姚 俊，白書華

（南昌理工學院電子與信息學院，江西 南昌 330044）

1 引言

液壓驅(qū)動下的六自由度Stewart平臺具有承載力強、精度較高等優(yōu)點，已被人們應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中的隔振處理。雖然液壓執(zhí)行機構(gòu)具有簡單可控、可靠性高以及效率高等特點，且其被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)制造中。但目前液壓執(zhí)行器控制系統(tǒng)的開發(fā)仍然是一個具有挑戰(zhàn)性和吸引力的研究領(lǐng)域。控制系統(tǒng)必須克服由于液壓流體的可壓縮性和伺服閥的復雜特性引起的系統(tǒng)非線性問題。液壓執(zhí)行器控制不當，必然將導致Stewart平臺的隔振效果不佳[1]。

為了實現(xiàn)對Stewart平臺進行較好的控制，專家學者們進行了大量的研究。如文獻[2]中開發(fā)了一種振動隔離系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過六足結(jié)構(gòu)使用混合隔離支柱。為了提高低頻振動隔離性能，采用了主動隔振的方式。又如文獻[3]采用頻響函數(shù)綜合法建立了Stewart平臺的動力學模型。在主動控制回路中，將綜合力的直接反饋與基于fxlms的自適應(yīng)反饋相結(jié)合，以抑制固有模態(tài)的振動，抑制周期振動的傳遞。文獻[4]對模糊控制器在Stewart平臺振動主動控制中的應(yīng)用進行了研究，通過仿真評估壓電疊層驅(qū)動器的控制權(quán)限，以有效控制Stewart平臺的振動。如文獻[5]中研究了一種基于三次Stewart平臺的壓電作動器隔振系統(tǒng)，分別用被動、單級交流分別建立了6自由度系統(tǒng)的模型，通過前饋反饋的雙級復合控制方法進行單腿控制，以使得隔振系統(tǒng)具有較好的隔振性能。雖然這些方法能夠?qū)tewart平臺進行較好的控制，但這些方法依賴于過程模型，使得其通用性較差，穩(wěn)定性不理想。對此，設(shè)計了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定PID控制算法，利用自整定增益調(diào)度方法，通過學習復雜的6自由度Stewart平臺的動力學，對PID加權(quán)值Kp、Ki、Kd進行自整定，從而實現(xiàn)對Stewart平臺的控制。利用MATLAB軟件對Stewart平臺的控制效果及隔振效果進行了實驗驗證。

2 Stewart平臺動力學建模

通過三個位移和三個旋轉(zhuǎn)自由度組成的六自由度Stewart平臺［6］，如圖1所示。

圖1 六自由度Stewart平臺示意圖Fig.1 Sketch of 6-DOF Stewart Platform

圖中：坐標系O—慣性坐標系；局部坐標系B和P分別位于上下平臺的中心。圖中顯示了固定在滑動和圓柱形連桿中的局部框架的原點，所有矢量都以固定坐標系表示。li（i=1，2，3，4，5，6）為鏈環(huán)的矢量，其表述為［7］：

基架B到慣性坐標系O的變換矩陣可表述為：

式中：c—cos計算；s—sin計算；α、β、γ—下平臺的歐拉角，下平臺的角速度與歐拉角之間的關(guān)系可表述為：

在上平臺中，基架P到O的變換矩陣為：

式中：ψ、θ、φ—上平臺的歐拉角。平行框架ci和si固定在第i個連桿的圓柱形部件和滑動部件的質(zhì)心上。

從Stewart平臺的運動學出發(fā)，其第i個連桿的向量可以表示為：

式中：P（i/p）、b（i/p）、tB—對應(yīng)框架中的向量；Pi、bi、t—慣性坐標系O中的向量。

鏈環(huán)的長度及其對應(yīng)的單位向量分別為：

通過（5）式可得，bij和pik的速度及加速度的絕對矢量分別為：

式中：ωb、ωp—上、下平臺的角速度。

由此可得各鏈環(huán)角加速度為：

圓柱和連桿滑動部分質(zhì)心的速度和加速度為：

式中：矩陣E—3×3階的單位矩陣。

利用該系統(tǒng)的運動學原理，可以實現(xiàn)連桿機構(gòu)的速度和角速度的驅(qū)動。在此，將上平臺的六個自由度q視為動力學方程的廣義坐標：

上平臺的速度和部分角速度為：

式中：下標j=1，2，3，4，5，6—六個坐標。一個獨立連桿的角速度可以表示為：

連桿滑動部分的速度為：

圓柱和連桿滑動部分的速度為：

令執(zhí)行機構(gòu)驅(qū)動的軸向力為Fi，則總的主動力及總慣性力可分別表述為：

式中：m—上平臺和有效載荷的總質(zhì)量；msi—滑動部分的質(zhì)量；mci—代表圓柱部分的質(zhì)量；g—系統(tǒng)的重力矢量。根據(jù)Kane方程可得：

將式（12）～式（15）帶入到式（18）中可得具有基本激勵的Stewart平臺的動力學模型為：

式中：M—上平臺的慣性矩陣—上平臺的加速度向量；ηp—上平臺的向心力；Mb—下平臺的慣性矩陣—下平臺的加速度向量；ηb—下平臺的向心力；Jp—雅克比矩陣；F—個驅(qū)動器的驅(qū)動力向量。

3 非線性控制器設(shè)計

為了抑制不確定基頻激勵下的Stewart平臺振動，在此設(shè)計了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定的PID（NN-PID）非線性控制器?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制器具有簡單、高效的特點，是一種常用的控制技術(shù)，在復雜非線性系統(tǒng)的控制中具有更高的穩(wěn)定性和效率。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)設(shè)計中，采用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對常用的PID控制器進行了整定。與以往的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器相比，該控制算法具有結(jié)構(gòu)簡單、計算時間短、控制魯棒性強等特點。

所設(shè)計的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定的PID框圖，如圖2所示。

圖2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定的PID控制器框圖Fig.2 Block Diagram of PID Controller Based on Neural Network Self-tuning

圖2中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增益K、Kp、Ki、Kd分別為自調(diào)度增益、比例增益、積分增益和微分增益，ep、ei、ed分別為上平臺期望輸出值和實際輸出值之間的系統(tǒng)誤差值、系統(tǒng)誤差積分值和系統(tǒng)誤差差值。從圖2可見，應(yīng)用于液壓伺服閥的控制輸入信號u（k）可表述為［9］：

式中：x—雙曲正切函數(shù)f（-）的輸入值，K及Bh—輸入層和隱藏層的偏差加權(quán)值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過反向傳播算法進行訓練，以使得上平臺期望輸出值，和實際輸出值之間的系統(tǒng)誤差值最小化。

雙曲正切函數(shù)f(-)的輸入信號可表述為：

式中：ep、ei、ed的表述分別為：

式中：ΔT—采樣時間；yref（k）—上平臺期望輸出值；y（k）—實際輸出值；Bi、Kp、Ki、Kd—輸入層的加權(quán)值，Bh、K—隱藏層加權(quán)值。K、Kp、Ki、Kd的自整定調(diào)節(jié)值計算過程為［10-11］：

偏差加權(quán)值Bh和Bi的更新過程為：

式中：η、ηi、ηBi、ηp、ηBh—更新加權(quán)值收斂速度的學習速率值。

4 實驗結(jié)果

表1 主要系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Main System Parameters

圖3 Stewart實驗平臺Fig.3 Stewart Experimental Platform

4.1 振動方向控制仿真

利用幅值為0.4mm，周期為2S的方波信號作為Z方向上的基礎(chǔ)激勵信號。采用所設(shè)計的NN-PID方法及PID方法對Stewart平臺在Z向、X向以及Y向的平動振動情況進行控制，控制結(jié)果，如圖4所示。

圖4 Stewart平臺Z向、X向、Y向平動控制結(jié)果Fig.4 Stewart Platform Z-Direction，X-Direction and Y-Direction Translational Control Results

不同方法對Z向平動的控制結(jié)果，如圖4（a）、圖4（b）所示。通過對比圖4（a）和圖4（b）可見，圖4（a）中的控制結(jié)果中存在較大的振幅，在激勵信號的變化處，圖4（a）中的控制結(jié)果比圖4（b）中的控制結(jié)果，振動更為劇烈，而且振動幅度更大，調(diào)節(jié)到平穩(wěn)的時間更長。圖4（c）和圖4（d）為不同方法對X向平動的控制結(jié)果，通過觀察不同方法對X向平動的控制結(jié)果發(fā)現(xiàn)，PID方法的控制結(jié)果中，振動次數(shù)較多，而且振動幅度較大，NN-PID方法的控制結(jié)果中，僅存在2次振動幅度較大的振動，而且整個控制過程相對較為平穩(wěn)。不同方法對Y向平動的控制結(jié)果，如圖4（e）、圖4（f）所示，將圖4（e）和圖4（f）所示的控制結(jié)果進行比較可見，圖4（f）所示的控制結(jié)果中，幾乎不存在較大幅度的振動，控制過程較為平穩(wěn)。圖4（e）所示的控制結(jié)果中，存在3次幅度較大的振動，而且控制過程振動次數(shù)較多。說明，所設(shè)計的NN-PID方法對Stewart平臺具有較好的隔振效果，有助于控制Stewart平臺進行較為平穩(wěn)的工作。

4.2 液壓執(zhí)行器驅(qū)動力仿真

為了更進一步的觀察PID方法及NN-PID方法對Stewart平臺液壓執(zhí)行器驅(qū)動力的控制效果，在此對不同方法對液壓執(zhí)行器1至液壓執(zhí)行器3驅(qū)動力的控制結(jié)果進行測試，結(jié)果如圖5所示。

圖5 Stewart平臺液壓執(zhí)行器的控制結(jié)果Fig.5 Control Results of Hydraulic Actuator of Stewart Platform

從圖5可見，雖然每個執(zhí)行器的驅(qū)動力大小是合理的，不會導致液壓執(zhí)行器飽和。但將PID方法對液壓執(zhí)行器驅(qū)動力的控制結(jié)果，與NN-PID方法對液壓執(zhí)行器驅(qū)動力的控制結(jié)果進行對比發(fā)現(xiàn)，PID方法對液壓執(zhí)行器驅(qū)動力的控制結(jié)果中存在的波動次數(shù)較多，而且波動的幅度較大。而NN-PID方法對液壓執(zhí)行器驅(qū)動力的控制結(jié)果中雖然也存在波動，但相對波動較少，幅度較小。由此可見，所設(shè)計的NN-PID方法能夠?qū)σ簤候?qū)動的Stewart平臺進行較為穩(wěn)定的控制，抑制了Stewart平臺的振動。

4.3 實驗平臺測試

為了驗證仿真結(jié)果與實驗平臺實測結(jié)果的吻合性，以及所提NN-PID的有效性。在此將利用NN-PID方法對圖3所示的Stewart實驗平臺在X向的平動振動情況進行控制，控制結(jié)果，如圖6所示。

圖6 NN-PID方法對X向平動實測控制結(jié)果Fig.6 NN-PID Method for X-Direction Translational Control

將圖6所示的NN-PID方法對X向平動實測控制結(jié)果，與圖4（d）中NN-PID方法對X向平動仿真控制結(jié)果進行對比可見，圖6與圖4（d）中幅度較大振動的發(fā)生時間和發(fā)生次數(shù)一致，其余觀察時間內(nèi)產(chǎn)生的振動情況也基本一樣，說明仿真控制結(jié)果和實測控制結(jié)果基本吻合。表明所設(shè)計NN-PID方法能夠?qū)tewart平臺的振動進行有效的控制。

5 結(jié)論

這里研究了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定PID的六自由度液壓驅(qū)動Stewart平臺的有效控制器。建立了具有基本激勵的Stewart平臺的動力學模型。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對PID的增益參數(shù)進行調(diào)整，形成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自整定PID控制器（NN-PID）。將所提出的NNPID用于Stewart平臺進行仿真和實測實驗，通過仿真實驗結(jié)果顯示，NN-PID相比于傳統(tǒng)的PID控制響應(yīng)更快，超調(diào)量較小，適應(yīng)性和魯棒性更強。實驗結(jié)果與仿真結(jié)果接近，說明了仿真結(jié)果的有效性。因此，所設(shè)計的NN-PID控制器對抑制Stewart平臺的振動具有良好的效果，有助于Stewart平臺進行平穩(wěn)的工作。