佟誠德，葛 晨，郭家旭，郎杰文，王明嶠，鄭 萍

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引言

永磁同步電機(jī)的無位置傳感器技術(shù)按照工況與原理大致可以分為兩類：基于電機(jī)基頻模型檢測位置與基于轉(zhuǎn)子凸極性檢測位置[1-3]?；陔姍C(jī)基頻模型檢測位置的方法適用于中高速情況，一般為電機(jī)額定轉(zhuǎn)速10%以上[4]。電機(jī)在運(yùn)行過程中，三相繞組會(huì)產(chǎn)生相位相差120°的反電勢，根據(jù)電機(jī)模型，通過判斷反電勢的相位，即可確定轉(zhuǎn)子位置。通常，基于模型法觀測轉(zhuǎn)子位置／速度可以分成三部分：反電勢／磁鏈觀測器、位置估計(jì)誤差解調(diào)以及位置／轉(zhuǎn)速跟蹤器[5]。其中，觀測反電勢或磁鏈通常采用的方法有：磁鏈估計(jì)法[6-7]、模型參考自適應(yīng)法[8-9]、擴(kuò)展Kalman濾波器法[10]以及滑模觀測器法[11-12]等。位置誤差解調(diào)可以通過估算反電勢或者磁鏈進(jìn)行簡單的算術(shù)運(yùn)得到，轉(zhuǎn)子位置／轉(zhuǎn)速跟蹤可以通過使用鎖相環(huán)或Luenberger觀測器實(shí)現(xiàn)。

滑模觀測器由于其結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)方便、具有較強(qiáng)的魯棒性，國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行了大量研究。通常情況下，滑模觀測器是在連續(xù)域進(jìn)行設(shè)計(jì)，再將其離散化，應(yīng)用到實(shí)際的電機(jī)控制系統(tǒng)當(dāng)中。通過該方法得到的離散滑模觀測器的穩(wěn)定性與直接采用離散滑模控制理論得到的穩(wěn)定性會(huì)有所差異，最終會(huì)影響到觀測器的性能。同時(shí)，傳統(tǒng)的滑模觀測器通常采用低通濾波器來獲得反電勢的估計(jì)值，為了解決低通濾波器帶來的相移，需要對最終結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償。為了解決以上問題，本文在離散滑?？刂评碚摰幕A(chǔ)上，提出了一種基于自適應(yīng)反電勢濾波器的改進(jìn)型離散滑模觀測器。該觀測器由三部分結(jié)構(gòu)組成：基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器、離散自適應(yīng)反電勢濾波器以及帶穩(wěn)態(tài)誤差補(bǔ)償?shù)臍w一化鎖相環(huán)。將基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器輸出通過自適應(yīng)反電勢濾波器濾波，得到反電勢的估計(jì)值，再將其輸入到歸一化鎖相環(huán)，并對電機(jī)加減速過程中的穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，即可得到最終的位置信息，從而完成無位置傳感器控制。通過仿真，對所提出的改進(jìn)型離散滑模觀測器進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 傳統(tǒng)滑模觀測器抖振分析

1.1 電機(jī)模型

對于表貼式永磁同步電機(jī)，其α-β軸系下的數(shù)學(xué)模型為

式（1）中，vα、 vβ為定子相電壓 α 軸、 β軸對應(yīng)分量，iα、iβ為定子電流α軸、β軸對應(yīng)分量，Rs為定子電阻，Ls為定子電感，ψf為永磁磁鏈，ωe為電機(jī)的電角速度，θe為d軸與定子A相軸線的夾角。

采用零階保持器得到電機(jī)在α-β軸系下的離散化模型

采用后向Euler法將式（3）進(jìn)行離散化，根據(jù)假設(shè)可以得到 ωe（k+1）≈ ωe（k）， 結(jié)果如下

1.2 傳統(tǒng)滑模觀測器抖振分析

選擇定子電流誤差為滑模面，有

傳統(tǒng)離散滑模觀測器的結(jié)果為

根據(jù)電流誤差方程，通過穩(wěn)定性分析可以得到滑模增益的取值范圍，滑模增益應(yīng)始終大于當(dāng)前轉(zhuǎn)速下電機(jī)的反電勢

為減小抖振，采用與轉(zhuǎn)速相關(guān)的自適應(yīng)滑模增益

由于 A 的值接近于 1， 因此（A-1）s（k）項(xiàng)相對于反電勢項(xiàng) eαβ（k）可以忽略不計(jì)。 因此， 當(dāng) s（k）＞0 時(shí)， 相鄰兩次跟蹤誤差差值 Δs（k）≈ eαβ（k）-k1a。當(dāng) s（k）＜0時(shí)， 相鄰兩次跟蹤誤差差值Δs（k）≈eαβ（k）+k1a。 在對觀測器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)， 為了減小抖振，通常使滑模增益k1a略大于反電勢的最大值。由式（9）可知，當(dāng)跟蹤誤差位于滑模面兩側(cè)時(shí)， Δs（k）不同。 當(dāng)反電勢 eαβ（k）接近于 0 時(shí)，。 此時(shí)，在相鄰的控制周期中，跟蹤誤差可以反復(fù)穿越滑模面。當(dāng)eαβ（k）接近峰值時(shí)，Δs（k）最大可以接近反電勢幅值的兩倍，最小則接近于0，此時(shí)往往需要數(shù)個(gè)控制周期，跟蹤誤差才可以穿越滑模面，這使得抖振現(xiàn)象更加嚴(yán)重，其現(xiàn)象示意圖如圖1所示。

圖1 跟蹤誤差位于滑模面兩側(cè)時(shí)的示意圖Fig.1 Schematic diagram of tracking errors on both sides of the sliding mode surface

2 改進(jìn)型離散滑模觀測器設(shè)計(jì)

2.1 基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器

為了減小傳統(tǒng)離散滑模觀測器的抖振，采用基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器。該觀測器不僅可以很好地改善趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，同時(shí)由于引入了反電勢項(xiàng)，從根本上解決了傳統(tǒng)離散化觀測器由于在滑模面兩側(cè)趨近速度不同所帶來的抖振，從而使系統(tǒng)抖振大大減小。

采用后向Euler法將由指數(shù)趨近律與等速趨近律組成的組合趨近律進(jìn)行離散化，其形式為

設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器滿足

由式（11）可以得到電流誤差方程

定義滑模面

由式（10）、 式（12）與式（13）可得

由式（14）可以得到反電勢的等效控制項(xiàng)

采用離散滑模觀測器時(shí)，在相鄰兩次控制中跟蹤誤差差值Δs（k）的表達(dá)式如式（10）所示。 基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器規(guī)定了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)趨近于滑模面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此不會(huì)出現(xiàn)趨近速度不同的問題。將其與傳統(tǒng)離散滑模觀測器進(jìn)行對比，雖然傳統(tǒng)滑模觀測器選擇符號(hào)函數(shù)作為切換函數(shù)，但是真正作用到系統(tǒng)上的實(shí)際控制項(xiàng)如式（9）所示，從而使觀測結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的抖振。而基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器雖然等效控制項(xiàng)較為復(fù)雜，如式（15）所示，但是其實(shí)際控制項(xiàng)為式（10），由于不存在 eαβ（k）項(xiàng)，因此不會(huì)出現(xiàn)趨近速度不同的情況。

根據(jù)離散滑模的可達(dá)性條件，可以得到基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器參數(shù)取值范圍

2.2 離散自適應(yīng)反電勢濾波器

通常情況下，將由滑模觀測器得到的等效控制項(xiàng)eαβ（k）通過一階低通濾波器，濾除信號(hào)中的高頻分量，即可得到反電勢的估計(jì)值，進(jìn)而得到位置信息的估計(jì)值。但是，低通濾波器存在相位延遲與幅值衰減，為了對得到的位置信息進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償值通常由估計(jì)的位置信息進(jìn)行計(jì)算，由于估計(jì)的位置信息存在誤差，將會(huì)導(dǎo)致補(bǔ)償值計(jì)算不準(zhǔn)確，從而使最終結(jié)果產(chǎn)生一定誤差。為了避免低通濾波器所帶來的相位延遲與幅值衰減，提出一種離散自適應(yīng)反電勢濾波器來代替低通濾波器，由反電勢濾波器的結(jié)果得到位置信息的估計(jì)值。

將由自適應(yīng)反電勢濾波器得到的反電勢估計(jì)值反饋回前述設(shè)計(jì)的滑模觀測器中，即可得到完整的基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器，其結(jié)構(gòu)如圖2所示?？梢钥闯?，自適應(yīng)反電勢濾波器代替了傳統(tǒng)滑模觀測器中低通濾波器的位置。

圖2 基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of discrete sliding mode observer based on approach law

2.3 歸一化鎖相環(huán)及其穩(wěn)態(tài)誤差補(bǔ)償

采用鎖相環(huán)來對位置信息進(jìn)行解算，由于傳統(tǒng)鎖相環(huán)的頻響特性會(huì)隨著輸入反電勢幅值變化而改變，對于固定的鎖相環(huán)參數(shù)，其帶寬是一個(gè)變化的范圍，不利于鎖相環(huán)的參數(shù)設(shè)計(jì)。因此對鎖相環(huán)輸入進(jìn)行標(biāo)幺化處理，得到歸一化的正交鎖相環(huán)，其結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 歸一化鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of normalized phase-locked loop

鎖相環(huán)直接輸出的位置信息在電機(jī)加減速過程中存在穩(wěn)態(tài)誤差，假設(shè)電機(jī)的電角速度與電角加速度滿足

式（24）中，a為電機(jī)的電角加速度，單位為rad ／s2。

可以看出，當(dāng)電機(jī)處于加減速過程中時(shí)，由于a≠0，θe相當(dāng)于單位加速度輸入，因此鎖相環(huán)對于角度估計(jì)值輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差，根據(jù)終值定理可得此時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

由于鎖相環(huán)直接輸出的轉(zhuǎn)速估計(jì)值通常含有較大的抖振，因此一般將其通過低通濾波器，可得到較為平穩(wěn)的結(jié)果。低通濾波器對單位斜坡輸入存在穩(wěn)態(tài)誤差，對于轉(zhuǎn)速估計(jì)值，其穩(wěn)態(tài)誤差值為

將式（27）作為轉(zhuǎn)速補(bǔ)償值，即可以得到轉(zhuǎn)速估計(jì)值的最終結(jié)果

角度補(bǔ)償值與轉(zhuǎn)速補(bǔ)償值均需要電機(jī)的角加速度來進(jìn)行計(jì)算，在無位置傳感器控制系統(tǒng)中，可以采用觀測器得到的估計(jì)轉(zhuǎn)速通過數(shù)學(xué)運(yùn)算來計(jì)算加速度，該方式會(huì)不可避免地影響電機(jī)穩(wěn)態(tài)時(shí)位置信息的估計(jì)精度。

將鎖相環(huán)進(jìn)行離散化，可以得到離散鎖相環(huán)。如圖4所示，將前述基于趨近律設(shè)計(jì)的離散滑模觀測器、反電勢濾波器與鎖相環(huán)依次連接，即可得到改進(jìn)型的離散滑模觀測器。

圖4 改進(jìn)型滑模觀測器結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Block diagram of improved sliding mode observer

3 仿真驗(yàn)證

在Matlab／Simulink中搭建相應(yīng)的仿真模型進(jìn)行仿真，電機(jī)參數(shù)如表1所示。首先對比分析采用補(bǔ)償策略與未采用補(bǔ)償策略時(shí)歸一化鎖相環(huán)的性能。電機(jī)先加速后減速，電機(jī)加減速過程中估算轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速的對比結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?，估算轉(zhuǎn)速可以較好地跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)速。

表1 電機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of motor

圖5 電機(jī)加減速過程中估計(jì)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比結(jié)果Fig.5 Comparison between estimated speed and actual speed during motor acceleration and deceleration

采用與未采用補(bǔ)償時(shí)的鎖相環(huán)輸出對比結(jié)果如圖6所示。對鎖相環(huán)輸出進(jìn)行補(bǔ)償之后，除了在電機(jī)加減速瞬間角度與速度估計(jì)誤差有一個(gè)小的跳變，在其余加減速過程中的估計(jì)誤差與穩(wěn)態(tài)時(shí)差別不大，角度估計(jì)誤差為±0.4°，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差為±1.5r／min。對于未進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那闆r，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，角度估計(jì)誤差為±0.2°，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差為±0.5r／min。當(dāng)電機(jī)加速時(shí)，角度估計(jì)誤差擴(kuò)大至約3.6°，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差擴(kuò)大至約16r／min。由結(jié)果可以看出，由于補(bǔ)償值需要對估計(jì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行微分得到，因此補(bǔ)償過后穩(wěn)態(tài)時(shí)的角度與速度估計(jì)誤差相對于未補(bǔ)償時(shí)具有更大的波動(dòng)，不過不會(huì)出現(xiàn)過大的估計(jì)誤差。

圖6 電機(jī)加減速過程中角度與轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差對比Fig.6 Comparison of angle and speed estimation errors during motor acceleration and deceleration

對自適應(yīng)反電勢濾波器進(jìn)行仿真分析。電機(jī)參考給定在0.3s時(shí)進(jìn)行加速，在0.75s時(shí)加速至額定轉(zhuǎn)速3200r／min，之后保持額定轉(zhuǎn)速至1.0s。仿真時(shí)，位置解算模塊采用帶補(bǔ)償?shù)逆i相環(huán)。分別采用自適應(yīng)反電勢濾波器與低通濾波器，得到的α軸反電勢觀測結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯觯捎玫屯V波器時(shí)，估計(jì)反電勢在相位上滯后于實(shí)際反電勢；采用反電勢觀測器時(shí)，其估計(jì)反電勢于實(shí)際反電勢十分接近，反電勢誤差在±2V之內(nèi)。分別采用自適應(yīng)反電勢濾波器與低通濾波器，得到的反電勢估計(jì)值進(jìn)行位置解算后的位置估計(jì)誤差對比結(jié)果如圖8所示。對于采用低通濾波器的方式，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1000r／min時(shí)，角度估算誤差約為3°。隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速增加，反電勢頻率也在增加，導(dǎo)致相位延遲逐漸嚴(yán)重，角度估算誤差也隨之增加，在3200r／min時(shí)約為9.5°。對于采用自適應(yīng)反電勢濾波器的方式，在整個(gè)過程中，角度估算誤差都在1°以內(nèi)。雖然采用低通濾波器時(shí)角度估計(jì)值存在相位延遲，但是由于兩種策略得到的反電勢頻率均與實(shí)際反電勢相同，因此兩種策略得到的轉(zhuǎn)速估算誤差均在0附近波動(dòng)。

圖7 α軸估算反電勢對比Fig.7 Comparison ofα-axis estimated back-EMF

圖8 兩種濾波器的估計(jì)誤差對比Fig.8 Comparison of estimation errors between two kinds of filters

最后，針對傳統(tǒng)滑模觀測器與基于趨近律設(shè)計(jì)的改進(jìn)型滑模觀測器進(jìn)行仿真對比分析，電機(jī)轉(zhuǎn)速從0r／min逐漸加速至額定轉(zhuǎn)速3200r／min，然后保持該轉(zhuǎn)速運(yùn)行。分別采用基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器與傳統(tǒng)滑模觀測器，得到的定子電流α軸分量如圖9所示。

由圖9（b）可知，采用傳統(tǒng)滑模觀測器時(shí)，在滑模面兩側(cè)趨近速度不同，當(dāng)定子電流誤差位于圖中A點(diǎn)處時(shí)，相鄰兩次觀測誤差 Δs（k）接近于0，導(dǎo)致需要數(shù)個(gè)控制周期才可以使定子電流誤差穿越滑模面；而在圖中B點(diǎn)處，相鄰兩次觀測誤差 Δs（k）接近于兩倍的 eαβ（k）， 因此只需要一個(gè)控制周期就可以使定子電流誤差穿越滑模面。由于在滑模面兩側(cè)趨近速度不同，導(dǎo)致觀測電流與實(shí)際電流誤差較大，從而產(chǎn)生嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象。而采用基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器時(shí)，不存在在滑模面兩側(cè)趨近速度不同的現(xiàn)象，觀測電流與實(shí)際電流誤差在±5V之內(nèi)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器的觀測誤差。但是由于離散滑模不能產(chǎn)生理想的滑動(dòng)模態(tài)，只能產(chǎn)生準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)，因此電流跟蹤誤差無法減小到零。

圖9 定子電流α軸分量觀測結(jié)果Fig.9 Observation results of stator current α-axis component

采用兩種策略得到的位置信息對比如圖10所示。兩種策略均存在兩處誤差較大的位置，分別對應(yīng)加速度變化的兩個(gè)時(shí)刻，即開始加速和結(jié)束加速時(shí)。采用傳統(tǒng)滑模觀測器得到的位置信息，無論是速度估計(jì)誤差還是角度估計(jì)誤差，均存在較大抖振。在額定轉(zhuǎn)速3200r／min時(shí)，角度估計(jì)誤差不僅有15°的滯后，其波動(dòng)的峰峰值接近了20°，其轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差波動(dòng)的峰峰值接近了25r／min；而基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器觀測誤差均在0附近，且其抖振遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器的。

圖10 兩種滑模觀測器的估計(jì)誤差對比Fig.10 Comparison of estimation errors between two sliding mode observers

4 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)型離散滑模觀測器來獲取永磁同步電機(jī)的位置信息，采用基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器解決了傳統(tǒng)滑模觀測器的抖振問題，采用自適應(yīng)反電勢濾波器避免了低通濾波器所帶來的相位延遲，對歸一化鎖相環(huán)在電機(jī)加減速過程中的穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行了分析并對其進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，基于趨近律設(shè)計(jì)的滑模觀測器抖振遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器，自適應(yīng)反電勢濾波器輸出的估計(jì)反電勢與實(shí)際反電勢誤差在±2V以內(nèi)，且不存在相位延遲。在電機(jī)加減速運(yùn)行的整個(gè)過程中，觀測器輸出的角度估計(jì)誤差在±0.4°以內(nèi)，轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差在±1.5r／min以內(nèi)。