馬瑞， 李春花

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

本文考慮如下具有位勢的非線性薛定諤系統(tǒng)的初值問題：

(1)

(2)

(H1)m1=m2；

(H3)Wj(x)是非負的；

(H4) 零是一個正則點[1].

當(dāng)Wj(x)≡0，j=1,2時，初值問題(2)可轉(zhuǎn)化為：

(3)

非線性薛定諤方程在非線性光學(xué)、等離子物理等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用.近年來,帶有位勢函數(shù)的非線性薛定諤方程初值問題解的漸近性質(zhì)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注,并獲得了一些結(jié)果[3-4]；但對帶有位勢函數(shù)的二維非線性薛定諤方程初值問題解的漸近性質(zhì)研究得較少.文獻[1]的作者僅研究了不含粒子質(zhì)量、帶有位勢函數(shù)的二維非線性薛定諤方程初值問題.本文在系統(tǒng)質(zhì)量共振的條件(H1)下證明薛定諤系統(tǒng)的初值問題(2)整體解的存在性，并討論解的長時間漸近行為.

本文中向量函數(shù)空間和標(biāo)量函數(shù)空間使用相同的符號.對任意的1≤p≤∞，Lp表示R2上關(guān)于勒貝格測度的p方可積函數(shù)空間， ‖‖Lp表示Lp上的范數(shù).對任意m,s∈R， 定義加權(quán)索伯列夫空間Hm,s如下：

1 預(yù)備知識

首先定義

再令Uα(t)=F-1E(t)αF , 其中Ff是f的Fourier變換， F-1g是g的Fourier的逆變換，α≠0.則當(dāng)t≠0時，Uα(t)和Uα(-t)可分別寫成如下形式：

令[E,F]=EF-FE，并考慮如下兩個引理：

引理2設(shè)W(x)是R2上的實值函數(shù)，m∈R+， 0<α<2.令U∶=2W+(x·?W)， 則下式成立：

引理3[1]設(shè)W(x)滿足條件(H2)—(H4).令a,b∈R,C是一個正常數(shù)， (p,q)和(r,k)是薛定諤容許對，則可以得到：

引理4[1]設(shè)W(x)滿足條件(H2)和(H3)，C是一個正常數(shù)，則可以得到如下估計：

(i)對于任意的1≤α<2, 0<σ<1， 有

(4)

(ii)對于任意的α≥0， 有

(5)

(iii)對于任意的1<α<2， 有

(6)

引理5設(shè)系統(tǒng)(2)滿足質(zhì)量共振條件(H1)，Wj(x),j=1,2滿足條件(H2)和(H3)，C是一個正常數(shù)，則有：

(7)

(8)

在上式的基礎(chǔ)上，應(yīng)用引理4中的式(4)、式(6)以及條件(H1)可得：

(9)

其中1<α<2， 0<σ<1.為了方便引理5的以下證明，定義

(10)

則應(yīng)用式(5)、(6)、(9)和式(10)可得：

其中1<α<2， 0<σ<1.由以上知式(7)成立.通過類似的方法可得式(8)成立.證畢.

2 主要結(jié)果及其證明

(11)

(12)

證明定義如下的函數(shù)空間：

由上式可得：

(13)

根據(jù)引理3和式(13)有：

(14)

(15)

(16)

(17)

由式(7)、(8)、(14)和式(17)可得:

(18)

再由式(10)、(18)可得:

(19)

應(yīng)用類似上述的方法，可以找到常數(shù)C2>0， 使得

(20)

基于上述應(yīng)用Strichartz估計和類似初值問題(2)整體解衰減估計的證明即可得式(12)成立.證畢.