曹一青, 沈志娟

(1. 莆田學(xué)院 機(jī)電與信息工程學(xué)院, 福建 莆田 351100; 2. 福建省激光精密加工工程技術(shù)研究中心, 福建 莆田 351100)

平行平面板是由兩個(gè)平行折射平面組成的光學(xué)元件, 常用于工作性能較高的光學(xué)儀器設(shè)計(jì)中, 如濾光片和補(bǔ)償平板等, 在光學(xué)系統(tǒng)光程計(jì)算中, 反射棱鏡可等效為平行平面板. 目前, 對(duì)平行平面板特性的研究已引起人們廣泛關(guān)注[1-2]. 隨著圖像傳感器的快速發(fā)展, 大視場(chǎng)角入射光學(xué)系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于安全監(jiān)控和機(jī)器人導(dǎo)航等領(lǐng)域中, 該類光學(xué)系統(tǒng)中通常包含平行平面板, 雖然平行平面板像差對(duì)系統(tǒng)成像影響較小, 但人們對(duì)系統(tǒng)成像分辨率要求較高, 因此需減小平行平面板產(chǎn)生的像差.

物點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)大視場(chǎng)角入射平行平面板后, 在子午和弧矢平面內(nèi)的聚焦位置不同, 波陣面形狀嚴(yán)重偏離球面, 它具有平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的成像特性[3], 使得用于軸對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)像差分析的Seidel像差理論不再適用于該類光學(xué)系統(tǒng)的成像分析[4-5].

目前對(duì)平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的研究方法較多, 主要有光程差函數(shù)法[6-7]、 解析點(diǎn)列圖法[8-9]、 李變換法[10]和波像差方法[11-12]. 由于多元件光學(xué)系統(tǒng)總波像差為系統(tǒng)中各光學(xué)面波像差線性相加, 因此用波像差方法研究系統(tǒng)像差的表達(dá)式較簡(jiǎn)單. 文獻(xiàn)[13-14]用波像差方法研究了平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng), 提出了三階像差理論, 并將其擴(kuò)展到折射系統(tǒng)中. 目前對(duì)于平行平面板的像差特性分析和設(shè)計(jì)大多聚焦于近軸入射光學(xué)系統(tǒng)[4,15-16], 在大視場(chǎng)角入射下, 僅依賴于光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax或CODE V[17-18]進(jìn)行分析. 基于此, 本文用平面對(duì)稱光學(xué)折射光學(xué)系統(tǒng)的三階像差理論研究大視場(chǎng)角入射平行平面板像差計(jì)算方法. 首先, 研究多個(gè)平行折射平面的像差分析方法, 推導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算表達(dá)式； 其次, 推導(dǎo)出單個(gè)平行平面板的波像差和像差系數(shù)； 最后, 分別用像差計(jì)算表達(dá)式和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax計(jì)算兩個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的像差. 結(jié)果表明, 本文的像差表達(dá)式正確.

1 大視場(chǎng)角入射光學(xué)系統(tǒng)的定義

大視場(chǎng)角入射光學(xué)系統(tǒng)具有平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)成像特性, 由于視場(chǎng)角范圍較大, 若將視場(chǎng)角作為變量, 則像差級(jí)數(shù)不收斂, 因此其像差分析方法為： 在視場(chǎng)范圍內(nèi), 先選取幾個(gè)特定視場(chǎng)角, 再用平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論對(duì)其進(jìn)行計(jì)算, 通過得到的各視場(chǎng)角像差綜合評(píng)判系統(tǒng)成像[19]. 綜上所述, 對(duì)于大視場(chǎng)角入射平行平面板, 僅需研究各視場(chǎng)角物點(diǎn)的像差特性, 圖1為由單個(gè)光學(xué)面組成的平面折射光學(xué)系統(tǒng)光路[14,19-20], 其中O0oO1為基光線,S0為基光線上的一個(gè)物點(diǎn)；S0PS1為S0發(fā)出的任意一條孔徑光線, 與光學(xué)元件表面相交于點(diǎn)P；χηz′為光學(xué)元件表面的坐標(biāo)系, 由于在超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)中僅需研究基光線物點(diǎn)的成像, 因此光瞳中心P′點(diǎn)與光學(xué)元件表面中心o點(diǎn)重合, 從而使光瞳坐標(biāo)系xyz與χηz′坐標(biāo)系重合；n0和n1分別為光學(xué)元件的物方空間和像方空間的折射率；α和β分別為基光線的入射角和反射角/折射角.

圖1 單個(gè)光學(xué)面組成的平面對(duì)稱折射光學(xué)系統(tǒng)光路Fig.1 Optical path of plane symmetrical refractive optical system composed of single optical surface

在光學(xué)元件表面頂點(diǎn)坐標(biāo)系χηz′中, 平面對(duì)稱光學(xué)元件的面形方程式[3]為

(1)

根據(jù)三階像差理論, 僅需將式(1)進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開到四階,

z=c2,0χ2+c0,2η2+c3,0χ3+c1,2χη2+c4,0χ4+c0,4η4+c2,2χ2η2,

(2)

其中

(3)

R和ρ分別為超環(huán)面的主半徑和次半徑.

2 多個(gè)平行折射平面光學(xué)系統(tǒng)三階像差

平行平面板由兩個(gè)平行折射面組成, 若光線以較大角度入射在光學(xué)平面上, 則其具有平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)成像特性.這種情形下僅需研究主光線像差, 即不考慮關(guān)于視場(chǎng)角的像差系數(shù)項(xiàng).若將式(2)中主半徑R和次半徑ρ均設(shè)置為無窮大, 則該光學(xué)面為平面.因此, 在原有的平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)出單個(gè)折射平面的物方四階波像差系數(shù), 其表達(dá)式為

單個(gè)光學(xué)折射平面的波像差計(jì)算表達(dá)式[14]為

(12)

式(12)中的波像差系數(shù)Wij0表達(dá)式為

(13)

且

(14)

其中n0/1=n0/n1.

圖2 雙光學(xué)折射平面大視場(chǎng)角入射主光線的傳輸示意圖Fig.2 Schematic diagram of transmission main ray of large field of view incident with birefringence plane

應(yīng)用二階波像差w200=0和w020=0的條件, 求解光學(xué)面的物方和像方的子午和弧矢焦距[19-20]為

(18)

(19)

根據(jù)上述討論, 第i個(gè)光學(xué)面的像差由剩余的三階和四階波像差決定,

(20)

對(duì)于多個(gè)光學(xué)折射平面的系統(tǒng), 總的波像差為

(21)

其中

(22)

式(22)中

(23)

(24)

其中像差系數(shù)dij0和hij0的表達(dá)式分別為

3 單個(gè)平行平面板像差表達(dá)式

單個(gè)平行平面板的光路如圖3所示, 由兩個(gè)光學(xué)折射平面組成的平行平面板波像差[3]為

圖3 單個(gè)平行平面板的光路Fig.3 Optical path of single plane-parallel plate

結(jié)合式(22)和(23), 波像差表達(dá)式(34)可變換為

其中

(36)

應(yīng)用式(13)和傳輸方程式(15)～(18), 可得式(35)中波像差系數(shù)Wij0(1)和Wij0(2)的表達(dá)式為

4 數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證大視場(chǎng)角入射平行平面板像差計(jì)算表達(dá)式的正確性, 參考文獻(xiàn)[19]給出的系統(tǒng)像平面上像差計(jì)算流程圖, 在MATLAB軟件平臺(tái)上, 應(yīng)用推導(dǎo)出的像差表達(dá)式計(jì)算兩個(gè)含平行平面板的大視場(chǎng)角入射光學(xué)系統(tǒng)像差, 并與光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析. 光學(xué)系統(tǒng)Ⅰ包含兩個(gè)平行平面板, 在此基礎(chǔ)上, 設(shè)計(jì)了另一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)Ⅱ, 即在平行平面板后面加入一組雙膠合透鏡. 光學(xué)系統(tǒng)Ⅰ和Ⅱ的光學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)分別列于表1和表2, 其對(duì)應(yīng)的入瞳直徑分別為5,4 mm； 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)光路分別如圖4和圖5所示.

表1 光學(xué)系統(tǒng)Ⅰ的光學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)

在工作波長(zhǎng)為587.56 nm的D光入射下, 由本文推導(dǎo)出的像差表達(dá)式和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax分別計(jì)算得到的光學(xué)系統(tǒng)Ⅰ和光學(xué)系統(tǒng)Ⅱ的像差點(diǎn)列分別如圖6和圖7所示, 其中(A)和(B)分別為光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax和本文像差表達(dá)式得到的結(jié)果, 在3個(gè)不同視場(chǎng)情形下對(duì)應(yīng)的像平面位置分別為159.90,96.59,15.64 mm處的像差點(diǎn)列圖, 視場(chǎng)角標(biāo)注在圖的右上方. 在像差計(jì)算過程中, 所有視場(chǎng)角的物點(diǎn)與系統(tǒng)第一個(gè)光學(xué)面之間沿主光線的距離均設(shè)定為300 mm.

表2 光學(xué)系統(tǒng)Ⅱ的光學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)

由圖6和圖7可見, 像差表達(dá)式與光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax計(jì)算得到的點(diǎn)列分布圖形狀和尺寸大小結(jié)果相符, 表明像差表達(dá)式具有較高的計(jì)算精度, 從而驗(yàn)證了本文研究方法的有效性, 但二者存在微小差異, 這是由于更高階的像差(包括本征像差和衍生像差)影響所致. 對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)Ⅰ, 每個(gè)視場(chǎng)角物點(diǎn)發(fā)出的平行光束經(jīng)兩塊平行平面板后出射的光束也是平行的, 在像平面上的像差分布主要取決于光束寬度, 使得在3個(gè)不同視場(chǎng)角0°,30°,60°的結(jié)果較接近.

綜上, 本文在平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論的基礎(chǔ)上, 提出了一種大視場(chǎng)角入射的平行平面板像差分析方法, 推導(dǎo)出相應(yīng)像差計(jì)算表達(dá)式, 并結(jié)合含平行平面板的光學(xué)系統(tǒng)實(shí)例, 應(yīng)用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax對(duì)其進(jìn)行像差計(jì)算, 將結(jié)果與本文推導(dǎo)的像差計(jì)算表達(dá)式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析. 結(jié)果表明, 用像差表達(dá)式計(jì)算的結(jié)果精度較高. 本文研究的大視場(chǎng)角入射平行平面板像差解析分析方法為其成像分析提供了一種有效方法, 有助于系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì).