滲透變中不變思想 提升數(shù)學(xué)抽象能力

文 尹 力 郭修瑾

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)解決問題的過程中，會面對千變?nèi)f化的對象，需要在這些變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是變中不變的思想。變中不變思想是數(shù)學(xué)抽象派生出的數(shù)學(xué)思想，從變化中尋找不變是舍棄非本質(zhì)因素，聚焦本質(zhì)特征的過程。滲透變中不變思想有利于學(xué)生體會變化的生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含不變的規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，形成透過表象看本質(zhì)的意識，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。因此，教師要在課堂教學(xué)中有意識地挖掘并滲透變中不變思想。

一、概念深化時(shí)滲透變中不變思想

學(xué)習(xí)概念時(shí)，首先借助典型例證幫助學(xué)生形成初步認(rèn)識。接著，運(yùn)用各種形式豐富的非典型例證將概念精致化，促使學(xué)生深化概念?？梢?，概念的例證多變，但概念的本質(zhì)不變，引導(dǎo)學(xué)生從不同例證中悟到它們所共有的本質(zhì)特征是學(xué)習(xí)概念時(shí)變中不變思想。這一過程中，多樣的例證會首先刺激學(xué)生的感官，吸引學(xué)生注意，甚至對新概念的建構(gòu)造成干擾，教師若能將不同的例證進(jìn)行比較分析，提問學(xué)生“什么變了，什么沒變”“變與不變哪個更重要”等，將助力學(xué)生深入認(rèn)識概念，感悟變中不變思想。

比如《認(rèn)識一個物體的幾分之一》教學(xué)中，教師先結(jié)合主題圖認(rèn)識二分之一，隨后讓學(xué)生用正方形紙折一折，涂出其中的二分之一。集體交流時(shí)，將不同的折法進(jìn)行比較，提問學(xué)生“為什么折法不同，卻都能表示二分之一”，引導(dǎo)學(xué)生體會雖然折與涂的方法不同，但“平均分成兩份，涂其中一份”不變，因而都能表示二分之一。進(jìn)一步，我們還可以讓學(xué)生用不同形狀的紙折一折、涂一涂表示二分之一。反饋時(shí)則聚焦“紙的形狀可以隨意變化”，但“平均分成兩份，表示其中一份”的特點(diǎn)不變。經(jīng)歷以上環(huán)節(jié)，學(xué)生能明顯體會到表示分?jǐn)?shù)時(shí)什么是重要的、什么是不重要的、什么可以變化的、什么不能變的，從而“變中不變”的思想也能順勢點(diǎn)明。

再如《認(rèn)識三角形的高》教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識豎直方向的高，在糾錯或畫高等練習(xí)中接觸任意方向的高，深化高的概念教學(xué)。顯然，這一過程中不論高的方向如何變化，“頂點(diǎn)到對邊的垂直線段”的本質(zhì)特征不變。隨后，將各種三角形羅列在一起，提問學(xué)生“觀察這些三角形的高，什么變了，什么不變”，引導(dǎo)學(xué)生舍棄形式、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、體會思想。當(dāng)然，學(xué)生還可能注意并提及其他變化的方面，但高的本質(zhì)內(nèi)涵總是不變的，這樣的“節(jié)外生枝”將有利于學(xué)生感悟變中不變思想。

二、公式推導(dǎo)時(shí)滲透變中不變思想

公式推導(dǎo)是從已有經(jīng)驗(yàn)演繹出新結(jié)論的過程。學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)往往是具體的、個別的，公式推導(dǎo)正是需要從這些具體經(jīng)驗(yàn)開始，經(jīng)過相同的演繹過程，獲得普遍性的認(rèn)識。不難發(fā)現(xiàn)，這一過程中學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)多變，而推導(dǎo)的過程與結(jié)論不變，變中不變思想便蘊(yùn)含其中。教學(xué)時(shí)要將個體經(jīng)驗(yàn)激發(fā)出來，充分體現(xiàn)變化的因素，再聚焦推導(dǎo)過程，關(guān)注不變的特點(diǎn)，最后引導(dǎo)學(xué)生回顧反思公式推導(dǎo)的過程就能從中提煉出變中不變的思想。

以平行四邊形面積公式的推導(dǎo)為例，教師先結(jié)合一個平行四邊形講解公式推導(dǎo)的過程，隨后要求學(xué)生自己設(shè)計(jì)一個平行四邊形，試著像剛才那樣推導(dǎo)出它的面積公式。學(xué)生自主設(shè)計(jì)平行四邊形的環(huán)節(jié)十分關(guān)鍵，能讓學(xué)生充分展示個體經(jīng)驗(yàn)，使得集體交流時(shí)有豐富的素材。反饋時(shí)，先要求學(xué)生根據(jù)自己的平行四邊形試著寫一寫、說一說推導(dǎo)過程，確保學(xué)生對公式的推導(dǎo)過程形成意義建構(gòu)。然后選擇并呈現(xiàn)幾則案例提問：推導(dǎo)公式時(shí)什么變化？什么沒變？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，全班學(xué)生會設(shè)計(jì)出不同的平行四邊形，它們的形狀是變化的，但我們可以將任意平行四邊形剪一剪、拼一拼得到面積相等的長方形，再發(fā)現(xiàn)平行四邊形的高與長方形的寬、平行四邊形的底與長方形的長的相等關(guān)系，由長方形的面積公式推出平行四邊形的面積公式。也就是說，平行四邊形的形狀變化，但推導(dǎo)過程與結(jié)論不變，順勢提煉變中不變思想。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)法則、定理的提煉過程與公式推導(dǎo)類似，也能滲透變中不變思想。因?yàn)樘釤挿▌t與定理時(shí)，我們總是從具體案例開始，對一個案例進(jìn)行詳細(xì)研究，再轉(zhuǎn)向其他案例進(jìn)行驗(yàn)證與提煉。這一過程中法則、定理不斷由特殊向一般發(fā)展，不斷由多變的形式向不變的本質(zhì)聚合。提煉出一般的法則與定理后再引導(dǎo)學(xué)生回顧整個過程，變與不變的關(guān)系會突顯出來，變中不變的思想便躍然紙上。

三、問題變式時(shí)滲透變中不變思想

問題變式是指將習(xí)得的新問題變換形式，但本質(zhì)特征不變，驅(qū)動學(xué)生從不同角度、立足不同情境解決問題，深化學(xué)生理解，提高靈活運(yùn)用的水平。問題變式有三種層次，分別是數(shù)據(jù)變式、情境變式與結(jié)構(gòu)變式。數(shù)據(jù)變式是問題變式的最低層次，因問題情境未發(fā)生變化，學(xué)生能輕易關(guān)聯(lián)解決問題的方法，但這種運(yùn)用只停留于模仿水平。情境變式真正考驗(yàn)學(xué)生對問題的理解水平，因?yàn)槿狈ο嗨魄榫车拇碳?，學(xué)生只有深刻理解問題，掌握解決問題方法的本質(zhì)，才能順利解決問題。前兩者變化的是數(shù)據(jù)、情境等非本質(zhì)因素，解決問題的方法未變。結(jié)構(gòu)變式則是問題的基本結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，相應(yīng)解決問題的方法也變了，但仍然蘊(yùn)含不變的東西，即解決問題的思想。這是變式的最高層次，最具有啟發(fā)的力量，能將看似完全不相干的問題聯(lián)系起來。教學(xué)最后引導(dǎo)學(xué)生感受這類問題中無論數(shù)據(jù)、情境、方法如何變化，總能發(fā)現(xiàn)不變的東西，滲透變中不變思想。

如蘇教版四年級上冊的一則實(shí)際問題：小明買了3 本筆記本用了18 元，5 本筆記本需要多少元？數(shù)據(jù)變式：小明買了7 本筆記本用了42 元，15 本筆記本需要多少元？情境變式：15 本字典摞在一起是168 毫米，27 本字典摞在一起有多高？先要求學(xué)生解決問題，明確解決問題的思路，再提問學(xué)生“三道問題相比，什么變了，什么不變”，體會情境與數(shù)據(jù)在變，但都是先求“一倍量”，即解決問題的方法未變，初步感悟變中不變思想。隨后呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)變式：原來一本字典15 元，降價(jià)后原來買20 本的錢現(xiàn)在能買30 本，現(xiàn)在一本字典多少元？解決結(jié)構(gòu)變式問題后繼續(xù)提問“與前三道問題相比，它們有什么相同點(diǎn)”。顯然，該問題的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，學(xué)生不能再沿用先前的思路解決，難以發(fā)現(xiàn)彼此間的聯(lián)系，不妨繼續(xù)啟發(fā)：找找看，這幾道問題都是先求什么？為什么先求這些量？經(jīng)過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，前三道問題都是先求“一倍量”，第四題先求“總量”。在各自問題中，“一倍量”與“總量”都是確定的、不變的量。進(jìn)而，我們可以啟發(fā)學(xué)生體會，盡管第四道問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，但解決問題的思路與之前相同，即先求出確定的量，再根據(jù)確定的量求出其他量。在結(jié)構(gòu)變式中學(xué)生能挖掘出看似毫不相關(guān)的問題之間的聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的情感共鳴，學(xué)生對變中不變思想的體會也更加深刻。

四、整理回顧時(shí)滲透變中不變思想

數(shù)學(xué)知識是普遍聯(lián)系的，整理回顧時(shí)應(yīng)該把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，關(guān)聯(lián)已有知識，進(jìn)行比較與區(qū)分、建構(gòu)與深化，將點(diǎn)狀經(jīng)驗(yàn)連成線、織成網(wǎng)、結(jié)成塊，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。這一過程中，能夠彼此關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識必然具有共性特征，不同內(nèi)容蘊(yùn)含同一本質(zhì)，體現(xiàn)著變與不變兩個方面，為變中不變思想的滲透創(chuàng)設(shè)了契機(jī)。教學(xué)時(shí)，教師要有全局觀點(diǎn)，挖掘出學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，能準(zhǔn)確地洞悉本質(zhì)，建構(gòu)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生體會什么變化，什么不變，提煉變中不變思想。

如《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》是小學(xué)階段加減法運(yùn)算的最后一課，學(xué)完后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生整理復(fù)習(xí)，與以往學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)和量的計(jì)量進(jìn)行比較，就能從不同內(nèi)容中挖掘共同的運(yùn)算本質(zhì)并滲透變中不變思想?！懂惙帜阜?jǐn)?shù)加、減法》教畢，筆者結(jié)合具體案例引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思：整數(shù)加、減法（32＋54），小數(shù)加、減法（3.2＋5.4），同分母分?jǐn)?shù)加、減法（，異分母分?jǐn)?shù)加、減法以及量的加、減法（5 米＋6 分米），它們有什么不同點(diǎn)？有什么相同點(diǎn)？使學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)：計(jì)算32+54 就是3 個十加5 個十等于8 個十，2 個一加4 個一等于6 個一，所以和是86；計(jì)算3.2+5.4 是3 個一加5 個一等于8 個一，2 個0.1 加4 個0.1 等于6 個0.1，所以和是8.6；計(jì)算就是2 個加3 個等于5 個，所以和是；計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加、減法，如時(shí)，要先通分成，再用3 個加2個等于5 個，和就是；計(jì)算5 米+6 分米時(shí)，也要先把計(jì)量單位統(tǒng)一，然后再相加，要么把5 米+6 分米轉(zhuǎn)化為50 分米+6 分米=56 分米，要么把5米+6 分米轉(zhuǎn)化為5 米+0.6 米=5.6 米等。體會到雖然運(yùn)算的對象不同，但算理相同，也就是計(jì)數(shù)（計(jì)量）單位相同時(shí)，可以把計(jì)數(shù)（計(jì)量）單位的個數(shù)直接相加、減，如果不同，就要設(shè)法先把計(jì)數(shù)（計(jì)量）單位轉(zhuǎn)化成相同的，然后再加、減。至此，學(xué)生不難回答先前的問題：整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)、異分母分?jǐn)?shù)和量的加減法什么不同，什么相同，從而教師能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會其中蘊(yùn)含的變中不變思想。

不管是“概念深化”“公式推導(dǎo)”“問題變式”還是“整理回顧”，都能體現(xiàn)“一”與“多”的關(guān)系，“一”是內(nèi)在的、本質(zhì)的、不變的，“多”是外在的、形式的、多變的。教學(xué)時(shí)要列舉形式、挖掘本質(zhì)，由多樣的形式突顯唯一的本質(zhì)，加強(qiáng)對比、深化體驗(yàn)，變中不變的思想才會深入學(xué)生心里。課堂教學(xué)中廣泛滲透變中不變思想的契機(jī)，緊扣以上核心思想，我們就能在課堂中自主挖掘、適時(shí)滲透，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。