機(jī)器學(xué)習(xí)方法擬合宏觀經(jīng)濟(jì)變量優(yōu)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法嗎
——基于經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)的擬合

袁 靖 劉 響 董雅菁 馬 騰

（山東工商學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005）

一、引言及文獻(xiàn)綜述

經(jīng)濟(jì)政策是為實(shí)現(xiàn)既定的宏觀經(jīng)濟(jì)目標(biāo)、增進(jìn)社會(huì)福利而制定的解決經(jīng)濟(jì)問題的指導(dǎo)原則和措施。受經(jīng)濟(jì)政策自身特征和國內(nèi)外環(huán)境因素的影響，經(jīng)濟(jì)政策往往具有不同程度的不確定性，即未來與經(jīng)濟(jì)相關(guān)的政策變動(dòng)中包含的各類無法預(yù)知的成分。近年來，突發(fā)事件凸顯不確定沖擊是影響宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的主要沖擊，尤其經(jīng)濟(jì)政策不確定是引起宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的原因，并且對(duì)經(jīng)濟(jì)變量總體上表現(xiàn)為負(fù)面效應(yīng)（Bloom，2009；Caggiano等，2014；Jurado等 2015；Arouri等，2016；Dinb 等，2018；Dayorg zhang 等，2019；Tao Li等，2019；Shen Huayu 等，2021；FengHe等，2020；Dhole等，2021；Altig等，2020）。2020年全球爆發(fā)了新冠肺炎疫情，疫情凸顯不確定性對(duì)經(jīng)濟(jì)造成巨大沖擊，隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境不確定性增強(qiáng)，經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)的波動(dòng)也呈現(xiàn)長期加強(qiáng)趨勢(shì)。

對(duì)經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)（EPU）的構(gòu)建，最具代表性的是Baker等（2016）利用媒體文本，分析構(gòu)造的經(jīng)濟(jì)政策不確定性指數(shù)，研究者選取各個(gè)國家主流報(bào)紙構(gòu)建相關(guān)詞庫，通過詞頻統(tǒng)計(jì)構(gòu)建經(jīng)濟(jì)政策不確定性指數(shù)（EPU指數(shù)），該指數(shù)被廣泛使用。我們可以從網(wǎng)站http：//www.policyuncertainty.com下載26個(gè)國家的EPU數(shù)據(jù)。已有文獻(xiàn)對(duì)EPU的分析均為EPU對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響效應(yīng)分析，對(duì)EPU波動(dòng)擬合的文獻(xiàn)僅有一篇，文章采用高維VAR模型，基于18個(gè)發(fā)達(dá)國家的EPU，對(duì)巴西、中國、印度、俄羅斯（金磚四國）的EPU進(jìn)行了擬合。

近年來，宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)領(lǐng)域應(yīng)用ML方法的研究日益增多（Ahmed 等，2010；Stock 和 Watson，2012；Li和Chen，2014；Kim 和 Swanson，2018；Smeekes 和 Wijler，2018；Chen 等，2019；Milunovich，2020；Coulombe 等，2020），采用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型AR和隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及增強(qiáng)樹三種機(jī)器學(xué)習(xí)方法重點(diǎn)預(yù)測(cè)了美國經(jīng)濟(jì)的五個(gè)代表性宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)：工業(yè)生產(chǎn)、失業(yè)率、消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)、10年期國債固定到期利率與聯(lián)邦基金利率之差和住房開工率。結(jié)論認(rèn)為，機(jī)器學(xué)習(xí)非參數(shù)非線性是最顯著的特征，因此大大提高了所有宏觀經(jīng)濟(jì)變量的預(yù)測(cè)精度，特別是在大數(shù)據(jù)背景下做長期預(yù)測(cè)時(shí)效果更為顯著。

本文采用ARIMA模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LSTM以及將統(tǒng)計(jì)方法與機(jī)器學(xué)習(xí)融合在一起的隨機(jī)森林分位數(shù)回歸方法，對(duì)美國、英國的經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)進(jìn)行擬合對(duì)比，擬合效果顯示，長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LSTM預(yù)測(cè)效果最優(yōu)，ARIMA模型擬合效果最差，相同樣本期內(nèi)ARIMA模型擬合均方根誤差幾乎達(dá)到LSTM方法預(yù)測(cè)均方根誤差的3倍，隨機(jī)森林分位數(shù)回歸及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合效果居中。這為今后采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)提供了新思路。

二、機(jī)器學(xué)習(xí)方法及ARIMA模型

（一）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由于在網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練中，調(diào)整權(quán)閾值的訓(xùn)練算法遵循了誤差反向傳播方式，所以它是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中比較成熟和完美的一部分。通常BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有3層或者3層以上神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括輸入層、隱含層和輸出層，上下層之間實(shí)現(xiàn)全連接，但同一層神經(jīng)元之間無連接。

（二）長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) STM

LSTM模塊由多個(gè)同構(gòu)單元格構(gòu)成，單元格常被稱作節(jié)點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部包括遺忘門、輸入門、輸出門以及由它們控制的輸入到輸出的各種連接。三個(gè)門是LSTM的核心，可以看作是在LSTM內(nèi)部流動(dòng)時(shí)的調(diào)節(jié)者。具體功用如下：遺忘門負(fù)責(zé)對(duì)此前狀態(tài)空間中的信息進(jìn)行過濾調(diào)節(jié)；輸入門調(diào)節(jié)各節(jié)點(diǎn)輸入信息進(jìn)入狀態(tài)空間的比例；輸出門對(duì)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)下狀態(tài)空間所保存的信息流入隱層的過程進(jìn)行調(diào)控。

（三）隨機(jī)森林分位數(shù)回歸

隨機(jī)森林是通過集成學(xué)習(xí)的思想將多棵樹集成的一種算法，它的基本單元是決策樹，而它的本質(zhì)屬于機(jī)器學(xué)習(xí)的一大分支——集成學(xué)習(xí)方法。隨機(jī)森林算法是一種非線性模型，即將多個(gè)決策樹集成為森林的一種模型。分位數(shù)隨機(jī)森林（QRF）由分位數(shù)回歸和隨機(jī)森林發(fā)展得到，但保留了兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，其輸出值為不同分位點(diǎn)的回歸預(yù)測(cè)結(jié)果。QRF運(yùn)算速度快，模型性能受參數(shù)影響小，且具有較強(qiáng)容噪性。

分位數(shù)回歸森林可以被看作是一個(gè)適應(yīng)性近鄰分類和回歸過程。對(duì)每一個(gè)X=x，都可以得到原始n個(gè)觀察值權(quán)重集合 wi（x），i=1，2，...，n。記 θ為隨機(jī)參數(shù)向量，決定決策樹的生長（比如每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)哪些變量分割），對(duì)應(yīng)的決策樹記為T（θ），記B為X的域。

具體說，設(shè)訓(xùn)練樣本為（Xi，Yi），i=1，...，n，其中特征向量X為P維，即X∈Rp。決策樹是一種樹形結(jié)構(gòu)，其中每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)基于一個(gè)屬性進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)測(cè)試結(jié)果的不同繼續(xù)分配到不同的分支，每個(gè)葉節(jié)點(diǎn)代表最終輸出的類別，設(shè)θ為單顆決策樹的參數(shù)，決定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的分裂變量和樹的深度等條件，決策樹的葉子節(jié)點(diǎn)記為l，l=1，...，L。每個(gè)樣本的特征向量x都屬于葉子中的一個(gè)區(qū)域，記為X∈Rl，同時(shí)將這個(gè)節(jié)點(diǎn)記為l（x，θ）。對(duì)訓(xùn)練樣本Xi，考慮其對(duì)應(yīng)葉子節(jié)點(diǎn)上的權(quán)重向量wi（x，θ）為：

式中，（I·）為示性函數(shù)，顯然上式的權(quán)重和為1。

對(duì)隨機(jī)森林算法來說，新觀測(cè)值條件均值的估計(jì)E（Y|X=x）即為k棵決策樹的平均。設(shè)每棵決策樹的參數(shù) θt為獨(dú)立同分布，t=1，...，k，則權(quán)重向量w（ix）為各個(gè)決策樹平均：

則隨機(jī)森林最終的預(yù)測(cè)為對(duì)因變量的加權(quán)平均：

分位數(shù)回歸森林建立在隨機(jī)森林的基礎(chǔ)上，對(duì)因變量全部的條件分布進(jìn)行估計(jì)，設(shè)給定條件X=x時(shí)因變量Y的條件分布為：

利用隨機(jī)森林估計(jì)的權(quán)重wi（x），條件分布的估計(jì)可以看成對(duì)示性函數(shù)I（Yi≤y）的加權(quán)平均，因而給出對(duì)條件分布的估計(jì)為：

進(jìn)一步可得到利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)的Y的條件分位點(diǎn)Qτ（Y）

分位數(shù)回歸森林中，模型的參數(shù)主要有兩個(gè)，分別為樹的數(shù)量和每個(gè)節(jié)點(diǎn)參與分裂變量的個(gè)數(shù)。這里：對(duì)最優(yōu)參數(shù)的選取方法為：在樣本內(nèi)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行訓(xùn)練，使該參數(shù)建立的模型在樣本內(nèi)失敗個(gè)數(shù)N更接近于理論失敗個(gè)數(shù)。

（四）ARIMA 模型

具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動(dòng)平均模型，簡單記為 ARIMA（p，d，q）模型：

式中，Δd=（1-B）d；Φ（B）=1-φ1B-L-φpBp，為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；Θ（B）=1-θ1B-L-θqBq，為平穩(wěn)可逆 ARMA（p，q）模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式。ARIMA模型的建立和預(yù)測(cè)方法已經(jīng)成熟，因此，利用合理階數(shù)的差分運(yùn)算來平穩(wěn)化，就能滿足對(duì)非平穩(wěn)系統(tǒng)輸出簡便有效的建模。

三、基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法及ARIMA模型對(duì)經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)擬合

（一）數(shù)據(jù)

本文選取美國經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)、英國經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)歷史數(shù)據(jù)（美國數(shù)據(jù)從1985年1月1日至2021年3月19日，英國數(shù)據(jù)從2001年1月1日至2021年3月19日），數(shù)據(jù)來源為http：//www.polic yuncertainty.com/index.html。

（二）擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)

確定性點(diǎn)擬合誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)采用平均相對(duì)誤差（Mean Percentage Error）和均方根誤差（Root Mean Square Error）統(tǒng)計(jì)，分別按以下方法計(jì)算：

1.平均相對(duì)誤差δ

2.均方跟誤差（RMSE）

（三）美國、英國經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)擬合效果對(duì)比分析

1.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建、參數(shù)調(diào)優(yōu)及擬合結(jié)果

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以EPU滯后數(shù)據(jù)為特征向量從輸入層輸入，因此采用滑動(dòng)窗口法得到輸入矩陣，具體方法為：依次將美國、英國EPU數(shù)據(jù)的n個(gè)滯后值作為特征向量輸入，當(dāng)前EPU數(shù)據(jù)作為輸出，構(gòu)建前n個(gè)EPU數(shù)據(jù)和之后1個(gè)EPU數(shù)據(jù)的非線性映射，最終m個(gè)EPU樣本觀測(cè)值滑動(dòng)生成m-n個(gè)訓(xùn)練集樣本，即（m-n）×n輸入矩陣。本文輸入層的節(jié)點(diǎn)數(shù)目為8，輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)目為1，根據(jù)美國1985—2021年EPU數(shù)據(jù)，滑動(dòng)生成10575個(gè)訓(xùn)練集樣本，根據(jù)英國2000—2021年EPU數(shù)據(jù)，滑動(dòng)生成7375個(gè)訓(xùn)練集樣本，繪制BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合曲線，并用虛線表示測(cè)試集真實(shí)的EPU數(shù)據(jù)，實(shí)線為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合EPU指數(shù)，圖1為美國、英國經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全樣本擬合圖，美國EPU擬合均方根誤差為63.87，英國EPU擬合均方根誤差為140.14。

圖1 美國、英國EPU的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全樣本擬合圖

2.長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LSTM構(gòu)建、參數(shù)調(diào)優(yōu)及擬合結(jié)果

在單步EPU指數(shù)多維數(shù)據(jù)自回歸模型中，采用每步長都即時(shí)更新的真實(shí)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行序列自回歸，即時(shí)間滑動(dòng)窗口每向下移動(dòng)一步時(shí)更新真實(shí)歷史數(shù)據(jù)，輸入的數(shù)據(jù)維度為[1，7]，記錄預(yù)測(cè)值，繪制隨每次迭代的損失函數(shù)變化圖像。為防止擬合LSTM層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)過多，模型總計(jì)四層，經(jīng)調(diào)整后模型具體參數(shù)如下：

第一層：LSTM層，神經(jīng)元個(gè)數(shù)為4個(gè)，輸入步長為8，單步多維序列自回歸數(shù)據(jù)輸入維度為7。

第二層：隱藏層，神經(jīng)元個(gè)數(shù)為4個(gè)。

第三層：全連接層，輸出神經(jīng)元個(gè)數(shù)為1，激活函數(shù)為linear線性激活。

圖2為美國、英國經(jīng)濟(jì)政策不確定指數(shù)LSTM全樣本測(cè)試集的擬合圖，虛線為EPU真實(shí)值，實(shí)線為EPU擬合值，美國EPU擬合均方根誤差為60.12，英國EPU擬合均方根誤差為128.31。

圖2 美國、英國EPU的長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LSTM全樣本擬合圖

3.隨機(jī)森林分位數(shù)回歸參數(shù)選擇及擬合結(jié)果

基于多次實(shí)驗(yàn)，選擇樹的數(shù)量為500，分裂變量為自動(dòng)選取優(yōu)化。圖3為隨機(jī)森林方法對(duì)美國、英國EPU的擬合圖，虛線為真實(shí)值，實(shí)線為擬合值，美國EPU擬合均方根誤差為61.19，英國EPU擬合均方根誤差為138.26。

圖3 美國、英國EPU的隨機(jī)森林分位數(shù)回歸全樣本擬合圖

4.ARIMA模型擬合效果

根據(jù)AIC和BIC準(zhǔn)則，確定美國EPU數(shù)據(jù)的最優(yōu)模型是 ARIMA（4，1，2），英國 EPU 數(shù)據(jù)的最優(yōu)模型是 ARIMA（1，1，1），繪制 ARIMA 模型的擬合曲線如圖4所示，其中虛線表示測(cè)試集真實(shí)的EPU數(shù)據(jù)，實(shí)線為ARIMA模型擬合的EPU指數(shù)，美國EPU擬合均方根誤差為169.25，英國EPU擬合均方根誤差為142.08。

圖4 美國、英國EPU的ARIMA模型擬合圖

5.總結(jié)

我們將四種方法對(duì)美國、英國EPU擬合效果總結(jié)如下：

表1 誤差比較

由此可以得出結(jié)論，長短期記憶LSTM方法擬合美國EPU擬合效果最優(yōu)，傳統(tǒng)ARIMA模型擬合效果最差，其均方根誤差幾乎是長短期記憶LSTM方法擬合均方根誤差的3倍，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及隨機(jī)森林分位數(shù)回歸方法居中。長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LSTM在經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)有文獻(xiàn)中均用于股票收益率預(yù)測(cè)，本文將其運(yùn)用于宏觀經(jīng)濟(jì)變量EPU擬合，效果很好。對(duì)英國EPU擬合效果，四種方法擬合均方根誤差差異接近，由于英國EPU數(shù)據(jù)時(shí)間維度不如美國EPU數(shù)據(jù)時(shí)間維度長，因而采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法擬合效果雖好但不明顯。

四、結(jié)論

機(jī)器學(xué)習(xí)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的交叉已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要研究領(lǐng)域。由于大數(shù)據(jù)的可用性，特別是在微觀經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中，機(jī)器學(xué)習(xí)方法已經(jīng)得到重視（Belloni，2017和Athey，2019）。

本文采用機(jī)器學(xué)習(xí)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型相結(jié)合的方法對(duì)美國、英國歷史EPU數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，由于機(jī)器學(xué)習(xí)方法能夠體現(xiàn)數(shù)據(jù)的非線性特征，因而擬合效果優(yōu)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型（ARIMA模型），這與Coulombe等（2020）的研究結(jié)論是一致的。數(shù)據(jù)時(shí)間維度越長，采用機(jī)器學(xué)習(xí)擬合效果越好，數(shù)據(jù)時(shí)間維度短則機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)越度不明顯，換句話說，在大數(shù)據(jù)背景下機(jī)器學(xué)習(xí)方法的優(yōu)良性能夠更好地顯現(xiàn)出來。對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)核心指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的重要研究課題，近年來我國學(xué)者致力于改進(jìn)預(yù)測(cè)模型，提高預(yù)測(cè)精度，隨著未來經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不確定性增加，非線性日益成為經(jīng)濟(jì)變量顯著特征，在宏觀經(jīng)濟(jì)高度不確定性、金融壓力及經(jīng)濟(jì)衰退時(shí)期，非線性的表現(xiàn)尤其被放大，此時(shí)機(jī)器學(xué)習(xí)方法在預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)變量時(shí)表現(xiàn)出優(yōu)越性，因而未來機(jī)器學(xué)習(xí)方法將更多適用于宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)。