廖蓓蓓

【摘? ?要】“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”是數(shù)學素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。學生經歷自己得出結論的過程，有助于鍛煉分析與解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學思維。以“積的變化規(guī)律”一課為例，教師通過“巧用素材、質疑解析、應用模型、方法遷移”等方式，引導學生經歷自己得出結論的過程，做到“言之有物、言之有據(jù)、言之有理、言之有瞻”。此外，教師結合教學實踐提出“給足學生參與的時空，允許學生有試錯的機會，提供人人有話說的素材”的思考，讓數(shù)學素養(yǎng)的培育落到實處。

【關鍵詞】積的變化規(guī)律;數(shù)學思考;解決問題;自己得出結論

“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”是數(shù)學素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一。學生經歷自己得出結論的過程，有助于鍛煉分析與解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學思維。然而在實際教學中，學生自己得出結論時常常偏離核心或過于直觀淺白，很難深入完整地對結論進行提煉。筆者以“積的變化規(guī)律”為例，談談如何為學生創(chuàng)設合適的學習環(huán)境，創(chuàng)造機會讓學生能參與自己得出結論的過程，提升自己得出結論的能力。

一、教學內容分析

人教版教材四年級上冊有探索“積的變化規(guī)律”這一內容，其中包括探索因數(shù)與積的協(xié)變關系，要求學生概述關系或以文字記錄規(guī)律等教學內容。

“積的變化規(guī)律”是學生后續(xù)學習商的變化規(guī)律、運算定律、比例基本性質等內容的重要基礎，也是引導學生經歷抽象概括全過程，培養(yǎng)學生合情推理能力的好材料。從培養(yǎng)學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”這一角度看，這一內容的學習價值不僅僅體現(xiàn)在掌握“規(guī)律”本身，更重要的是讓學生經歷“數(shù)學思考”的過程，提升思維能力。

二、教學過程介紹

（一）巧用素材，使之“言之有物”

在對教材中的素材進行梳理與調整的基礎上開始教學，引導學生在分析問題時做到“言之有物”。

1.經歷初步形成結論的過程

教師呈現(xiàn)研究問題：

請你完成下面兩組計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？把你發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象寫出來。

6×2=（? ）? ? ? 4×25=（? ）

6×20=（? ）? ? 12×25=（? ）

6×200=（? ）? ?48×25=（? ）

布置任務：①你發(fā)現(xiàn)了什么結論？②你是怎么發(fā)現(xiàn)這個結論的？③你覺得你發(fā)現(xiàn)的結論對嗎？怎么證明它是對的？

交流學習：小組交流后得出以下三個結論。

結論1：第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)乘10，積也乘10;第一個因數(shù)乘幾，第二個因數(shù)不變，積也乘幾。

結論2：第一個或第二個因數(shù)不變，其余因數(shù)是倍數(shù)關系，積也是倍數(shù)關系。

結論3：某一個因數(shù)乘幾，另一個因數(shù)不變，積就乘幾。

2.辨析結論是否正確

教師組織學生針對以上三個結論進行討論。因為結論1體現(xiàn)了規(guī)律從特殊到一般化的過渡，具有典型性，所以下面的教學圍繞此結論展開。

（1）素材1：“第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)乘10，積也乘10”這個結論對嗎？

生：對的。在左邊這組算式中，先看前面兩個算式。第一個因數(shù)6保持不變，第二個因數(shù)從2變?yōu)?0，也就是乘了10，積也從12變成120，也是乘10。

生：從第2個算式到第3個算式也是這樣的。第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)乘了10，積也是乘10。

師梳理并板書（如圖1）：我們先理一理是怎么發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的。6不變，20=2×10，那么6×20=6×2×10，也就是“6×2”的積12再乘10。

生：當20×10的時候，積就是（6×20）×10=120×10=1200。200也可以看作2×100，那么6×200=（6×2）×100=12×100=1200。

生：6都不變，一個因數(shù)乘10，積就乘10;一個因數(shù)乘100，積就乘100。

（2）素材2：“第一個因數(shù)乘幾，第二個因數(shù)不變，積也乘幾”這個結論對嗎？

生：對的?？梢钥从疫呥@組算式中的前兩個算式。算式中的第一個因數(shù)25一直保持不變，第二個因數(shù)從4變?yōu)?2，因為4×3=12，所以12×25=（4×25）×3=100×3=300。

生：看第二組中的第1個算式和第3個算式，也有這樣的規(guī)律。4×12=48，那么48×25=（4×12）×25=（4×25）×12=100×12=1200。

生：這句話在左邊這組算式中也適用。

（3）比較結論優(yōu)劣，理解結論的一般化。

教師引導學生對比前文中總結出的結論，對比“第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)乘10，積也乘10”和“第一個因數(shù)乘幾，第二個因數(shù)不變，積也乘幾”這兩句話，思考哪句話的表達更清晰、更準確。

生：后面的好。第一句只講一種情況，后面是用一句話概括所有的情況。

師：包括哪些情況？

生：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘10，積就乘10;另一個因數(shù)乘100，積就乘100;因數(shù)乘3，積就乘3;因數(shù)乘9，積就乘9。

師：還有其他情況嗎？

教師引導學生分兩個層次舉例，并記錄（如圖2）。

……

（4）對比歸納，修正結論。

師：結論2與結論3，所表述的意思一樣嗎？

生：我們組說的倍數(shù)關系，和乘幾是同樣的意思。

師：（指板書）關于“幾”與“幾”的關系，有具體要求嗎？

生：積要跟著乘相同的數(shù)。

修正結論：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積也乘相同的數(shù)。

以上過程，教師通過素材的呈現(xiàn)，引導學生觀察、比較，不斷發(fā)現(xiàn)、分析，理解規(guī)律蘊含的結構化思想，懂得提煉結論要“言之有物”。用“結論是否正確”來引導學生從結論倒回去看算式，通過對6×2與6×20，6×200積的變化規(guī)律的對比分析，清楚積的變化規(guī)律藏在兩個算式的對比之中。再通過提問“哪個結論比較好”，引導學生對比結論的不同表述方式，經歷從用具體數(shù)據(jù)描述規(guī)律到用“幾”這樣的一般性詞匯描述規(guī)律的過渡。在這一過程中，學生更好地體會到結論一般化的含義，提煉了規(guī)律結構化的數(shù)學思想。

（二）質疑解析，使之“言之有據(jù)”

結論的得出必須要有依據(jù)，有依據(jù)的結論才具有科學性。教師應首先引導學生對結論的一般性進行質疑，解釋結論的表述是否完整，讓學生體會“推理的嚴密性”，再引導學生用學過的知識，如面積模型、乘法的意義等對結論的合理性進行解釋，體現(xiàn)“言之有據(jù)”。

1.分析結論的合理性

（1）質疑。

師：我們舉了這些例子后，是不是就可以說明結論一定合理？

生：還要舉更多的例子，例子是舉不完的。

師：如果能找到它的反例，就可以說明結論不成立。

生：0除外。

師：這是對數(shù)的要求做補充。（板書：0除外）

（2）解釋。

師：如果找不到反例，那么我們說暫時這個結論可用。除此之外，你還有什么辦法能解釋此結論確實合理嗎？

生畫圖解析：我畫了一個長方形，長是5，寬是4。如果長不變，寬乘2，面積就乘2。如果寬不變，長乘2，面積也是乘2。

……

借圖歸納：長方形面積用“長×寬”來表示，在長與寬中，一個數(shù)不變時，不管是長乘幾或者寬乘幾，面積都會跟著乘相同的數(shù)。這和積的變化規(guī)律完全一致。

（3）總結。

看來，通過面積圖或者對乘法意義的解釋，確實可以說明以上總結出的“積的變化規(guī)律”是存在的。

2.完善“積的變化規(guī)律”

師：研究到這兒，你還能“推”出其他的猜測嗎？

生：如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾，或者加上幾、減去幾，積是不是也會隨著發(fā)生同樣的變化？

學生提出猜測后，教師引導學生推翻不成立的猜測，解釋成立的猜測，并用一句話把規(guī)律寫完整。

（三）應用模型，使之“言之有理”

模型建立后，應用模型的過程既是對模型進行鞏固的過程，也是從歸納走向演繹，用已經證明是正確的規(guī)律解決問題的過程。在這個過程中，學生要做到“言之有理”。

教師出示問題：

（1）如果A×8=200，那么A×8×3=？

（2）如果A×8=25，那么A×8×3=？A×32=？

學生解答問題……

教師呈現(xiàn)學生解決問題（1）的兩種情況。

情況1：A=200÷8=25，A×8×3=25×8×3=200×3=600。

情況2：A×8×3=200×3=600。

教師追問：情況2中的200是從哪里來的？

生：因為A×8=200，所以可以用200代替“A×8”。

師：用這兩種方法都能得到答案，給兩種方法各取一個名字，你會怎么?。?/p>

生：第1種叫按步計算法，第2種叫打包法。

……

師：看問題（2），如果A×8=25，要求A×8×3=？你選哪種方法？

生：用打包法。因為這道題要把A求出來，那是有小數(shù)的，不好算。

生：用打包法更方便，A×8就是25呀！25×3=75，一下子就算出來了。

師小結：看來可以把“A×8”看成一個標準，快速求出“A×8×3”的積。

教師再次出示題目：A×32=？請學生計算并寫出思考過程。

學生解題后，教師呈現(xiàn)學生作品（如圖3）。

教師引導學生思考并交流：①三種方法有什么相同的地方？②生2作品中的（8×4）是什么意思？“A×8”圈起來又是什么意思？③根據(jù)A×8=25，你還能求哪些算式的積，看誰想得多……

“打包法”以“A×8”的積為參照標準，可求出“A×8×3”與“A×32”的積。學生在解決問題的過程中體會“A×8”與“A×32”的關系。圖中生2的方法是將規(guī)律作為一個結論使用，這其實就是對后續(xù)要學習的乘法結合律的實際應用。學生自主編題求積，是結構化模型的再應用，對促進自身數(shù)學思維的發(fā)展具有重要的意義。

（四）方法遷移，使之“言之有瞻”

在本課學習之后，學生獲得了探索規(guī)律的一般方法和經驗，這為他們后續(xù)的探索和研究提供了學習路徑，使之“言之有瞻”。

1.回顧梳理

師：這堂課我們分幾個步驟研究了積的變化規(guī)律？

2.追問

師：研究積的變化規(guī)律后，你還想研究什么？

借問題給學生提供研究方向：①兩個因數(shù)同時變化時，積會怎么變？②兩個因數(shù)發(fā)生怎樣的變化，積不變？引導學生選一個問題課后進行探究。

學生由本節(jié)課研究的“積的變化規(guī)律”聯(lián)想到“如果兩個因數(shù)同時變化，積會怎么變”以及根據(jù)“積的不變規(guī)律”聯(lián)想到“商的變或不變規(guī)律”等。本課探索規(guī)律的研究路徑，為學生后續(xù)的規(guī)律探索提供了方法上的支持。這些活動經驗與數(shù)學思考將支持學生的長久發(fā)展。

三、教學實踐啟示

選擇合適的素材，創(chuàng)設有價值的活動，讓學生經歷自主得出結論的過程，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，促進其核心素養(yǎng)的提升。要達到此目的，教學時，教師需要做好以下三件事情。

（一）給足學生參與的時空

學生要自己得出有價值的結論，需要經過積極深入的思考和鉆研，經歷觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納等學習過程。因此要給學生提供充足的時間，并為學生提供獨立思考的機會，讓他們先嘗試記錄想法，再與同伴充分地討論、交流，經過比較、辨析，讓大多數(shù)學生都能完整經歷過程，深入思考結論。

（二）允許學生有試錯的機會

數(shù)學學習是知識不斷擴充、能力不斷發(fā)展的過程，糾錯也是數(shù)學學習的必要途徑。教師應允許學生有試錯的機會，可以經常使用“寫下你發(fā)現(xiàn)的結論”這樣的方式讓學生嘗試有深度的思考。同時，教師不要立即對學生的結論給出評價，而要通過學生間的交流、討論，讓他們嘗試自己發(fā)現(xiàn)問題，從而得出正確的結論。

（三）提供人人有話說的素材

教師在挑選教學素材時，需考慮學生的不同水平層次，設計讓人人都有話說的素材。如本課中“已知A×8=200，求A×8×3=？”學生都能求解，但解題方法未必相同;“A×8=25，A×32=？”學生得到的答案是相同的，但他們記錄的思考過程及方式卻不一定相同。這些都是讓人人有話說的好素材。

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（浙江省溫州市永嘉縣甌北中心小學? ?325102）