù)的題型雖然千變?nèi)f化,但萬變不離其宗,變來變?nèi)o非都是圍繞著三角函數(shù)的本質(zhì)展開變形的,而且三角函數(shù)的公式形式多變,種類繁多,學(xué)生很難熟記每一個公式,也容易混淆各個公式之間的聯(lián)系.因此三角函數(shù)的教學(xué)中,教師必須持有整體觀念,將三角函數(shù)置于更寬闊的知識框架中,把三角函數(shù)的內(nèi)容、題型進行整合復(fù)習(xí),靈活運用多樣化的教學(xué)方法,結(jié)合新課標(biāo)的要求和學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知特點,創(chuàng)新改組教學(xué)方案,使學(xué)生更加全面、具體地對三角函數(shù)的概念與知識形成良好的脈絡(luò)建構(gòu).我們可以將三角函數(shù)各部分知識、三角函數(shù)與其他章節(jié)的知識進行橫向、縱向的整合歸納,促進學(xué)生不斷積累、運用基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能素養(yǎng)和方法素養(yǎng).

例如:復(fù)習(xí)三角函數(shù)同角三角函數(shù)關(guān)系的平方和關(guān)系sin2α+cos2α=1 和商的關(guān)系時可以分解成幾個考點,而不應(yīng)僅僅就兩個公式,干巴巴的.教學(xué)時,可以這樣圍繞這兩個公式設(shè)計以下幾個問題:

考點一:知一求二,即知道三角函數(shù)sinα,cosα,tanα的其中一個可以求另外兩個.

考點二:知一求二,即知道三角函數(shù)sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα的其中一個可以求另外兩個.

考點三:齊次分式,齊次分式就是把三角函數(shù)的式子化成相同指數(shù)冪的分?jǐn)?shù)形式.

練習(xí)3:已知tanα=2,求的值.

說明:可以用知一求二,由tanα=2 求出sinα和cosα的值,但計算量較大,注意到分式里每個數(shù)都是一次冪,可以利用商的關(guān)系每一個項都除以cosα.

變式一:已知tanα=2,求的值.

說明:分式里每一項的指數(shù)是2,所以每一項都除以cos2α.

變式二:已知tanα=2,求sinαcosα的值.

說明:要求的sinαcosα不是分式,但注意到它屬于二次冪,可以這樣變式從而變成上面變式一的形式了.

上面三個練習(xí)和變式很好體現(xiàn)了整合策略的重要性,構(gòu)建不同的知識結(jié)構(gòu)能簡化學(xué)生的運算,從而提高學(xué)生的解題能力和速度.

另一方面,在高考三角函數(shù)題目中,三角函數(shù)還經(jīng)常與其他章節(jié)內(nèi)容綜合來考.所以我們要注重三角知識的工具性,突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系,以及三角知識的應(yīng)用意識.如三角函數(shù)與平面向量綜合題的融合,三角函數(shù)與解三角形的熱點題型,解三角中的幾何計算等等,通過整合知識脈絡(luò),構(gòu)建知識框架,能夠幫助學(xué)生構(gòu)建更完整的知識框架,簡化數(shù)學(xué)問題,快速尋找到問題解決方法,全面激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

總而言之,三角函數(shù)知識作為高中數(shù)學(xué)知識體系的重要構(gòu)成部分,在新課程改革與素質(zhì)教育理念的指導(dǎo)下,高度重視學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)時遇到的問題和難點,整合出科學(xué)有效的三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與策略,對提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效率與質(zhì)量都有十分重要的現(xiàn)實意義.