等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用

宋國強(qiáng)

【摘要】針對等差數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用，等比數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用兩個方面進(jìn)行分析，在簡單分析概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出一些相關(guān)教學(xué)建議，以期能夠不斷提升等比數(shù)列與等差數(shù)列教學(xué)的質(zhì)量，保證各項(xiàng)數(shù)學(xué)知識教學(xué)的效果。

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì)運(yùn)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）21-0110-02

等差數(shù)列與等比數(shù)列是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要課程內(nèi)容之一，對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)與學(xué)生數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力的提升能夠產(chǎn)生重要的影響。在課堂教學(xué)活動中，教師可以通過多樣化的課堂教學(xué)方式為學(xué)生進(jìn)行等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識引導(dǎo)，提升學(xué)生各項(xiàng)數(shù)學(xué)知識的掌握能力，保證課堂教學(xué)的質(zhì)量。文章將基于等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分析，提出一些相關(guān)教學(xué)建議，希望能夠?qū)Ω黜?xiàng)知識與技能的指導(dǎo)帶來一定的借鑒意義。

一、等差數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用分析

如果從一個數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與其前面的差，等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列則可以稱之為等差數(shù)列，這個常數(shù)則可以稱之為等差數(shù)列的公差，可以采用d予以表示[1]。等差數(shù)列是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，學(xué)生的等差數(shù)列通項(xiàng)公式掌握情況能夠直接影響學(xué)生的知識學(xué)習(xí)質(zhì)量，加強(qiáng)對等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)用策略研究十分必要。

等差數(shù)據(jù)教學(xué)活動中，教師需要明確課堂教學(xué)的思維，在詳細(xì)講解數(shù)列的定義基礎(chǔ)上，通過數(shù)列與自然集的關(guān)系、通項(xiàng)公式的推理方式等等流程，為學(xué)生循序漸進(jìn)的指導(dǎo)等差數(shù)列相關(guān)知識與內(nèi)容（詳見圖1）。

以“等差數(shù)列{an}中，a1+3a8+a15=120，則2a9-a10的值為（）”題為例，由于a1+3a8+a15=120，故而a8為24。所以2a9-a10=a10+a8-a10為24。

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a（n）=a（1）+（n-1）×d，n為項(xiàng)數(shù)?；谕?xiàng)公式可以看出，a（n）是n的一次函數(shù)（d≠0）或常數(shù)函數(shù)（d=0），如果（n，an）處于同一條直線上，那么S（n）是n的二次函數(shù)（d≠0）或一次函數(shù)（d=0，a1≠0），且常數(shù)項(xiàng)為0。結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的內(nèi)涵可以得出，前n項(xiàng)公式還可以推出a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1）等公式。在課堂教學(xué)活動中，教師可以采用小組討論的方式，在為學(xué)生介紹完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生結(jié)合定義進(jìn)行小組合作研究，通過等差數(shù)列的公式等深入研究能夠根據(jù)通項(xiàng)公式或者是定義推導(dǎo)出其他的可能性。

在學(xué)生小組合作討論的過程中，教師需要走到學(xué)生身邊給與學(xué)生適當(dāng)?shù)乃季S引導(dǎo)，在小組合作的教學(xué)方式下發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性與創(chuàng)造性，發(fā)現(xiàn)更多的可能性[2]。適當(dāng)減少教師在課堂教學(xué)中的話語量，能夠增加學(xué)生的課堂話語量，真正展現(xiàn)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的主體地位。

二、等比數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用分析

等比數(shù)列是從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)和它前一項(xiàng)的比與同一個常數(shù)相等，那么這個數(shù)列則可以稱之為等比數(shù)列[3]。這個常數(shù)，也可以作為等比數(shù)列的公比，則可以采用q來表達(dá)，即為當(dāng)q=1的時候，an是常數(shù)列。

等比數(shù)列通項(xiàng)公式中，如果變形為an=a1/q*q^n（n∈N*），在q大于0的時候，則可以將an作為自變量n的函數(shù)，那么（n，an）則可以看做曲線y=a1/q*q^x中一項(xiàng)孤獨(dú)存在的點(diǎn)。

在教學(xué)實(shí)踐研究中，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an=a1×q^（n-1）【（a1≠0，q≠0）】。結(jié)合求和公式：Sn=na1（q=1）能夠得出等比數(shù)列中各項(xiàng)之間的關(guān)系。性質(zhì)：數(shù)列{an}公差為a1等差數(shù)列的充分條件為an=，（n≥2）。

證明的過程中，可以首先證明必要性，這個時候的前n項(xiàng)公式和為Sn=a1，根據(jù)公差可以得出（n+1）Sn-1=（n-1）Sn，可以看出n大于等于2的時候，可以將帶入上式綜合分析得出Sn=a1，這是之前已經(jīng)得出的前n項(xiàng)公式和，必要性能夠得到論證。通過實(shí)踐研究的方式能夠明確等比數(shù)列公式的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納的原則，可以得出{an}是公式為a1的等差數(shù)列。

教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)完成等比數(shù)列的性質(zhì)之后，可以通過適當(dāng)問題的方式，為學(xué)生布置實(shí)踐探究任務(wù)。教師可以結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析，提出一些相關(guān)案例：

比如等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-1，前n項(xiàng)和為Sn，若S10/S5=31/32，則公比q為（）。在這道問題中，因?yàn)镾10/S5=31/32，a1=-1.可以得出公比q≠1，故而S10-S5/S5=-32/1，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)能夠得出，S5，S10-S5，S15-S10成比數(shù)列，且公比為q5，故而得出q5=-32/1，q=-2/1。答案為-2/1。

以2012年北京高考數(shù)學(xué)題為例，已知{an}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）

這一道習(xí)題考察的是學(xué)生的等比數(shù)列性質(zhì)掌握情況，屬于探究型習(xí)題，在課堂教學(xué)活動中，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行綜合分析，為學(xué)生布置學(xué)習(xí)的任務(wù)。學(xué)生可以通過自主探究或者與其他學(xué)生進(jìn)行討論的方式解答問題。

在a1+a3=+a2q，同時在a2，q同在正時，a1+a3≥2a2成立，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，能夠根據(jù)正負(fù)q的符號而明確答案。設(shè)等比數(shù)列公比為q，那么則可以結(jié)合公式求得結(jié)果，答案最后選擇B。學(xué)生需要在明確掌握等比數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)上，深入分析各個選項(xiàng)的可行性，得出最后的答案。在任務(wù)輸出的過程中，如果學(xué)生存在一定的疑慮，教師則可以結(jié)合學(xué)生的問題，給與適當(dāng)?shù)乃季S引導(dǎo)，比如教師可以通過“當(dāng)且僅當(dāng)a2，q同為正時，a1+a3≥2a2是否成立？”等話語，啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生能夠明確邏輯思維的方式，通過等比數(shù)列的公比與等比數(shù)列的性質(zhì)解答問題。

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，教師需要明確學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的主體地位，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，關(guān)注學(xué)生綜合知識的掌握情況。

三、結(jié)束語

等差數(shù)列與等比數(shù)列均為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，在各類高考數(shù)學(xué)例題中普遍存在。通過等差數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用分析與等比數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用分析，能夠結(jié)合高中學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力與性格特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量，為高中學(xué)生營造一個良好的學(xué)習(xí)與發(fā)展平臺，提升學(xué)生的各項(xiàng)知識掌握能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)知識的深入學(xué)習(xí)與全面發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張秀萍.從函數(shù)角度來進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)列和利用函數(shù)解決數(shù)列問題[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2011，S1（23）：134-136