田 鑫，王琛琛，周明磊，王 劍

（北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京 100044）

0 引言

數(shù)字控制系統(tǒng)是一個內(nèi)部既含有連續(xù)時間信號又含有離散時間信號的混合系統(tǒng)，系統(tǒng)中的連續(xù)時間信號與離散時間信號分別通過采樣器與保持器進行互相轉(zhuǎn)換。如果系統(tǒng)中所有采樣器、保持器都以相同的周期同時動作，則稱這樣的系統(tǒng)為單采樣率系統(tǒng)，簡稱為單率系統(tǒng)。如果系統(tǒng)中含有兩個及以上有著不同工作周期的采樣器與保持器，稱這樣的系統(tǒng)為多采樣率控制系統(tǒng)，簡稱為多率系統(tǒng)[1]。

隨著數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，多采樣率控制已被廣泛應(yīng)用于自動化制造、信號處理、航天航空以及機器人控制等領(lǐng)域。對于多采樣率控制的研究也已經(jīng)持續(xù)多年，并且產(chǎn)生了一系列成果：Kranc[2]提出了開關(guān)分解法，在頻域獲得了多采樣率系統(tǒng)的等效脈沖傳遞函數(shù)模型；Jury等[3]證明了對于周期時變的離散時間系統(tǒng)，如果從那些等于其周期整數(shù)倍的采樣時刻來看，是時不變的；Kalman等[4]采用狀態(tài)空間方法描述了多采樣率系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上經(jīng)Araki等[5]、Godbout等[6]的逐漸發(fā)展，利用 “提升”技術(shù)獲得多率系統(tǒng)的等效單采樣率狀態(tài)空間模型漸漸成為對多率系統(tǒng)的主要分析方法。

在大功率的牽引傳動控制系統(tǒng)中，為了提升電流環(huán)的動態(tài)性能，已有文獻結(jié)合多采樣率控制提出了一些高性能的控制算法[7-10]。然而，大多數(shù)文獻只是將單采樣率控制下的控制算法拓展到多采樣率下，對多采樣率控制下系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、特性等理論分析不足，多采樣率控制下電流環(huán)的設(shè)計存在較大挑戰(zhàn)。

本文對多采樣率牽引傳動控制系統(tǒng)中的電流環(huán)進行了分析。首先介紹了多采樣率控制下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，然后運用 “提升（Lifting）”技術(shù)分別獲得了理想情況下多采樣率控制下負(fù)載與電流調(diào)節(jié)器的狀態(tài)空間模型，進而建立了系統(tǒng)電流環(huán)的等效單采樣率閉環(huán)狀態(tài)空間模型。為了使理論模型更加準(zhǔn)確，分析了多采樣率下系統(tǒng)電流閉環(huán)中的延時以及延時的影響并完善了系統(tǒng)模型。最后，利用Matlab／Simulink仿真驗證了本文所建立理論模型的正確性。

1 多采樣率系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 永磁同步電機連續(xù)時間狀態(tài)空間方程

在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，可以得到永磁同步電機的電壓方程

式（1）中，ud、 uq分別為定子 d軸、q軸的電壓，id、iq分別為定子d軸、q軸的電流，Rs為定子電阻，ωs為電角速度，Ls為電機的定子電感，ψf為永磁體磁鏈，ωsψf為永磁體反電勢。由于永磁體產(chǎn)生的反電勢ωsψf與定子電流無關(guān)，在磁鏈估計準(zhǔn)確時可以被完全補償，因此將式（1）中永磁體反電勢項ωsψf忽略，可以得到狀態(tài)方程

由式（2）可以獲得永磁同步電機的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型

1.2 電流環(huán)結(jié)構(gòu)

考慮到忽略永磁體反電勢項后的永磁同步電機狀態(tài)空間模型與三相對稱阻感負(fù)載的狀態(tài)空間模型是相同的，因此本文所研究的多采樣率牽引控制系統(tǒng)中的電流環(huán)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 電流環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of current loop structure

圖2 系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of system

圖2中，r（t）為參考輸入， 在本系統(tǒng)中對應(yīng)d軸、 q 軸指令電流； GPI（s）、 G（s）分別為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下PI控制器與負(fù)載的連續(xù)時間傳遞函數(shù)。對于上述系統(tǒng)而言，從負(fù)載的角度分析，系統(tǒng)屬于輸出多采樣率系統(tǒng)，N為系統(tǒng)的輸出采樣重數(shù)[10]。

2 多采樣率下電流環(huán)建模

對于一般的多采樣率數(shù)字控制系統(tǒng)，為了簡化分析，常常使用兩個假設(shè)：一是假定系統(tǒng)中存在一個基本采樣周期T，系統(tǒng)中各采樣點的采樣周期都是T的整數(shù)倍；二是同時性假定，即假定系統(tǒng)中所有采樣開關(guān)在同一起始時刻開始采樣。在這兩個假設(shè)下，可以利用 “提升”技術(shù)得出系統(tǒng)的線性時不變模型[1]。為了獲得多采樣率下牽引傳動系統(tǒng)的電流環(huán)模型，本節(jié)利用 “提升”技術(shù)先分別獲得負(fù)載與電流調(diào)節(jié)器的狀態(tài)空間模型，進而推導(dǎo)出電流環(huán)的閉環(huán)模型。

2.1 多采樣率下負(fù)載狀態(tài)空間模型

對于多采樣率系統(tǒng)，定義系統(tǒng)中所有周期的最小公倍數(shù)T0為系統(tǒng)幀周期，以幀周期分析系統(tǒng)，系統(tǒng)可以看作是線性時不變的。在本文研究的系統(tǒng)中，易知系統(tǒng)幀周期T0=Ts，并且系統(tǒng)基本采樣周期為ΔT=T0／N。

對于連續(xù)時間狀態(tài)空間方程，可以使用零階保持器對其進行離散化。結(jié)合式（3）所表示的負(fù)載連續(xù)時間狀態(tài)空間模型，以幀周期T0進行離散化，可以得到單采樣率下系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

考慮多采樣率控制下負(fù)載的離散狀態(tài)空間模型，由于在一個幀周期內(nèi)負(fù)載的輸入電壓u保持不變，因此多采樣率下負(fù)載的狀態(tài)方程與式（4）中相同。但是對于負(fù)載的輸出方程而言，由于多采樣率控制，系統(tǒng)在一個幀周期內(nèi)進行了N次等間隔采樣，獲得了更多時刻的電流采樣值。為了獲得此時的負(fù)載輸出方程，對于這N次采樣而言，根據(jù)線性系統(tǒng)理論，可以先得到如下所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

結(jié)合式（4）中負(fù)載的輸出方程與多采樣率下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（式（5）），并消除中間采樣時刻的狀態(tài)，可以獲得多采樣率控制下的輸出方程，有

觀察式（6），等號左側(cè)為對負(fù)載輸出N次采樣的結(jié)果，等號右側(cè)為負(fù)載在kT0時刻的輸入u（kT0）與狀態(tài)x（kT0）的線性組合。此時利用 “提升”技術(shù)，定義擴展輸出變量

則負(fù)載的輸出方程可以寫為

綜上，負(fù)載在多采樣率控制下的狀態(tài)空間模型可以表示為

式（9）中，所有變量的采樣周期都是幀周期T0。換言之，通過這樣的方式獲得了負(fù)載的等效單采樣率狀態(tài)空間模型。

2.2 多采樣率下電流調(diào)節(jié)器狀態(tài)空間方程

在本系統(tǒng)中，電流調(diào)節(jié)器選擇PI控制器?？紤]到由于數(shù)字實現(xiàn)，實際電流調(diào)節(jié)器的輸出存在ΔT的采樣計算延時[7]，則在連續(xù)域下的PI控制器如圖3所示。

圖3 PI控制器Fig.3 Diagram of PI controller

圖3中， e（s）、 u（s）為 PI控制器輸入、 輸出的拉氏變換，Kp、Ki分別為控制器參數(shù)。為獲得在多采樣率下控制器的狀態(tài)空間模型，先將如圖3所示的PI控制器以基本采樣周期ΔT進行離散化，可以獲得離散的狀態(tài)空間方程

2.3 系統(tǒng)閉環(huán)模型

結(jié)合式（9）、 式（15）， 可以獲得多采樣率控制下系統(tǒng)電流環(huán)的閉環(huán)模型

3 電流環(huán)延時分析

數(shù)字延時在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下可以分為角度延時與時間延時兩部分[11]。在前一節(jié)的推導(dǎo)中，本文只考慮到了數(shù)字延時的時間延時部分，而沒有考慮到角度延時的影響，這使得理論模型不夠準(zhǔn)確。在本節(jié)中，首先詳細(xì)分析了多采樣率下電流環(huán)中的延時環(huán)節(jié)，然后分析了角度延時對電流環(huán)的影響，進而獲得準(zhǔn)確的多采樣率下的電流環(huán)模型。

3.1 電流環(huán)延時分析

在本文所應(yīng)用的多采樣率控制中，電流采樣模式如圖4所示。在一個開關(guān)周期Ts內(nèi)進行多次采樣、計算，PWM環(huán)節(jié)每次更新占空比信號都采用最近的一次計算結(jié)果。

圖4 采樣模式示意圖Fig.4 Schematic diagram of sampling mode

在圖4所示的采樣模式下，電流環(huán)的采樣延時為

同時，PWM環(huán)節(jié)等效為零階保持器，PWM輸出延時為

因此在多采樣率控制下，系統(tǒng)電流環(huán)總延時為

3.2 延時影響分析

由前述可知，在多采樣率控制下系統(tǒng)電流環(huán)總延時為Td，本節(jié)考慮在延遲時間Td內(nèi)角度延時對實際輸出電壓的影響。根據(jù)復(fù)矢量理論，可以將靜止坐標(biāo)系下和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓矢量用復(fù)矢量的形式表示[12]，相應(yīng)的兩相旋轉(zhuǎn)與三相靜止坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換可以表示成（θe為電壓矢量角度）

假定在一個完整的開關(guān)周期Ts內(nèi)同步旋轉(zhuǎn)速度ωs保持不變，在t0時刻電流調(diào)節(jié)器輸出電壓指令為此時的電壓矢量角度為 θe， 則有

圖5為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖，t0時刻的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系位置為圖5中的紅色線。由于采樣更新延時，經(jīng)過Ts／N長的時間后，PWM占空比信號才更新，此時的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系位置為圖5中的藍色線。在接下來的一個開關(guān)周期Ts內(nèi)，占空比信號轉(zhuǎn)換為實際電壓發(fā)出。則在[t0+Ts／N，t0+Ts／N+Ts]時間段內(nèi)，實際作用到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的電壓矢量與電壓指令之間有如下關(guān)系

圖5 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖Fig.5 Schematic diagram of synchronous rotation coordinate system

實際作用電壓的平均值可以由下式求得[13]

考慮到上述分析，實際作用到負(fù)載d軸、q軸上的電壓與指令電壓滿足

4 仿真驗證

為了驗證上述建立的系統(tǒng)理論模型的正確性，利用Matlab／Simulink建立三相對稱阻感負(fù)載電流環(huán)控制仿真。其中，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Setting of simulation parameters

0時刻給定d軸電流指令1A、q軸電流指令0A，給定輸出采樣重數(shù)N=2。 比較仿真負(fù)載輸出電流與理論模型的動態(tài)響應(yīng)過程，可以得到如圖6、圖7所示的仿真結(jié)果。

由圖6、圖7可知，理論波形與仿真波形基本吻合。圖6、圖7表明，本文所建立的多采樣率狀態(tài)空間模型是準(zhǔn)確的，能夠反映實際系統(tǒng)情況。

圖6 N=2時d軸的電流響應(yīng)圖Fig.6 Diagram of d-axis current response when N=2

圖7 N=2時 q軸的電流響應(yīng)圖Fig.7 Diagram of q-axis current response when N=2

5 結(jié)論

針對多采樣率牽引傳動控制中的電流環(huán)，本文詳細(xì)分析了多采樣率控制下電流環(huán)的結(jié)構(gòu)以及多采樣率下電流環(huán)數(shù)字延時與延時的影響，結(jié)合多采樣率 “提升”方法，建立了系統(tǒng)電流閉環(huán)的等效單采樣率狀態(tài)空間模型。最后，通過Matlab／Simulink仿真驗證了本文所建立的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果表明，本文所建立的多采樣率控制電流環(huán)數(shù)學(xué)模型是分析多采樣率問題的一種有效方法，為進一步分析多采樣率系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。