基于考生偏好和矩陣博弈的高考志愿填報研究

趙小明，孫曉璇

(1.云南財經(jīng)大學，云南 昆明 650221；2.云南機電職業(yè)技術(shù)學院，云南 昆明，650203)

高考在我國經(jīng)濟社會活動中關(guān)注度極高，因其對學生、家庭及社會都產(chǎn)生重大影響.隨著平行志愿的普及與高校招生綜合改革實踐的推進，促進高等教育均等化、公平化及中等學校素質(zhì)化教育的協(xié)同發(fā)展.但在實際中往往還存在考生與高校資源錯配，導致高校教育資源和考生生命資源的浪費，沒有實現(xiàn)良好的對接.尤其在新高校招生綜合改革的推動下，高考志愿填報也備受學者們和商界關(guān)注，足見考生志愿填報極其重要而關(guān)鍵.聶海峰(2005)《中國高考招生錄取機制——一個巨大的協(xié)調(diào)博弈》[1]、陳國基(2014)等的《高考志愿填報者的報考行為研究》[2]，沈小娟(2014)的《基于統(tǒng)計模型的高考志愿填報決策分析》[3]、劉曉紅(2018)的《基于考生偏好函數(shù)模型的高考志愿填報》[4]、聶海峰(2010)《高考志愿填報的不完全信息博弈》[5]等，從錄取機制、數(shù)據(jù)分析、考生偏好、博弈論等方面對報考者的行為屬性、錄取概率及博弈對策進行分析，試圖破解志愿填報難題，但據(jù)現(xiàn)實而言卻存在一定的實踐困局和實效弱化.本文通過考生偏好數(shù)據(jù)量化，引入矩陣博弈理論，實現(xiàn)對博弈競爭者的均值估計，參照制訂填報策略，提高考生志愿填報滿意度.

1 基本概念

我們根據(jù)行為經(jīng)濟學中的的偏好理論[6-8]，釋義為在面臨確定選項和風險選項時大多數(shù)人都表現(xiàn)出了風險規(guī)避、安全尋求.在不確定決策領(lǐng)域,當面臨風險選項和模糊選項時，大多人又表現(xiàn)出了模糊規(guī)避風險尋求.在此我們提出考生偏好這一概念，具體指考生在填報志愿過程中，對院校、專業(yè)、城市的感知度及認同度.深度解析考生偏向?qū)χ驹柑顖蟮闹匾绊懠坝纱藥淼挠绊懸蜃友芯縖9-11].

博弈論[12-13]，又被稱為對策論(Game Theory)，既是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科.博弈論主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)間的相互作用，是研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學理論和方法.博弈論考慮游戲中的個體的預測行為和實際行為，并研究它們的優(yōu)化策略.

矩陣博弈[14-18]，也稱“贏得矩陣”、報酬矩陣、收益矩陣、得益矩陣，是指從支付表中抽象出來由損益值形成的矩陣，用來描述兩個人或多個參與人的策略和支付的矩陣.在本文中主要涉及志愿填報競爭對手之間的博弈收益描述.

2 考生偏好函數(shù)

定義1 高校位差偏離度.設高校位差偏離度x，第ti年控制線位次為C(ti)，為ti當年高考試題難易程度、高考成績個體分布及高校招生計劃的重要精度參數(shù).第ti年高校位次U(ti)，為ti當年某一高校最低錄取分所對應的位次區(qū)間.則高校位差偏離度x表示為：

(1)

n:為周期參數(shù)，n∈Z.默認值取5.為消除量綱與數(shù)量級差的影響，本文使用線性比例法將x進行數(shù)據(jù)線性轉(zhuǎn)化，取值范圍(0,1).

定義2 考生偏好函數(shù).設考生偏好函數(shù)為P(x)，則有：

P(x)=x×a×λ.

(2)

式(1)中，a為考生偏好集中度系數(shù).偏好影響x存在周期效應，取U(ti)→U(tn)，n∈Z的標準差作為平衡系數(shù)，特征表現(xiàn)為U(ti)的偏向集中度.

即，a=σ(x1,x2,x3,...,xn).當a指標趨分散時，一般代表考生偏好存在分歧.反之，表示偏好一致.使用線性比例法將a進行數(shù)據(jù)線性轉(zhuǎn)化.

λ為考生偏好冰點系數(shù).考生偏好x存在周期性和延遲性帶來的偏差.λ與取U(ti)→U(tn)(n∈Z)的志愿征集數(shù)據(jù)相關(guān)，使用線性比例法將λ進行數(shù)據(jù)線性轉(zhuǎn)化.

據(jù)此，得到P(x)，并進行歸一化處理.P(x)趨于0，表明考生偏好越強.反義，考生偏好越弱.

2.1 考生偏好

2.1.1 數(shù)據(jù)準備

本文數(shù)據(jù)來源于云南省招考院網(wǎng)站公布的2014～2018年云南招生錄取數(shù)據(jù)及各高校在官網(wǎng)發(fā)布的招生計劃.字段涵蓋院校名稱、錄取最分、錄取最高分、高校錄取位次(轉(zhuǎn)換)、批次線及對應的錄取控制線位次(轉(zhuǎn)換、對照)、歷年考生人數(shù)等與考生偏好相關(guān)的字段.

表1 考生偏好基礎表(1)Table 1 Basic table of candidates' preferences(1)

表2 考生偏好基礎表(2)Table 2 Basic table of candidates' preferences(2)

2.1.2 考生偏好測算與分析

依據(jù)已經(jīng)準備的數(shù)據(jù)集并庫化，按公式(1)、公式(2)求解考生偏好函數(shù)影響及偏好函數(shù)，整理結(jié)果如表3所示.

表3 考生偏好基礎表(3)Table 3 Basic table of candidates' preferences(3)

2.1.3 考生偏好分布可視化

基于第3部分考生偏好的值域，可初步劃分為偏好特征敏感度.

表4 考生偏好分布Table 4 Distribution of candidates' preferences

經(jīng)試驗結(jié)果顯示考生偏好分布，如圖1所示.

圖1 考生偏好分布圖Fig. 1 Distribution of candidates' preferences

3 志愿填報矩陣博弈

3.1 高校基準位次公式

為建立志愿填報模型，首先需要構(gòu)建高校錄取位次估計函數(shù)，在此提出如下計量公式如下：

(3)

n：高校招生年限.

Q -：考生i的n-1個競爭對手的高考位次均值.

f：引入考生偏好系數(shù)f，(0

3.2 競爭對手均值估計

鑒于，考生Li與高校實際錄取位次必然存在誤差，設S表示此誤差，則有：

S=Li-E.

(4)

理論上，考生Li與高校實際錄取最低位次的誤差為0時，考生Li的收益為最優(yōu).(僅考慮錄取結(jié)果，不涉及專業(yè)的匹配性)，則可推導出.

(5)

據(jù)此，可初步實現(xiàn)對競爭對手位次均值估計.

3.3 矩陣博弈模型

(6)

表5 志愿填報博弈策略Table 5 Game strategy for voluntary reporting

表5中，如果考生i的高考位次比競爭者的平均位次低，則考生i被錄取(有β=1)；反之，則考生i被拒絕(有=0)，而競爭者被錄取(有1-β=1).考慮到志愿填報為組合填報模式，其填報組合存在最優(yōu)解.需對(6)中單一最優(yōu)解進行系數(shù)調(diào)節(jié)，以形成最佳填報策略組合.

3.4 算例分析

算例驗證，以云南省為例.2017年，云南在高考錄取模式實行平行志愿，本文實例僅考慮文理科，考生一本可填報志愿5所，二本可填報志愿 10所.

算例1 求解報考上海財經(jīng)大學(文)的博弈矩陣.經(jīng)公式(1)、公式(2)，計算得到上海財經(jīng)大學的考生偏好值為0.013285.

表取值表(n=5)

通過公式(4)、公式(5)，通過假定考生λ1位次為119，確定競爭對手位次均值估計為128.39.根據(jù)志愿填報博弈矩陣模型可解β=0.8623.可見考生λ1被上海財經(jīng)大學錄取的概率較高，可以填報.2018年，上海財經(jīng)大學實際最低錄取位次為103，偏差為(128.39-103)/103=24.65%.

算例2 求解報考南京大學(理)的博弈矩陣.經(jīng)公式(1)、公式(2)，計算得到南京大學的考生偏好值為0.003805.

表取值表(n=5)

通過公式(4)、公式(5)，通過假定考生λ2位次為395，確定競爭對手位次均值估計為408.10.根據(jù)志愿填報博弈矩陣模型可解β=0.9681.可見考生λ2被南京大學錄取的概率極高，可以填報.2018年，南京大學實際最低錄取位次為417，偏差為(408.10-417)/417=2.13%.

經(jīng)分析，在高校錄取位次波動收窄的前提下，基于考生偏好和矩陣博弈的預測模型的效果極好.而在高校錄取位次存在異常值時，預測值也同樣引發(fā)波動，偏差有所放大.

4 結(jié)束語

至此，本文從考生偏好分析入手，通過對考生偏好函數(shù)的定義，用函數(shù)和數(shù)據(jù)分析方法確定考生偏好量化指標，進而實現(xiàn)對考生與競爭者志愿博弈的模型化.本文還給出了計算競爭者位次均值的計算方法，實例證明在考生填報決策中具有很大的參考價值.