剖析半球體偏離平衡位置的微振動(dòng)

趙春然，尹新國(guó)，朱孟正

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

在經(jīng)典和量子物理中，大量的基本現(xiàn)象都是源于束縛在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)，其典型特征呈現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng)，例如鐘擺的往復(fù)運(yùn)動(dòng)、琴弦的振動(dòng)、行星的軌道運(yùn)動(dòng)以及微觀原子中的電子運(yùn)動(dòng)等，人們把這種物體在平衡位置附近往返運(yùn)動(dòng)叫做振動(dòng)或機(jī)械振動(dòng)；只要?jiǎng)菽芮€有極小值，就會(huì)有振動(dòng).物理學(xué)中的振動(dòng)，不僅僅指的是直觀上感覺到的位置做周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是泛指物理量做周期性變化的運(yùn)動(dòng)形式[1].例如在RC電路中的電流和電壓都做周期性變化，這種被稱為電磁振動(dòng)；振動(dòng)并不限制在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍.

1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本概念

利用質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究這種特殊的而又具有普遍意義的運(yùn)動(dòng)形式——振動(dòng)，是切實(shí)可行的.然而，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)；研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)是分析、理解更復(fù)雜振動(dòng)現(xiàn)象的基礎(chǔ).質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)，叫做簡(jiǎn)諧振動(dòng).在理想的物理系統(tǒng)中無耗散力作用下，若質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移為x，則質(zhì)點(diǎn)所受的回復(fù)力為

F=-kx.

(1)

在這里結(jié)合具體例子談簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，以彈簧振子為例[2-3]，水平的彈簧自由伸展時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置是平衡位置(忽略彈簧的質(zhì)量)，以該位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Ox，坐標(biāo)x表示振子，也就是質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移.并且x也表示彈簧的伸長(zhǎng)(壓縮)量，當(dāng)x的絕對(duì)值很小時(shí)，由庫(kù)克定律可知彈性力F與x之間成線性關(guān)系.若振子的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律可得

(2)

位移x對(duì)時(shí)間t的二階微分，用在x上面加兩個(gè)點(diǎn)表示，即加速度.上式也可以表示為

(3)

(4)

位移x對(duì)時(shí)間t的一階微分，用在x上面加一個(gè)點(diǎn)表示，即速度.顯然，運(yùn)動(dòng)方程(3)式為二階的常系數(shù)齊次微分方程，它的解可以表示為位置坐標(biāo)x關(guān)于時(shí)間t的正弦或余弦函數(shù)：

x=Acos(ω0t+φ)，

(5)

其中A、φ為該二階微分方程的通解中兩個(gè)待定的積分常數(shù)，可以根據(jù)簡(jiǎn)諧振子的初始條件確定，設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)振子的位置坐標(biāo)、速度分別為x0、v0，則振幅、初相位角分別為

(6)

(7)

三角函數(shù)正切值在0～2π范圍間有兩個(gè)角度與之對(duì)應(yīng)，因此初相位角具體數(shù)值確定應(yīng)須代回式(5)中或是從式(5)計(jì)算出的速度根據(jù)方向以判定取舍[1].

2 例析微振動(dòng)問題

例一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半球體置于水平桌面上，平衡時(shí)半球上的平面朝上并與桌面平行，該半球體的半徑為R，質(zhì)量為m，若在半球體的圓平面邊緣處微小幅度按下隨即松開，則半球體在桌面上做小范圍運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)中半球相對(duì)做桌面無滑滾動(dòng)，證明該半球是做簡(jiǎn)諧振動(dòng).

解析1半球在水平桌面上做小幅度往復(fù)無滑滾動(dòng)，質(zhì)量均勻分布的半球作為剛體，做剛體的平面運(yùn)動(dòng).為了清晰的表達(dá)運(yùn)動(dòng)中的半球所具有的動(dòng)能，假想把半球補(bǔ)足成一個(gè)完整的球體，如圖1所示，完整球體的動(dòng)能分為隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：

圖1 置于水平桌面的勻質(zhì)半球體Fig.1 Homogeneous hemisphere placed on a horizontal table

(8)

(9)

其中：vc是完整球體的質(zhì)心平動(dòng)速度；Ic是完整實(shí)心球體繞過球心O并垂直于紙面水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可表示為

(10)

因?yàn)槭菬o滑滾動(dòng)，所以vc=ωR；對(duì)于完整實(shí)心勻質(zhì)球體的質(zhì)心和其球心是重合的.當(dāng)剛體的質(zhì)心速度以及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)角速度一定的情況下，平動(dòng)動(dòng)能是與剛體的質(zhì)量成正比，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與該剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成正比的[4-6]，所以半球體的平動(dòng)動(dòng)能為

(11)

截取半個(gè)球體的截面若是與當(dāng)前的轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直，則半球體相對(duì)于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[7]為式(10)的一半.然而，如圖1所示，并不是垂直于當(dāng)前的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，根據(jù)反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的兩個(gè)定理中的一個(gè)——垂直軸定理，質(zhì)量均勻分布的半球體繞通過球心O并垂直于紙面的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(12)

故此，半球體繞通過球心O并垂直于紙面的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

(13)

根據(jù)質(zhì)心的計(jì)算公式，可以求得質(zhì)量均勻分布的半球體的質(zhì)心[8]到球心的距離為

(14)

因在桌面上發(fā)生了小范圍移動(dòng)，造成了半球體的對(duì)稱軸，也就是半球質(zhì)心所在的虛線，與豎直軸間形成了一個(gè)夾角θ，見圖1.假定半球上的平面朝上并與桌面平行時(shí)(如圖1中淺色線條所示)，半球體的重力勢(shì)能為零，則當(dāng)前時(shí)刻半球體的重力勢(shì)能為

Ep=mglO′C′(1-cosθ).

(15)

因相對(duì)桌面做無滑滾動(dòng)，摩擦力不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即有

(16)

(17)

從(17)式可以看出半球體在水平桌面上的小幅度往復(fù)運(yùn)動(dòng)，確實(shí)是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的固有周期為

(18)

圖2 從半球體的質(zhì)心出發(fā)分析其微振動(dòng)Fig.2 Analyze the micro-vibration from the center of the hemisphere mass

(19)

(20)

(21)

因此可算出半球體的動(dòng)能為

(22)

半球上的平面朝上并與桌面平行時(shí)，半球體的質(zhì)心C′位置最低，假定此時(shí)體系重力勢(shì)能為零，則當(dāng)前時(shí)刻半球體的重力勢(shì)能為

Ep=mglO′C′(1-cosθ)，

(23)

因系統(tǒng)做無滑純滾動(dòng)，耗散力不做功，故可以采用機(jī)械能守恒，即有

(24)

因E不隨時(shí)間改變，對(duì)上式關(guān)于時(shí)間做微分處理，變化量就是角度θ，可得

(25)

考慮到系統(tǒng)是在做微振動(dòng)，即θ很小，則sinθ≈θ、cosθ≈1，所以得

(26)

(27)

圖3 半球體在水平桌面做無滑滾動(dòng)時(shí)勢(shì)能隨角度的變化Fig.3 The change of potential energy with angle when a hemisphere rolls on the horizontal table without sliding

(28)

其周期為

(29)

延伸比較：假設(shè)這里的半球體不是置于水平桌面，而是繞通過球心并與紙面垂直的水平軸線做無摩擦的擺動(dòng)，這個(gè)軸線是固定的.根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：

(30)

若做小幅度擺動(dòng)，則

(31)

其中

(32)

做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固有周期為

(33)

從上面的兩種解析結(jié)果可以看出：雖然兩種分析都得到了半球體的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但是振動(dòng)的頻率、周期不一樣，說明有一個(gè)解析肯定是有問題的，問題出現(xiàn)在解析1里面.解析1中有一處明顯的錯(cuò)誤：在于對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論知識(shí)的掌握不夠深入，知道垂直軸定理，但對(duì)運(yùn)用垂直軸定理的先決條件是什么不清楚；垂直軸定理只適用于剛體的厚度為無窮小的薄板.因而，在解析2中，直接根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，計(jì)算出半球體以過球心沿切面軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第二處錯(cuò)誤比較隱蔽或者說是迷惑性比較大，那就是在計(jì)算半球體總的機(jī)械能時(shí)，采用了所謂的“補(bǔ)償法”補(bǔ)全半球體，解析中體系的動(dòng)能分解成平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，均是以完整球體的質(zhì)心(球心)來計(jì)算出球體的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，對(duì)平動(dòng)動(dòng)能減半處理、對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能根據(jù)半球體繞過圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多少而定，然而在計(jì)算體系勢(shì)能的時(shí)候又采用半球體的質(zhì)心來考慮，得出的結(jié)果也反映出體系微振動(dòng)會(huì)引起系統(tǒng)勢(shì)能起伏，所以說迷惑性比較大.實(shí)際上，問題的重點(diǎn)就在于計(jì)算動(dòng)能采用完整球體的球心作為質(zhì)心，然后動(dòng)能適當(dāng)減半處理，而計(jì)算體系勢(shì)能時(shí)，采用半球體質(zhì)心.計(jì)算動(dòng)能和勢(shì)能的標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，造成動(dòng)能對(duì)真實(shí)結(jié)果的偏差.比如說，采用“補(bǔ)償法”，以球心作為質(zhì)心，完整的球體在運(yùn)動(dòng)過程中勢(shì)能不會(huì)變化，就不會(huì)有勢(shì)能極小值，因此不會(huì)具有形成往復(fù)運(yùn)動(dòng)的條件，這樣解釋就比較好理解解析1中用“補(bǔ)償法”的不妥之處.

3 結(jié)論

首先對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)基本理論進(jìn)行了梳理，再通過舉例詳細(xì)分析了系統(tǒng)偏離平衡位置的微振動(dòng)，并剖析了錯(cuò)誤解答的癥結(jié)所在，使我們更加深刻的理解剛體做平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能計(jì)算和微振動(dòng)問題處理的要點(diǎn).在求解中運(yùn)用了反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的兩個(gè)定理：平行軸定理、垂直軸定理，在熟知這兩個(gè)定理后計(jì)算一些特定的剛體針對(duì)某個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將會(huì)比較簡(jiǎn)單，但也要注意垂直軸定理的適用范圍.