四川大學附屬中學(成都市第十二中學)(610061) 馮小輝 羅文力

數(shù)學中的問題是靈魂,數(shù)學問題教學中的核心問題往往具有結(jié)構(gòu)不良的特點:一是問題可能已為教材、教師所知,但沒有很明確的答案和解決辦法(有時教師在設計之初可能都不是很清楚,需要反復推敲、研究,甚至測試);二是問題的解決方式、途徑、程序和策略等不具體,答案一般不唯一,呈現(xiàn)多樣性,較開放性(數(shù)學課堂教學中的核心問題一般不是全開放的);三是問題體現(xiàn)較綜合性[1].從目前我校的問題教學的研究和公開課的教研來看,我們的問題教學是以“核心問題”[2]來調(diào)動學生的學習活動,進行“核心問題”的解決,并要能促使學生內(nèi)部問題情境的生成.學校研究的核心問題教學是指一節(jié)課中用于新知識學習之前的、以客觀世界為材料且整合了教科書重點內(nèi)容與拓展內(nèi)容的、適應學生身心活動且對身心活動有具體要求的、能促進學生深度體驗特別是關聯(lián)體驗的中心問題或者中心任務.即核心問題是“能促進學生深度體驗特別是關聯(lián)體驗的”問題.因此數(shù)學核心問題教學法是問題教學法的延續(xù)和創(chuàng)新,其核心問題的設計及核心問題引導探究可遵循如下的策略:

1 生活化處理教材,用核心問題激發(fā)學生興趣,促進學生數(shù)學與生活的關聯(lián)

新課程標準的數(shù)學教材在問題的設置上有較好的體現(xiàn),教師應具有創(chuàng)新行為,必須在數(shù)學教學設計中結(jié)合學生的認知水平能動處理教材內(nèi)容,對教學內(nèi)容進行生活化處理,要敢于對教材進行重新加工,通過增補、刪減、調(diào)換重新聚合出核心問題,這樣設計的問題與學生日常生活和學習密切相關,能激起學生的興趣,調(diào)動學生積極思維,通過對問題的探究和解決,鍛煉思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)造性,通過反思、歸納生成新的知識和方法,提高運用知識解決問題的能力.

如“橢圓及其標準方程”(下稱“橢圓”)中的核心問題定為“描述橢圓”.

設計分析:本節(jié)課是圓錐曲線的第一節(jié)課,學生通過對圓的學習和研究,對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識.對橢圓的認識源于生活中的經(jīng)驗,學生能從日常生活中橢圓形的物體中抽象出橢圓圖形,對橢圓的對稱性及圓扁程度等有了初步的認識.并能依據(jù)這種初步的認識,描繪出橢圓的草圖,且能夠從圖形上區(qū)別出橢圓與圓,但對橢圓的本質(zhì)特征尚不知曉,不會用數(shù)學的眼光去認識橢圓,不能用精確的數(shù)學語言描述橢圓.因此,這一核心問題的設計是教師合理利用教材,生活化處理的一個例子,使問題源于學生實際和教材,又能激發(fā)學生的興趣,促進學生數(shù)學與生活的關聯(lián).

引導探究:本課在探究和解決核心問題時,采用了逐層遞進的方法,首先從學生觀看生活中的橢圓圖片入手,圍繞如何“描述橢圓”的核心問題展開.整個過程分成三個板塊,第一版塊是:畫圖形——規(guī)范刻畫圖形.這個板塊又分成三步,首先,讓學生畫心目中的橢圓,并談談對橢圓的初步認識,這樣使學生的一些緘默知識得到部分呈現(xiàn).其次,教師提供適當?shù)墓ぞ?規(guī)范作圖形——形象化認識橢圓,根據(jù)學生自己畫出的橢圓,找出橢圓上的點具有的幾何性質(zhì).視學生回答的具體情況,最后是讓學生三畫橢圓,修正、完善前面得出的結(jié)論,并且找出各種情況下的幾何圖形.第二板塊:下定義——定性述說橢圓.根據(jù)以上得出結(jié)論,用規(guī)范、簡潔的文字語言來述說橢圓,同時使學生的緘默知識得到糾正和豐富.第三板塊:求方程——定量表示橢圓.根據(jù)以上得出的橢圓定義,讓學生選擇恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求出橢圓的標準方程,定量表示橢圓.從而達到了從不同角度,多種層次解決描述橢圓的問題,最后反思解決核心問題的過程,歸納總結(jié)生成高中數(shù)學解析幾何研究曲線方程的認知程序,操作方法、思維模式,同時也提高了解決問題的能力.

2 深刻挖掘教材,提升核心問題的綜合性,促進學生數(shù)學知識與方法的關聯(lián)

數(shù)學新課程標準要求,教學目標不應停留在“教過”或“教懂”、“教會”的層面上,而要實現(xiàn)“會學”、“會用”的第二次飛躍,才是教學的最終目的.因此,在深刻挖掘教材的基礎上,設計解決角度、方法都很都的核心問題,提升核心問題的綜合性,設計一些類比、開放、綜合性問題,發(fā)散和拓寬學生思維,通過設疑、釋疑、對比、類比進行獨立思考或合作討論交流等尋找問題解決的辦法,呈現(xiàn)不同的解決辦法、方式和結(jié)果,在不同的解決層次的交鋒碰撞下,歸納和掌握新的知識和方法,獲得不同的情感體驗,提高綜合能力[2].

如“組合”中核心問題設計為:“求借書、選班干部等問題的不同方法數(shù)?

設計分析:本節(jié)課是學生學習了第一節(jié)“分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理”和第二節(jié)“排列”,對本章有了一定的認識和理解的基礎上進行的,學生對如何學習和研究這類問題有了一些思路和方法,這為建構(gòu)組合的意義和探究組合問題提供了可能,但要讓學生在一個較好的核心問題的激發(fā)下,有較高的興趣和熱情解決一類新的組合問題,并類比排列探究和歸納出組合的概念及組合數(shù)公式,還需要一個好的核心問題來提升、引領和推進.因此,本課直接提出問題1.1、1.2、1.3、1.4 的借書和選班委的問題,既作為外部問題引出課題,又作為核心問題“求借書、選班干部等問題的不同方法數(shù)”問題組,一箭雙雕.該問題在一個“等問題”的提示下具有一般性和綜合性,明確指出學生需要探究和歸納問題的一般規(guī)律和方法.

引導探究:本課在核心問題的引導下,學生分四人小組活動,解答上述問題,可以出現(xiàn)不同層次.展示問題的解決思路、方法和部分結(jié)果,包括不能解決或未想完整的思維過程.在此基礎上師生一起建構(gòu)組合的意義,排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系,組合數(shù)的定義記法等.這樣設計學生活動充分,同時又為探求組合數(shù)公式制造了懸念.這樣就給學生營造了一種懸而未決,又力圖解決的認知沖突狀態(tài),促使學生內(nèi)部問題情境的生成.一定的思考、探究和建構(gòu)后,核心問題中“等問題”的表述可以進一步促使學生的內(nèi)部問題情景的生成,繼續(xù)自主活動和小組討論,探究未解決好的問題1.2,并對問題1.2剛才的解決方法和思路進行整理或修正,進一步展示交流問題1.2 的解決思路和方法,尋求排列與組合的內(nèi)在聯(lián)系,進而類比、概括、歸納出組合數(shù)公式.生成了新知識和新方法,并豐富了學生類比的思想方法,發(fā)展了用聯(lián)系的觀點看問題的習慣,促進了分辨事物的綜合能力等.

3 創(chuàng)設最佳問題情境,引導學生參與體驗,促進學生數(shù)學與境遇的關聯(lián)

核心問題的合理呈現(xiàn)、核心問題設計的最優(yōu)化與最佳教學情境的創(chuàng)設,可以將學生引入一種與問題相關的情境中,從而激發(fā)、調(diào)動學生的積極思維,營造良好的學生內(nèi)部問題情境,因此,教學中必須優(yōu)化問題的呈現(xiàn)方式與技巧,創(chuàng)設最佳的教學情境,引導學生有更多的機會主動參與到教學中去,多角度聯(lián)想、思考、探究、體驗,通過看、想、聽、說、做等活動方式,使學生學習過程行為化,創(chuàng)造出一種學生敢做、敢想、敢說、感興趣的開放型的課堂氛圍,從而提高運用知識解決問題的能力并鍛煉學生的膽、才、學、識,語言組織能力、口頭表達能力,有效地實現(xiàn)較高的教學目標[3].

如“雙曲線及其標準方程”(下稱“雙曲線”)中的核心問題定為是“怎樣像橢圓一樣探究雙曲線定義和標準方程”.

設計分析:本節(jié)課是圓錐曲線的第二部分雙曲線的第一節(jié)課,是在學習橢圓的基礎上,進一步研究學習雙曲線的定義、方程和幾何性質(zhì),可以類比橢圓的學習方法和思維模式,但也有雙曲線的特點和難度.學生對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識,但對生活中的雙曲線的現(xiàn)實模型和動態(tài)的雙曲線的軌跡的印象很少,僅僅對初中的反比例函數(shù)的圖象是雙曲線有一點記憶,很難說出雙曲線是什么樣的曲線,在這方面的緘默知識只是想象橢圓那樣研究和學習雙曲線,主動去探究雙曲線定義的產(chǎn)生、發(fā)展和歸納的過程,去推導雙曲線的標準方程.

引導探究:本課在核心問題的引導解決時,教學設計為先讓學生聽一段難得的數(shù)學歌曲“悲傷雙曲線”,這首歌寫出和唱出了雙曲線為何悲傷? 與橢圓的不一樣,很好的營造良好的學習情景,激發(fā)學生的學習興趣和學習欲望.不失時機最優(yōu)化的呈現(xiàn)核心問題,“怎樣像橢圓一樣探究雙曲線定義和標準方程? ”然后展示和介紹由教師和學生共同收集的雙曲線圖片,喚醒學生的雙曲線現(xiàn)實模型的模糊記憶.然后,告訴學生雙曲線的一些歷史,雙曲線又稱“拉鏈拉出雙曲線”,讓學生試著用拉鏈拉雙曲線,學生可能感受到一點畫法,或者是亂畫一氣,幾乎是畫不出來的,由師生共同展示和完成拉鏈拉雙曲線的方法,但學生可能仍然無法得到雙曲線上的點所滿足的幾何條件,教師再通過計算機軟件幾何畫板模擬拉鏈拉動的過程,準確形象直觀的展現(xiàn)雙曲線的畫法,并能仔細的觀察到雙曲線上的每一個點的軌跡特點,這樣有利于學生深刻理解和領會雙曲線定義的產(chǎn)生發(fā)展過程,從而歸納出雙曲線的幾何條件和標準定義.接下來,學生類比橢圓的學習經(jīng)驗、探究方法和研究程序,能較好的推導出雙曲線的標準方程.同時設計的另一個重點放在類比橢圓與雙曲線標準方程的特征和類比反比例函數(shù)圖像與雙曲線圖像特征,既有利于舊知識的回憶鞏固,又能把新知識有比較,印象更深刻,學生從相互的聯(lián)系與區(qū)別中認識到事物的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化.

4 培養(yǎng)“問題意識”,提高解決問題的能力,促進學生數(shù)學與問題意識的關聯(lián)

“問題意識”是指一個人面對認知對象時產(chǎn)生的一種環(huán)境、困惑、探究的心理意識.問題是思維的結(jié)果,又是思維的動力,更是創(chuàng)新的萌芽,敢不敢于提問,善不善于提問,在很大程度上決定一個人是否具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造才能.敢于提出問題、善于提出問題是培養(yǎng)善于分析問題和解決問題能力的前提.可以讓學生“無中生有”、“有中生異”、“拾級而上”等,讓學生產(chǎn)生提問的興趣,進而提高問題的質(zhì)量,然后培養(yǎng)學生“類比提問”、“探源提問”、“聚合提問”引導學生由此及彼、觸類旁通、追根究底、發(fā)散思維等[5].根據(jù)核心問題的特點,培養(yǎng)學生“問題意識”的目的在于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題的能力,并在教師的引導下找到解決問題的途徑,掌握解決問題的方法,形成解決問題的能力.

如“拋物線及其標準方程”(下稱“拋物線”)中的核心問題定為“探求平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡方程”.

設計分析:本課是在學習了圓、橢圓和雙曲線的基礎上探求拋物線的方程,學生對怎樣研究圓錐曲線已經(jīng)有較多的知識、方法及程序等,特別是橢圓和雙曲線的第一和第二定義的學習和研究,學生對“坐標法”研究圓錐曲線的軌跡方程有較為深刻的認識,易類比提出問題“對平面內(nèi)到一個定點的距離F與到一條定直線l的距離的比為1 的點的軌跡是什么? ”,但對拋物線的認識還是感性的,沒能上升到理性的高度去認識,沒有深入地研究拋物線的幾何性質(zhì),對“探求平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡方程”這一問題不存在程序上的障礙,認識圓錐曲線的本質(zhì),是圖形的幾何性質(zhì)和標準方程的內(nèi)在關系,對如何尋求一個易于研究拋物線的幾何性質(zhì)的標準方程,卻是多數(shù)學生感到棘手的問題.

引導探究:拋物線這一課,鑒于它是圓錐曲線的最后一種類型,如果再沿用橢圓和雙曲線的教學模式,就沒有什么新意,學生會產(chǎn)生認知疲倦感,也不符合學生的認知規(guī)律,學生的認知水平和研究問題的能力隨著前面兩種圓錐曲線的學習明顯有較大的提高.因此,在學生對到一個定點F的距離和定直線l的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡,當0＜e ＜1時是橢圓,當e ＞1 時是雙曲線,學生自然會產(chǎn)生疑問:當e= 1 時軌跡是什么呢? 它的方程又是什么形式呢? 探求方程的過程又是怎樣的? 能不能象描述橢圓和雙曲線那樣的過程進行描述? 這一連串的問題學生自己能夠感知甚至主動提出.于是設計時采用欲擒故縱的方式,先讓學生帶著自己的問題探求平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡方程,由于學生建立的坐標系不同,得到的曲線的方程也有區(qū)別,學生頓時產(chǎn)生了疑惑,迫切想找到這種區(qū)別的根本原因所在,從而學生可以建構(gòu)出拋物線的定義,教師可以引導學生從數(shù)學美學的角度去分析如何建立坐標系能使曲線更對稱、方程更簡單,調(diào)動學生更主動地去領悟方法,總結(jié)歸納出拋物線的標準方程.

在日常的數(shù)學核心問題教學中,應根據(jù)數(shù)學的學科特點,針對不同類型、不同專題和不同章節(jié)內(nèi)容,采用不同的核心問題設計及引探策略,盡可能的發(fā)揮核心問題的引領、促進和推動課堂教學的重要作用,充分調(diào)動學生的主動性積極性,自覺參與學習探究、交流反思等活動中去,發(fā)展學生的思維能力,提高學生解決數(shù)學問題的綜合能力.