基于MWOA-ELM代理模型的有限元模型修正*

趙 宇, 彭珍瑞

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

有限元模型(finite element model,FEM)可以分析不同運(yùn)營(yíng)條件下結(jié)構(gòu)的行為。然而，有限元分析結(jié)果和實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)存在著差異。因此，對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，減小有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間的差異，提高有限元分析的精確性很有必要[1]。有限元模型修正(finite element model updating,FEMU)分為基于模態(tài)參數(shù)和頻響函數(shù)的模型修正方法。其中，基于頻響函數(shù)的方法不需要進(jìn)行模態(tài)分析，直接使用振動(dòng)測(cè)試所得的頻響函數(shù)矩陣，修正結(jié)果較為精確。

在模型修正的過(guò)程中需要重復(fù)調(diào)用有限元模型進(jìn)行響應(yīng)的計(jì)算，導(dǎo)致修正效率低下。代理模型(surrogate model,SM)能夠建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與響應(yīng)之間的隱式關(guān)系，替代有限元模型。響應(yīng)面模型(response surface model,RSM)等在模型修正中得到應(yīng)用[2～4]。極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine,ELM)作為一種基于單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(single-hidden layer feedforward neural networks,SLFNs)的快速學(xué)習(xí)算法，以其較快的學(xué)習(xí)速度和泛化能力引起了關(guān)注[5,6]。

FEMU問(wèn)題可以歸結(jié)為非線性優(yōu)化問(wèn)題。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法計(jì)算量大，會(huì)陷入局部最優(yōu)。遺傳算法(genetic algorithm,GA)等智能優(yōu)化算法被引入模型修正[7,8]。鯨魚(yú)優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)是一種新型群體智能優(yōu)化算法，模擬自然界中鯨魚(yú)的群體捕食行為[9]。文獻(xiàn)[10]提出基于Lévy飛行的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(Lévy flight based whale optimization algorithm,LWOA)。目前，ELM代理模型構(gòu)建及WOA在FEMU應(yīng)用中鮮有見(jiàn)到。

本文利用改進(jìn)的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(modified whale optimization algorithm,MWOA)優(yōu)化ELM的輸入層權(quán)值及隱層節(jié)點(diǎn)閾值，將MWOA-ELM作為代理模型，建立修正參數(shù)與加速度頻響函數(shù)(acceleration frequency response function,AFRF)之間的關(guān)系，替代有限元模型。并以頻域準(zhǔn)則構(gòu)建修正目標(biāo)，結(jié)合MWOA獲取修正參數(shù)實(shí)現(xiàn)FEMU。

1 改進(jìn)的鯨魚(yú)優(yōu)化算法

1.1 LWOA

LWOA是在基本W(wǎng)OA搜索機(jī)制中加入了Lévy飛行行為。LWOA通過(guò)以下幾種行為更新搜索代理(座頭鯨)位置捕獲獵物。

1)獵物包圍

X(t+1)=X*(t)-A·D

(1)

D=|C·X*(t)-X(t)|

(2)

式中A=2a·r-a;a=2-2t/tmax;C=2·r;r為[0,1]間的隨機(jī)向量；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)；X(t)為當(dāng)前位置向量；X*(t)為當(dāng)前最優(yōu)解位置向量。

2)Bubble-net狩獵

(3)

式中D′=|X*(t)-X(t)|;b為定義對(duì)數(shù)螺旋線形狀的常量；l為[-1,1]間的隨機(jī)數(shù)；p為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)。

3)獵物搜索

X(t+1)=Xr(t)-A·D

(4)

D=|C·Xr(t)-X(t)|

(5)

式中Xr(t)為隨機(jī)搜索位置向量。

4)Lévy飛行策略

X(t+1)=X(t)+α0(X(t)-X*(t))⊕Levy

(6)

1.2 MWOA

1)Gauss混沌初始化策略

為提高算法求解效率，采用Gauss混沌初始化策略產(chǎn)生混沌初始種群

(7)

2)非線性調(diào)整策略

為加快算法收斂速度，加入非線性收斂策略

(8)

3)自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)

(9)

(10)

(11)

2 優(yōu)化ELM模型建立

2.1 ELM模型

ELM包含輸入層、隱含層和輸出層。給定N組訓(xùn)練樣本集(xi,ti)，xi=[xi1,xi2,…,xin]T∈Rn，ti=[ti1,ti2,…,tim]T∈Rm，則網(wǎng)絡(luò)輸出

(12)

式中L為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；wi為輸入層節(jié)點(diǎn)與第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)間的權(quán)值向量；βi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)與輸出層節(jié)點(diǎn)間的權(quán)值向量；bi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的閾值；g(·)為激活函數(shù)。

式(12)可表示為矩陣形式

Hβ=T

(13)

則有隱含層輸出矩陣

(14)

式中β=[β1,β2,…,βL]T為輸出權(quán)值矩陣；T=[t1,t2,…,tN]T為目標(biāo)矩陣。

由文獻(xiàn)[5]得到式(13)的最小二乘解

(15)

式中H+為隱含層輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。

2.2 MWOA優(yōu)化ELM模型

采用MWOA優(yōu)化ELM輸入層權(quán)值和隱含層節(jié)點(diǎn)閾值。將ELM輸入層權(quán)值w和隱含層節(jié)點(diǎn)閾值b作為MWOA每一條座頭鯨，以ELM樣本集期望輸出與實(shí)際輸出的均方根誤差(root mean square error,RMSE)為適應(yīng)度函數(shù)，通過(guò)更新搜索代理位置，得到優(yōu)化后的輸入權(quán)值和閾值。

3 頻響函數(shù)與頻域準(zhǔn)則

3.1 頻響函數(shù)

對(duì)于多自由度阻尼系統(tǒng)，加速度頻響函數(shù)

(16)

式中M,C和K分別為n×n維質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ω為激勵(lì)頻率。

3.2 頻域準(zhǔn)則及目標(biāo)函數(shù)

通過(guò)頻率響應(yīng)置信準(zhǔn)則(frequency response assurance criterion,FRAC)和頻率幅值置信準(zhǔn)則(frequency amplitude assurance criterion,FAAC)衡量有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)AFRF之間的相關(guān)程度

FRACj=

(17)

FAACj=

(18)

式中 {HX(ωi)}j和{HA(ωi)}j分別為第j個(gè)自由度頻率ωi上的試驗(yàn)和有限元模型AFRF向量；FRAC∈[0,1]；FAAC∈[0,1]。

使用MWOA-ELM預(yù)測(cè)AFRF向量替代{HA(ωi)}j。以MWOA-ELM模型與試驗(yàn)AFRF頻域準(zhǔn)則為目標(biāo)函數(shù)

(19)

式中w1和w2為權(quán)重，w1+w2=1。

4 數(shù)值算例

采用圖1所示的平面桁架，材料彈性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 850 kg/m3。利用ANSYS建立有限元模型，桁架有26個(gè)節(jié)點(diǎn)和49個(gè)桿件單元。除節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)25外，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有x,y方向2個(gè)平動(dòng)自由度，共49個(gè)自由度。

圖1 平面桁架

4.1 參數(shù)靈敏度分析

結(jié)構(gòu)在服役時(shí)剛度會(huì)降低，剛度與彈性模量和截面尺寸相關(guān)，一般截面尺寸保持不變[8]。通過(guò)降低彈性模量來(lái)模擬“試驗(yàn)”值。激勵(lì)點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)分別選取在節(jié)點(diǎn)19,節(jié)點(diǎn)4的豎向自由度上。對(duì)桿件的彈性模量擾動(dòng)2%，結(jié)構(gòu)AFRF對(duì)參數(shù)的靈敏度如圖2所示。

圖2 桁架響應(yīng)對(duì)參數(shù)的靈敏度

選取靈敏度最高的E15,E32,E34作為待修正參數(shù)，將E15，E32，E34的初始有限元值降低15%模擬“試驗(yàn)”值，試驗(yàn)值E=178.5 GPa。

4.2 MWOA-ELM模型建立與檢驗(yàn)

采用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)，對(duì)3個(gè)待修正參數(shù)抽樣100組，并代入式(16)計(jì)算AFRF。以待修正參數(shù)為樣本輸入，AFRF為輸出，建立MWOA-ELM模型。激活函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為60。鯨魚(yú)數(shù)量為20，最大迭代次數(shù)為100。利用MATLAB編程，程序運(yùn)行20次，求其平均值。WOA，LWOA及MWOA優(yōu)化ELM適應(yīng)度值迭代曲線如圖3所示。

圖3 優(yōu)化ELM適應(yīng)度值迭代曲線

從圖3可知，與WOA，LWOA相比，MWOA迭代速度快，計(jì)算精度高。模型的有效性通過(guò)RMSE和決定系數(shù)R2評(píng)價(jià)。RMSE趨于0，R2趨于1，意味著模型具有較好的精度。ELM及優(yōu)化ELM模型預(yù)測(cè)RMSE值如圖4所示。從圖4可知，優(yōu)化后的ELM模型，其RMSE值均有所減小。其中，MWOA-ELM模型的RMSE值最小，RMSE均值為3.098×10-6，R2為1。

圖4 ELM及優(yōu)化ELM預(yù)測(cè)RMSE值

4.3 待修正參數(shù)MWOA優(yōu)化

建立MWOA-ELM模型，采用MWOA求解式(19)。并將修正結(jié)果與GA方法進(jìn)行對(duì)比。權(quán)重值取為0.5，種群大小為50，最大迭代次數(shù)為200。設(shè)定GA參數(shù)：交叉概率0.9，變異概率0.1。同時(shí)，考慮到噪聲對(duì)試驗(yàn)值的影響，此處對(duì)試驗(yàn)頻響函數(shù)加入3 %的噪聲。修正后的參數(shù)值對(duì)比如表1所示。由表1可知，基于MWOA-ELM的模型修正方法較GA方法可以獲得較為準(zhǔn)確的修正結(jié)果。在考慮測(cè)量噪聲時(shí)，修正結(jié)果誤差最大值從15 %降到1 %以內(nèi)。不考慮測(cè)量噪聲時(shí)，誤差最大值為0.003 2 %。修正后的加速度頻響函數(shù)如圖5所示。從圖5可以看出，MWOA-ELM模型修正后的AFRF與試驗(yàn)值有很好的吻合。

表1 修正后結(jié)果對(duì)比

圖5 修正后模型、試驗(yàn)?zāi)Ｐ图坝邢拊Ｐ皖l響函數(shù)

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于AFRF頻域準(zhǔn)則的模型修正方法，將MWOA-ELM模型用于結(jié)構(gòu)FEMU中。MWOA較原有WOA,LWOA，尋優(yōu)效率得到了顯著提升。所建MWOA-ELM模型預(yù)測(cè)效果更好。修正結(jié)果相較于GA，尋優(yōu)精度高。算例結(jié)果表明，在3 %噪聲下修正后的參數(shù)誤差控制在1 %以內(nèi)。有效驗(yàn)證了MWOA-ELM作為代理模型在FEMU中的應(yīng)用可行性。