“單元—課時(shí)”教學(xué)視角下的問(wèn)題串教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

【摘?要】研究者以課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置的“主題—單元”為依據(jù)，通過(guò)類比數(shù)的運(yùn)算，以學(xué)生熟悉的物理學(xué)中功的實(shí)例情境為載體，用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)量積的概念，了解數(shù)量積幾何意義，探究運(yùn)算性質(zhì)，并提煉出其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想。教師在讓學(xué)生掌握“四基”“四能”的過(guò)程中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)中應(yīng)注意的問(wèn)題進(jìn)行反思。

【關(guān)鍵詞】向量;數(shù)量積;問(wèn)題串;核心素養(yǎng)

【作者簡(jiǎn)介】黃太強(qiáng)，高級(jí)教師，蕪湖市骨干教師，蕪湖市優(yōu)秀教師，蕪湖市“黃太強(qiáng)名班主任工作室”主持人，主要研究方向?yàn)榻忸}研究、信息技術(shù)與新課程整合、學(xué)科德育滲透。

【基金項(xiàng)目】安徽省蕪湖市2020年教育科學(xué)研究課題“核心素養(yǎng)視域下基于航空班探討高中數(shù)學(xué)分層教學(xué)”（JK20059）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）指出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成不是一蹴而就的，而是具有階段性、連續(xù)性等特點(diǎn)。教師不僅要關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)[1]。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)在單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性，防止碎片化教學(xué)。問(wèn)題串一般由一個(gè)主干問(wèn)題提出思考，這個(gè)主干問(wèn)題聚焦于需要解決的問(wèn)題，這樣的問(wèn)題串層層遞進(jìn)，由淺入深，能為學(xué)生搭建思維的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中蘊(yùn)含的思想方法，觸及研究本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移[2]?！皢?wèn)題”是引起思維活動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力，也是思維外顯的一種直接手段，“串”表明一組問(wèn)題之間是有邏輯的，可以揭示教學(xué)內(nèi)容之間內(nèi)在的邏輯線索。筆者將2019年人教版（A版）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教科書(shū)中第六章第2單元“平面向量的運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)以問(wèn)題串的方式呈現(xiàn)出來(lái)，有效地激活學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生求解問(wèn)題的欲望，促使學(xué)生積極主動(dòng)地體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用過(guò)程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)分析

（一）內(nèi)容解析

平面向量的運(yùn)算包括向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積。而向量的線性運(yùn)算又包括向量加法、向量減法、向量數(shù)乘以及它們的混合運(yùn)算，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生研究并掌握平面向量運(yùn)算的幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算律。

教科書(shū)從向量的物理背景和數(shù)的運(yùn)算中得到啟發(fā)，引出向量的運(yùn)算。向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，能夠?qū)D形的性質(zhì)與代數(shù)的運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決幾何對(duì)象的長(zhǎng)度、夾角及位置關(guān)系等問(wèn)題。本單元初步建立向量運(yùn)算體系，類比數(shù)的運(yùn)算，得到平面向量的運(yùn)算，以及平面向量運(yùn)算的幾何意義、運(yùn)算律。類比平面向量的運(yùn)算體系可以在選擇性必修課程中建立空間向量的運(yùn)算體系，將平面向量、空間向量及其運(yùn)算一般化，從而得到高等數(shù)學(xué)中的向量空間的概念。向量運(yùn)算的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體。

（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)物理學(xué)中功的實(shí)例，抽象出向量數(shù)量積的定義，經(jīng)歷從物理背景分析，抽象概括出概念的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、類比遷移的能力。

（2）通過(guò)投影及投影向量的學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

（3）通過(guò)不同方式的研究，發(fā)現(xiàn)向量數(shù)量積性質(zhì)的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）學(xué)情分析

本單元內(nèi)容與物理學(xué)科聯(lián)系緊密，因此可以從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度展開(kāi)教學(xué)。從物理角度而言，學(xué)生可以借助位移的合成、力的合成、功直觀理解向量運(yùn)算的概念;從幾何角度而言，學(xué)生可以借助有向線段建立向量的直觀形象，但由于他們對(duì)向量的運(yùn)算理解不透徹，因此無(wú)法靈活運(yùn)用幾何的一些基本定理證明運(yùn)算性質(zhì);從代數(shù)角度而言，學(xué)生通過(guò)類比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算律，這種類比能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點(diǎn)，但學(xué)生受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算性質(zhì)的“負(fù)遷移”影響，對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)算可能容易出錯(cuò)。

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的定義，向量數(shù)量積的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：投影變換，投影向量。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

問(wèn)題1?前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，類比數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為我們接下來(lái)還可以研究向量的哪種運(yùn)算？

教師在提出以上問(wèn)題后，學(xué)生一般會(huì)回答“向量的乘法”，但如果有學(xué)生提出“向量的數(shù)乘運(yùn)算”就是“向量的乘法”，教師可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解此處的“向量的乘法”指的是向量間的運(yùn)算，旨在培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想和主動(dòng)探究的意識(shí)明晰運(yùn)算對(duì)象仍然是兩個(gè)向量。

追問(wèn)?根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你能否概括出我們學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的內(nèi)容和過(guò)程？

在師生討論的基礎(chǔ)上，教師板書(shū)：物理背景—定義運(yùn)算法則—討論運(yùn)算性質(zhì)—運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的一般思路。

問(wèn)題2?在你學(xué)過(guò)的物理知識(shí)中，除了位移的合成、力的合成，還有沒(méi)有關(guān)于兩個(gè)矢量間的運(yùn)算？

教師組織并引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)中“向量的夾角”的概念。

追問(wèn)2?向量加法的三角形法則要求兩向量首尾相接，向量加法的平行四邊形法則要求兩向量同起點(diǎn)。那么確定“向量的夾角”在向量的位置上有何要求？

教師引導(dǎo)學(xué)生回看教科書(shū)，并找出確定“向量的夾角”時(shí)的位置要求：同起點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)數(shù)的運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算進(jìn)行類比，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。在不斷的正誤辨析中找出“向量夾角”的位置要求，培育學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

（二）模仿結(jié)構(gòu)，抽象概念

問(wèn)題3?仿照物理學(xué)中功的概念，你能給出向量乘法的定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生類比物理學(xué)中功的概念，自行抽象出數(shù)量積的定義，發(fā)展學(xué)生的理性思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)概念、規(guī)則，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（三）探究?jī)?nèi)涵，理解辨析

問(wèn)題4?在學(xué)習(xí)物理的功的內(nèi)容時(shí)，我們知道，當(dāng)力F作用在物體上時(shí)，只有力F沿位移S方向的分力才會(huì)做功。我們能否仿照作出向量a在向量b上的“分向量”？

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生類比物理學(xué)中分力做功，探究投影和投影向量的定義，有利于讓學(xué)生理解引入投影向量的合理性。

圖3至圖6列舉出兩向量的夾角的不同情形。圖3對(duì)應(yīng)的是兩向量的夾角是銳角，圖4對(duì)應(yīng)的是兩向量的夾角是鈍角，圖5對(duì)應(yīng)的是兩向量垂直，圖6對(duì)應(yīng)的是兩向量共線。

【設(shè)計(jì)意圖】教師讓學(xué)生體會(huì)在研究?jī)上蛄繆A角有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常要根據(jù)夾角的不同類型進(jìn)行分類討論，培養(yǎng)學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)過(guò)合作討論得出結(jié)論的過(guò)程，就是掌握研究圖形與圖形，圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法的過(guò)程。以上教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從而形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)幾何直觀的作用和意義。

（四）遷移應(yīng)用，性質(zhì)初探

問(wèn)題6?向量集數(shù)與形于一身，你認(rèn)為可以從哪些角度研究數(shù)量積的性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】將之前研究向量線性運(yùn)算性質(zhì)的方法進(jìn)行遷移應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，并初步建立向量的數(shù)量積運(yùn)算與長(zhǎng)度、夾角、垂直等幾何問(wèn)題之間的聯(lián)系。

追問(wèn)?以上運(yùn)算結(jié)果的應(yīng)用價(jià)值是什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度分析，合作完成下列表格（見(jiàn)表1）。

【設(shè)計(jì)意圖】有邏輯的問(wèn)題串能夠幫助學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，經(jīng)歷知識(shí)的生成和構(gòu)建過(guò)程，能體現(xiàn)知識(shí)領(lǐng)域之間和方法之間的關(guān)聯(lián)，具有可發(fā)展性。教師通過(guò)幫助學(xué)生在頭腦中形成清晰、穩(wěn)定、系列的知識(shí)鏈條，突出核心概念的思維構(gòu)建過(guò)程和技能操作過(guò)程，體現(xiàn)思想方法的領(lǐng)悟和分析過(guò)程，達(dá)成教學(xué)目的。

（五）小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)

問(wèn)題7?（1）你能說(shuō)出我們是如何研究向量的數(shù)量積運(yùn)算嗎？

（2）你認(rèn)為我們可以利用投影向量解決哪些問(wèn)題？

（3）向量的數(shù)量積性質(zhì)要研究的問(wèn)題是什么？我們?nèi)绾窝芯窟@些性質(zhì)？

通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的結(jié)構(gòu)化梳理，學(xué)生形成完善的向量數(shù)量積運(yùn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的提煉概括，提升小結(jié)的思想性，學(xué)生的思維在課堂末尾仍處于高階認(rèn)知層次，讓學(xué)生進(jìn)一步明確本節(jié)課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

為讓學(xué)生進(jìn)一步掌握和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生完成以下目標(biāo)檢測(cè)題。

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)量積性質(zhì)求解問(wèn)題的能力。

三、教學(xué)反思

（一）類比情境，序列設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化學(xué)習(xí)活動(dòng)

不是所有問(wèn)題都能激發(fā)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的心向，也不是隨便地把問(wèn)題提出來(lái)，就是創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境。教師必須在深入分析新知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出學(xué)生力所能及但又富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題[3]。本節(jié)課的引入是通過(guò)類比數(shù)的運(yùn)算，提出“你認(rèn)為我們接下來(lái)還可以研究向量的哪種運(yùn)算？”具有統(tǒng)攝性、貫通性的問(wèn)題，起到先行組織者的作用。隨后的一系列問(wèn)題“在你學(xué)過(guò)的物理知識(shí)中，除了位移的合成、力的合成，還有沒(méi)有關(guān)于兩個(gè)矢量間運(yùn)算的概念？”“仿照物理學(xué)中功的概念，你能給出向量乘法的定義嗎？”使學(xué)生的思維逐步引向數(shù)量積的本質(zhì)，讓學(xué)生感受向量運(yùn)算是成體系的，并能讓學(xué)生體會(huì)類比聯(lián)想、遷移應(yīng)用是研究數(shù)學(xué)的基本方法。

（二）提升素養(yǎng)，積極實(shí)踐，努力適應(yīng)新教材變化

“平面向量及其應(yīng)用”為必修課程主題三“幾何與代數(shù)”中的內(nèi)容，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合。新教材中將“向量的數(shù)量積”和“向量的線性運(yùn)算”整合為“平面向量的運(yùn)算”，這樣的設(shè)計(jì)有利于建立向量運(yùn)算體系，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)向量運(yùn)算通性通法的研究。本節(jié)內(nèi)容在教材中的最大編寫變化是“投影”和“投影向量”。

在新課程理念下，教師要以學(xué)生為主體，改變以往單調(diào)枯燥的教學(xué)方式，通過(guò)對(duì)核心內(nèi)容的精細(xì)化設(shè)計(jì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心智活動(dòng)，是提高學(xué)生主觀能動(dòng)的過(guò)程，一般表現(xiàn)為不斷地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的思維載體，也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心動(dòng)力。如果問(wèn)題串的設(shè)計(jì)能從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，設(shè)定合理的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強(qiáng)度，就能有效促進(jìn)學(xué)生求異思維和發(fā)散性思維的發(fā)展。值得注意的是，問(wèn)題串的精細(xì)化設(shè)計(jì)，不是要面面俱到，也不是設(shè)置層層關(guān)卡，而是強(qiáng)調(diào)知識(shí)構(gòu)建，提倡自主生成，圍繞核心概念、基本思想方法進(jìn)行的一體化設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]應(yīng)佳成.有邏輯地設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生：以“分式”單元教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（7）：17-20.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)7）：《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（7）：5-11.

（責(zé)任編輯：陸順演）