◎王菁菁 湯 強(qiáng)

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000)

一、問題提出

2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.換而言之，便是要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出有價(jià)值的問題，通過提問促進(jìn)思考，通過思考促進(jìn)理解，通過理解加深應(yīng)用.在“知網(wǎng)”查詢與學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出有關(guān)的期刊、文獻(xiàn)和碩士論文，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力直接影響其對數(shù)學(xué)知識的理解以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，最終影響數(shù)學(xué)知識的掌握和運(yùn)用.

將現(xiàn)有研究進(jìn)行總結(jié)，往往涉及以下四個(gè)方面：第一，注重從學(xué)生自身出發(fā)，找到影響學(xué)生問題提出能力的因素，再提出相應(yīng)的策略，比如，向興等學(xué)者便通過調(diào)查問卷研究非智力因素對學(xué)生問題提出能力的影響[1]，安徽師大丁亞元從元認(rèn)知訓(xùn)練入手進(jìn)行實(shí)證研究[2]，有的學(xué)者研究創(chuàng)造性人格對問題提出能力的影響，邏輯推理能力和問題提出能力的關(guān)系，逆向思維對問題提出能力的影響等.第二，從數(shù)學(xué)問題提出和解決之間的關(guān)系入手.第三，從問題提出能力的評價(jià)體系入手.洪清玉等學(xué)者將測評模型分為三部分內(nèi)容，分別是問題的本質(zhì)特征、問題的數(shù)學(xué)特征、問題的語言特征，具有一定的靈活性和操作性[3].第四，從培養(yǎng)策略入手，通過具體的教學(xué)方式或者教學(xué)環(huán)節(jié)，如問題—情境研究，翻轉(zhuǎn)課堂等.

通過上述整理分析我們知道，學(xué)生問題提出能力的發(fā)展除了依靠個(gè)人外，還十分依賴教師的引導(dǎo)，教師的教學(xué)會(huì)潛移默化地對學(xué)生思維和能力產(chǎn)生影響.因此，本文立足于高中教學(xué)內(nèi)容：等比數(shù)列，從以下幾個(gè)角度提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的策略以及有關(guān)的建議，希望教師在培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的時(shí)候，有方向可尋.

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的策略

在教學(xué)過程中,如何選擇合適的方式或者策略引導(dǎo)學(xué)生提出問題，將直接影響學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)方向，因此，教師在備課時(shí)，要仔細(xì)研究課標(biāo)、教材，提前準(zhǔn)備好相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重預(yù)設(shè)性和生成性，仔細(xì)研究與打磨每個(gè)提問環(huán)節(jié).在教學(xué)的引入環(huán)節(jié)要借助情境，但不能僅依靠情境，不能為了情境而創(chuàng)設(shè)假情境；在形成概念的環(huán)節(jié)，要通過問題鏈，一步步誘導(dǎo)學(xué)生得出概念，并對初步形成的概念提出疑問，進(jìn)而完善概念；在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，要立足基礎(chǔ)知識和基本技能，引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行變式；在教學(xué)反思中，要在現(xiàn)有基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)教學(xué)方式，不斷完善提問方式.另外，在教學(xué)的整個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要注重師生平等交流，使學(xué)生不害怕犯錯(cuò)，不擔(dān)心提出的問題被忽略，進(jìn)而合理地把控教學(xué)進(jìn)度.

1.培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的“源泉”：創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境

雖然數(shù)學(xué)源于生活，但在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，已經(jīng)舍去了非本質(zhì)屬性，保留了其本質(zhì)屬性.[4]因此，不少學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到害怕.弗賴登塔爾曾說過：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí).”數(shù)學(xué)教學(xué)要注重兩個(gè)現(xiàn)實(shí)，分別是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).創(chuàng)設(shè)合適的問題情境不僅可以建立兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，而且可以激發(fā)學(xué)生的問題意識[5].

在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”一課中，教師創(chuàng)設(shè)如下情境：象棋發(fā)明者在第1個(gè)格子上放1枚麥粒，在第2個(gè)格子上放2枚麥粒，在第3個(gè)格子上放4枚麥粒，以此類推……[6]教材中將64個(gè)格子上放的麥?？倲?shù)和國王現(xiàn)有的總麥粒數(shù)進(jìn)行對比，體現(xiàn)數(shù)字的龐大.其實(shí)，類似于這種指數(shù)增長模型，學(xué)生在必修1的學(xué)習(xí)中已經(jīng)深有體會(huì)，教材將問題直接拋出來，雖然引出了本節(jié)課的課題，卻忽略了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.因此，教師在本節(jié)內(nèi)容情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，可以這樣設(shè)計(jì)：在第1個(gè)格子上放1枚麥粒，在第2個(gè)格子上放2枚麥粒，在第3個(gè)格子上放4枚麥粒，以此類推……[5]你能提出什么問題？你能夠解決嗎？有的學(xué)生可能想到：第8個(gè)格子上有多少枚麥粒？有的學(xué)生可能想到：第50個(gè)格子上總共有多少枚麥粒？對于第一個(gè)問題，可以通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，這有利于鞏固上節(jié)課所學(xué)的知識.對于第二個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，并動(dòng)手操作，找出項(xiàng)與項(xiàng)之間的聯(lián)系，從而引入本節(jié)課的課題.學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，再將該問題解決，不僅能夠體會(huì)成功的快樂，還能喚醒學(xué)生的問題意識.

2.培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的“前提”：教師有問題意識，注重提問深度和廣度

學(xué)生的能力和思維的發(fā)展主要是在學(xué)校進(jìn)行培養(yǎng)的，尤其是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力.因此要培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力，教師就要有問題意識，意識到問題提出的重要性，并要了解學(xué)生的認(rèn)知水平，將教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，多想想：該方法如何讓學(xué)生想到？如何讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”？學(xué)生能夠提出哪些問題？這些問題之間有何聯(lián)系？需要哪些知識和方法才能解決？如何進(jìn)行引導(dǎo)從而體現(xiàn)本節(jié)課的重點(diǎn)，突破難點(diǎn)？

在“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”一課中，學(xué)生在求解自己提出的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如：第8個(gè)格子上有多少枚麥粒？該問題可以通過一步一步計(jì)算解決，但對于問題：第50個(gè)格子上有多少枚麥粒時(shí)，如果一步一步計(jì)算，可見計(jì)算量之大，S50=1+2+22+23+24+…+250，觀察式子中每項(xiàng)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)依次相差了一個(gè)公比2，從而有的學(xué)生會(huì)想到能不能每項(xiàng)都乘2，也就是能不能等式左右兩邊都乘2，從而得到這種具體的等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法：

S50=1+2+22+23+24+…+250，

2S50=2+22+23+24+…+250+251，

(1-2)S50=1-251，

S50=251-1.

教師提問：這種方法具有一般性嗎？對于一般的等比數(shù)列該如何求解？等式左右兩邊乘q的實(shí)質(zhì)是什么？可以乘q2或者q3嗎？還有其他方法嗎？通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考錯(cuò)位相減法的本質(zhì)，使其體會(huì)數(shù)學(xué)中的簡潔美.問題串的提出可以促進(jìn)學(xué)生思考，給學(xué)生提供思考的方向，但也對教師提出了高要求，即要提出具有層次性，具有深度和內(nèi)涵的數(shù)學(xué)問題，因此，教師必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)專業(yè)知識和數(shù)學(xué)教學(xué)教法的學(xué)習(xí).

3.培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的“手段”：提倡變式教學(xué)，注重一題多解

改變原問題的條件或者結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，不僅有利于學(xué)生掌握知識，而且有利于開拓學(xué)生的思維.一題多解的過程可以使學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行考慮，避免思維定式，有利于發(fā)展思維的發(fā)散性，同時(shí)，學(xué)生還需要思考：有沒有其他解法？哪種方法更簡便？哪種方法更具有一般性?如果改變問題的條件，該結(jié)論成立嗎？

在“等比數(shù)列前n項(xiàng)公式”一課中有這樣一道課后習(xí)題：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

通過常規(guī)思路，學(xué)生會(huì)想到：

①當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1(不符合題意，舍去)；

化簡可得2q6=1+q3，兩邊同乘a1q，可得a2,a8,a5為等差數(shù)列.

教師將這道題進(jìn)行變式：

變式1：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a1,a7,a4成等差數(shù)列.

變式2：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a3,a9,a6成等差數(shù)列.

教師提問：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你還能提出什么問題？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這道題的本質(zhì)是S3,S9,S6成等差數(shù)列，即2q6=q3+1，在這個(gè)基礎(chǔ)上，左右兩邊同乘，首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，該結(jié)論是成立的.學(xué)生由此提出如下變式問題：

變式3：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4,S10,S7成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

變式4：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5,S11,S8成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

通過以上兩個(gè)改變問題條件的變式，可以再次發(fā)現(xiàn)a2,a8,a5成等差數(shù)列的本質(zhì)是2q6=q3+1，在此基礎(chǔ)上同乘某個(gè)相同的數(shù)，轉(zhuǎn)換到下角標(biāo)，也就是對于任意的Sn,am，只要n-m的值對應(yīng)相等，該變式就是成立的.

教師提問：“能否繼續(xù)推廣呢？”

變式5：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sk,Sm,Sn成等差數(shù)列，求證ak+1,am+1,an+1成等差數(shù)列.

通過以上五個(gè)變式，學(xué)生能在教師的帶領(lǐng)下，自己提出問題，從而領(lǐng)悟問題的實(shí)質(zhì)，這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識，而且提高了學(xué)生問題提出的能力，還為學(xué)生提供了思考的方向，以變式教學(xué)或者一題多解為基礎(chǔ)，給學(xué)生提供思考的方向，使學(xué)生在遇到相應(yīng)的題目時(shí)，知道從哪些角度提出問題，進(jìn)而打破固有思維，鍛煉數(shù)學(xué)思維.

4.培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的“保障”：注重四基的教學(xué)，改進(jìn)教學(xué)方法.

四基指的是基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).[7]學(xué)生數(shù)學(xué)問題的提出要建立在自己已有知識基礎(chǔ)上，將新舊知識進(jìn)行對比，找到自己思維的困惑點(diǎn)，從而提出相應(yīng)的問題.因此，教師要打牢學(xué)生的基礎(chǔ)知識，鍛煉其相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能.在教學(xué)或者習(xí)題的練習(xí)中，教師要深入挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想及方法，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程.試想：如果學(xué)生連等比數(shù)列的概念中的公比、通項(xiàng)公式an=a1qn-1都不能理解，又怎么能靈活地運(yùn)用通項(xiàng)公式進(jìn)行解題呢？只有基礎(chǔ)扎實(shí)，學(xué)生在提出問題的時(shí)候才能有思路、想法，才敢于質(zhì)疑，也才有提出問題的自信心.因此，教師在教學(xué)時(shí)，要不斷改進(jìn)教學(xué)方法，牢牢把握教學(xué)的重點(diǎn)，突破教學(xué)的難點(diǎn)，不可過多提供難題和怪題，并要注重教學(xué)方法多樣化，根據(jù)不同的課型、不同的數(shù)學(xué)知識，采取不同的教學(xué)方法.另外，教師要根據(jù)學(xué)生的已有知識水平和最近發(fā)展區(qū)，對不同層次的學(xué)生提出不同的要求.[8]

5.培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力的“溫床”：營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，注重師生交流.

教學(xué)是教師教和學(xué)生學(xué)的過程，是雙邊互動(dòng)的過程，教師不是權(quán)威者，而是學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助者和引導(dǎo)者.胡典順教授曾說：“現(xiàn)在教學(xué)往往是教師的獨(dú)白，教師進(jìn)行的是個(gè)人表演，課堂上聽不到學(xué)生的聲音[9].”如果師生連交流的機(jī)會(huì)都沒有，那么學(xué)生又怎么能夠提出數(shù)學(xué)問題呢？只有在師生平等的基礎(chǔ)上，學(xué)生才能心平氣和地和教師交流，闡述自身的觀點(diǎn)，教師也不一竿子打死，要留給學(xué)生思考的余地.在“等比數(shù)列的概念”的教學(xué)中，學(xué)生可能會(huì)提出這樣的問題：為什么要求后一項(xiàng)和每一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)？為什么要討論q=1這種情況呢？面對課堂上無法解決的問題，教師不可認(rèn)為是學(xué)生想太多或者異想天開，要讓學(xué)生把注意力集中到數(shù)學(xué)解題上，如果教師多次否定學(xué)生的提問思路，那么學(xué)生還能勇敢地提出問題嗎？因此，教師要在完成教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，多肯定學(xué)生的提問，多鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，盡可能和學(xué)生一起解決問題.

三、教學(xué)建議

基于以上研究內(nèi)容，為了能夠更好地培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力，從教師和學(xué)生的角度提出了以下建議，可供思考.

1.教師角度

1.1 要多鼓勵(lì)學(xué)生，使學(xué)生敢問

在教學(xué)過程中，教師在傳授知識的同時(shí)要避免一言堂，避免牽著學(xué)生的鼻子走，要留給學(xué)生足夠的空間，營造民主、平等的氛圍.并且，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生，拉近與學(xué)生之間的距離，使學(xué)生感到教師值得信賴，即使自己提出的問題很幼稚，很可笑，也不會(huì)受到教師的批評，可以放心大膽地提問.若學(xué)生的整個(gè)情緒處于放松狀態(tài)，則會(huì)集中注意力聽課，進(jìn)而跟上教師的思維進(jìn)度.

1.2 注重?cái)?shù)學(xué)語言符號，幫助學(xué)生有效選擇思考方向

數(shù)學(xué)往往以其抽象性和形式化聞名，有些學(xué)生在其他課堂上比如英語或者語文能夠提問，可上數(shù)學(xué)課卻變得十分安靜，在和這部分學(xué)生交流的過程中，學(xué)生說的最多的話便是：我也想提問，但我不知道該怎么提問，有時(shí)候我連題目都讀不懂.所以，教師在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中，要多分析數(shù)學(xué)語言和符號，注重抽象與具體的轉(zhuǎn)化，多引導(dǎo)學(xué)生得出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的知識和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.對于學(xué)困生，教師要組織作業(yè)互幫小組，使其在互幫過程中，能夠更好地融入其中，進(jìn)而掌握知識.

1.3 要及時(shí)反饋，使學(xué)生獲得自我效能感

教師對學(xué)生提出的每個(gè)有意義的問題，都要及時(shí)地進(jìn)行反饋，不可打擊學(xué)生的自信心.學(xué)生在提問的過程中，教師可通過語言、動(dòng)作、表情傳遞給學(xué)生一種親切的情感信息.從影響學(xué)生問題提出能力的因素中，自我效能感、學(xué)習(xí)興趣、情緒等非智力因素與問題提出能力之間呈正相關(guān)，因此，在教師每次積極的反饋中，學(xué)生可以獲得完成數(shù)學(xué)任務(wù)的信心，即使有的問題超過教師能夠解答的范圍，教師也不應(yīng)該感到難堪，而要因勢利導(dǎo)，創(chuàng)造條件，課后和學(xué)生一起對問題進(jìn)行探究.

2.學(xué)生角度

2.1 要有鉆研精神，有提問意識

數(shù)學(xué)的抽象性使得部分學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥乏味，沒有學(xué)習(xí)興趣，也就談不上提出問題，但通過調(diào)查與研究，我們發(fā)現(xiàn)只要投入其中，認(rèn)真思考每一個(gè)解答步驟，對不懂的、有疑問的環(huán)節(jié)進(jìn)行提問，便能解決問題，進(jìn)而充分獲得成功的喜悅，這種喜悅感是任何東西都無法替代的.因此，在學(xué)習(xí)的過程中，如果遇到瓶頸，別擔(dān)心，繼續(xù)鉆研下去，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，提出自己的問題.

2.2 能夠獨(dú)立思考，有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

在學(xué)習(xí)的過程中，部分學(xué)生看起來很認(rèn)真，也喜歡提問，但成績依然不見起色.究其原因，有兩點(diǎn)：第一，提的問題無意義，沒有從數(shù)學(xué)知識或者思想方法入手，只是浮于表面.第二，沒有進(jìn)行獨(dú)立思考，總想著依靠其他同學(xué)幫忙解決，導(dǎo)致在遇到同類型的問題時(shí)，依舊無法解決.因此，要對自身嚴(yán)格要求，先獨(dú)立思考，再提出與數(shù)學(xué)知識或者方法有關(guān)的問題.

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的培養(yǎng)不是在一節(jié)課上就可以完成的，而是貫串整個(gè)教學(xué)過程.學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的能力不是單方面依賴于教師，而是依賴于本人，學(xué)生只有自己想學(xué)，自己有問題的意識，才能更多地提出問題.但是教師在學(xué)生數(shù)學(xué)問題提問的過程中起著關(guān)鍵性的作用，因此，教師要改變自身的教學(xué)觀念，注重師生對話，樹立良好的學(xué)生觀和數(shù)學(xué)教育觀，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有一定的模仿性，他們會(huì)模仿教師的提問技巧、提問方法等，因此，在教學(xué)過程中，教師要在創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境的基礎(chǔ)上，以自身為代表提出多樣性的數(shù)學(xué)問題，注重變式教學(xué)和一題多解，牢牢把握四基教學(xué)，深入挖掘數(shù)學(xué)思想方法，不斷提高自身知識底蘊(yùn)和教學(xué)技能.