超高速磁懸浮列車閉塞分區(qū)設計與優(yōu)化模型

馬 琳 ，鄭 勇 ，金成日

（1.北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044；2.中國航天科工飛航技術(shù)研究院，北京 100044）

黨的十九大報告把“交通強國”作為建設科技強國的重要組成部分，指出要瞄準世界科技前沿，實現(xiàn)前瞻性基礎研究、引領原創(chuàng)性成果重大突破［1］.何華武院士提出，低真空管道超高速磁懸浮鐵路是未來軌道交通的發(fā)展方向.中國工程院于2018 年正式啟動《低真空管（隧）道磁懸浮鐵路戰(zhàn)略研究》重大咨詢項目，圍繞我國發(fā)展低真空管道超高速磁懸浮鐵路的戰(zhàn)略需求和定位、針對速度目標值、真空度和合理運距以及常導制式、高溫超導制式、電動制式、低真空管道、車輛裝備、無線通信、運行控制等關鍵技術(shù)開展了方案研究.同期，中國航天科工公司也正式宣布啟動最高時速4 000 km/h“超高速磁浮列車”的低真空管道交通系統(tǒng)研發(fā)項目［2］.低真空管道超高速磁懸浮列車作為一種利用低真空環(huán)境和超聲速外形減小空氣阻力，通過磁懸浮減小摩擦阻力實現(xiàn)超聲速運行的管道運輸系統(tǒng)［3］，它的研制將助力交通強國戰(zhàn)略的實施與推進，對于促進經(jīng)濟社會高質(zhì)量發(fā)展具有重大而深遠的意義.

超高速磁浮列車的運營在效率和服務上具有更高的要求.作為衡量公眾運輸服務滿意度和列車運力資源使用情況的重要指標，超高速磁浮的線路設計能力備受關注.超高速磁浮列車的運行過程主要由車輛、牽引供電系統(tǒng)和列車運行控制系統(tǒng)共同完成，基本運動采用直線電機控制原理，通過供電系統(tǒng)控制供電電能大小，進而控制列車運行，供電系統(tǒng)與列車運行控制系統(tǒng)的關系進一步加強［4］.為了降低供電系統(tǒng)的負載，保證行車安全，超高速磁浮列車一般以供電分區(qū)作為閉塞分區(qū)運行，采用準移動閉塞模式曲線控車方式，每個供電分區(qū)至多只能有一列車運行［5］.因此閉塞（供電）分區(qū)的劃分不僅是線路設計能力的重要影響因素之一，也與牽引供電設備成本密切相關［6］.由于供電分區(qū)的工程造價遠高于輪軌交通閉塞分區(qū)的造價，設計人員期望最小的供電分區(qū)成本獲得最大的能力.因此，閉塞分區(qū)的優(yōu)化設計對指導超高速磁浮列車經(jīng)濟、合理、科學的系統(tǒng)設計及規(guī)劃具有重要意義.

目前有關超高速磁懸浮列車閉塞分區(qū)的合理規(guī)劃問題暫未檢索發(fā)現(xiàn).國內(nèi)外眾多學者主要以城市軌道交通、干線鐵路或中低速磁懸浮為對象展開了閉塞分區(qū)合理劃分的相關研究.文獻［7-9］主要基于公式法建立了有關能力計算的目標函數(shù)，提供了一個初步的區(qū)間閉塞分區(qū)的結(jié)果估計.該方法建立的模型較簡單，未對信號系統(tǒng)進行精確建模.相比于公式法計算列車追蹤間隔時間，文獻［10］認為基于閉塞時間的建模方法可以準確刻畫列車的占用特性，精確計算列車間隔，因其靈活、拓展性強、結(jié)果清晰明確等優(yōu)點，已經(jīng)成為國際上能力計算方法的發(fā)展趨勢.文獻［11］基于閉塞時間壓縮的方法構(gòu)建了中速磁浮列車最小追蹤間隔的單目標函數(shù)，并采用遺傳算法求解，最后得到了滿足列車最小運行間隔的分區(qū)劃分方案.針對多目標優(yōu)化模型的求解，文獻［12-13］通過線性加權(quán)法將兩個目標轉(zhuǎn)換成單目標問題，然后采用相應的智能優(yōu)化算法如粒子群算法、遺傳算法等求解.線性加權(quán)分解法過程簡單便捷，但無法精準確定權(quán)重，解的優(yōu)劣程度難以保證.由于超高速磁懸浮列車的閉塞分區(qū)優(yōu)化設計中不同目標函數(shù)重要性或優(yōu)先級尚不明確，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化思路具有一定的局限性.

為了給決策者提供所有非支配最優(yōu)解和多目標之間的權(quán)衡分析，本文作者提出一種基于閉塞時間窗和極大自動機理論相結(jié)合構(gòu)建能力計算模型的方法.在對線路基礎設施、超高速磁懸浮列車動力學特性及列車超速防護系統(tǒng)（Automatic Train Protection，ATP）建模的基礎上，首先根據(jù)進路屬性、聯(lián)鎖條件和信號系統(tǒng)工作流程，分別對車站和區(qū)間區(qū)域的不同類型分區(qū)進行劃分，建立相應的閉塞時間模型.其次，通過異步仿真輸出基于列車運行計劃的速度-距離、時間-距離曲線；然后，通過調(diào)用閉塞時間模型計算各分區(qū)的閉塞時間，并引入極大自動機理論構(gòu)建能力計算模型計算列車平均發(fā)車間隔.最后，在滿足信號系統(tǒng)設計規(guī)范和相關安全準則的約束條件下，基于能力計算模型構(gòu)建以設計能力最大化和分區(qū)建設成本最小化為目標的多目標優(yōu)化模型，將閉塞分區(qū)合理劃分問題轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，采用非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對問題進行求解，求解效果與基于線性加權(quán)方法的多目標遺傳算法（VEGA）進行對比，通過設計仿真測試案例，評估了該方法及NSGA-Ⅱ算法的可行性和優(yōu)越性.

1 超高速磁懸浮列車能力計算

超高速磁懸浮列車能力計算需要對基礎設施、列車和信號系統(tǒng)等數(shù)據(jù)進行建模.基礎設施采用雙點拓撲結(jié)構(gòu)進行描述，主要包括軌道線路、坡度、曲率、靜態(tài)限速、道岔及車站.列車根據(jù)靜態(tài)參數(shù)如最高速度、編組、列車長度等，以及動態(tài)參數(shù)如牽引性能、制動性能等，建立列車動力學模型.信號系統(tǒng)包括ATP 控車模型、聯(lián)鎖進路以及信號系統(tǒng)相關的處理、反應和延遲時間.

在此基礎上，根據(jù)分區(qū)的定義及劃分原則，建立各類型分區(qū)的閉塞時間模型；然后，通過異步仿真輸出基于列車運行計劃的速度-距離、時間-距離曲線，并計算各分區(qū)的閉塞時間；最后引入極大自動機（Max-plus Automata）理論構(gòu)建能力計算模型.

1.1 閉塞時間模型

分區(qū)是指列車運行時，同一時刻僅允許一列列車占用，具有獨占性的區(qū)段，如區(qū)間的一個閉塞分區(qū)、車站的一個道岔區(qū)段或一個停車股道［14］.根據(jù)文獻［14］提出的分區(qū)劃分原則，建立各類型分區(qū)閉塞時間模型如圖1 所示.

圖1 超高速磁懸浮列車閉塞時間模型Fig.1 Block time model of ultra-high-speed maglev train

結(jié)合超高速磁懸浮列車運行控制系統(tǒng)工作流程，圖1 中各時間參數(shù)的含義如下所示［15］：

1）進路建立時間Ts：接/發(fā)車/股道分區(qū)為中央控制系統(tǒng)排列下一列車的接/發(fā)車進路（包含道岔動作時間），中央控制系統(tǒng)向分區(qū)控制系統(tǒng)發(fā)送進路狀態(tài)的時間；區(qū)間分區(qū)為車地通信設備接收來自分區(qū)控制系統(tǒng)的分區(qū)狀態(tài)信息后，處理信息并發(fā)送給下一列車的時間.

2）反應時間Tr：超高速磁懸浮列車控車模式為列車自動駕駛模式（Automatic Train Operation，ATO），反應時間指列車接收到地車通信設備的實時反饋信息并做出處理的時間.

3）接近時間Ta：區(qū)間/股道/接車分區(qū)為列車車頭從接近點運行至分區(qū)入口點的時間，其中區(qū)間分區(qū)的接近點為列車移動授權(quán)（Movement Authority，MA）首次延伸到分區(qū)入口點時車頭所在的位置，股道/接車分區(qū)的接近點為列車移動授權(quán)MA 首次延伸到接車咽喉區(qū)道岔防護點時車頭所在的位置；發(fā)車分區(qū)為列車從停車點運行至分區(qū)入口點的時間.

4）占用時間To：本車車頭從分區(qū)入口點運行至分區(qū)出口點所需時間.

5）出清時間Tc：列車車頭從分區(qū)出口點運行一個車長所需時間.

6）解鎖時間Tu：分區(qū)控制系統(tǒng)采集分區(qū)出清狀態(tài)并釋放進路的時間.

根據(jù)異步仿真輸出的基于運行計劃的速度-距離曲線和時間-距離曲線，可計算各分區(qū)的閉塞時間組成.

1.2 能力計算模型

能力計算借鑒國際鐵路聯(lián)盟標準（International Union of Railways 406，UIC406）中時刻表壓縮的思想，通過平移鋪畫好的各列車路徑的閉塞時間階梯圖直至兩兩列車達到無沖突運行的最小列車間隔［16］.由于列車路徑在各分區(qū)上形成的閉塞時間窗視為帶有上界和下界的堆模型，能力計算的過程類似堆模型不斷堆積的過程，因此本文引入極大自動機理論建立能力計算模型.

1.2.1 極大自動機理論

極大自動機理論結(jié)合了堆模型和Max-plus 代數(shù)［17］.堆模型可定義為一個五元組C=(P，B，M，S，F(xiàn))，其 中：P為任務集合；B為資源集合；M為的態(tài)射，大小|B|×|B|維的矩陣；S為堆模型的上界集合；F為堆模型的下界集合.Max-plus 代數(shù)由(Rmax，⊕，?)共同組成，其中域Rmax=R∪{-∞}，⊕、?為在域上定義的兩個運算.對于?a，b∈Rmax，定義ε=-∞，e=0，二元運算規(guī)則如下

為簡化計算，通常省略?符號.

1.2.2 能力計算

假設一個列車運行計劃周期已知，分區(qū)b1的起點為車站停車點，基于閉塞時間窗的各列車路徑在空間上占用不同的分區(qū)，在時間上依據(jù)其各分區(qū)占用開始和占用結(jié)束時刻，不斷堆積，形成一個運行計劃周期的堆模型示意圖，如圖2 所示.通過極大自動機的代數(shù)運算得到堆積后運行計劃周期的基礎設施占用時間［18］，從而進一步計算平均發(fā)車間隔.

圖2 堆模型Fig.2 Heap model

圖2 中，堆模型五元組中P={p1，p2，...，pk，...，pK，pK+1}為一個運行計劃周期的列車路徑集合，pk為第k條列車路徑，前K條列車路徑互不重復，最后一條列車路徑pK+1與第一條列車路徑p1相同；B(pk)={b1，b2，...，bn，...，bN}為 第k條列車 路徑的分區(qū)集合，bn為第n個分區(qū)，N為分區(qū)總數(shù)；S，F(xiàn)為每條列車路徑從0 時刻開始發(fā)車形成的閉塞時間窗上界集合 和下界集合，Sk，n，F(xiàn)k，n為第k條列車路徑在第n個分區(qū)的閉塞時間窗的上界和下界，如下

定義“堆模型”的態(tài)射矩陣

式中：若i=j，為分區(qū)i的堆模型高度.

首先，根據(jù)式（2）的矩陣運算規(guī)則計算基于一個列車運行計劃周期下P的能力占用矩陣為

其次，根據(jù)能力占用矩陣M(P)計算一個列車運行計劃周期在堆積后形成的大小為1×|B|維的向量y(pK)，表示堆積前K條列車路徑后形成的所有分區(qū)下界，如下

式中：y(e)={e，...，e}是一個1×|B|維的向量，對應一個空運行計劃；y(P)n為堆積K條列車路徑后第n個分區(qū)的下界.

然后，根據(jù)堆積后的列車路徑結(jié)果，計算基礎設施占用時間為

式 中：（FK+1，1-SK+1，1）為重復 計算第K+1 列車在第1 個分區(qū)的堆模型高度.

一個列車運行計劃周期的總發(fā)車間隔H為

由于第1 條列車路徑和第K+1 條列車路徑相同，（總發(fā)車間隔H和基礎設施占用時間λ(P)的值相同）.

最后，直接通過基礎設施占用時間計算一個列車運行計劃周期的平均列車發(fā)車間隔為

2 閉塞分區(qū)優(yōu)化問題建模

基于第1 節(jié)超高速磁懸浮列車能力計算模型建立分區(qū)長度合理劃分的優(yōu)化模型.分區(qū)劃分范圍從車站發(fā)車點開始到下一車站停車點結(jié)束，發(fā)車、接車以及車站股道分區(qū)的劃分長度是由道岔防護點設置決定的，故本文主要考慮區(qū)間分區(qū)的合理劃分問題，如圖3 所示.假設兩站區(qū)間分區(qū)個數(shù)為N，第n個分區(qū)的長度為ln，n∈{1，2，...，N}，dn為對應分區(qū)節(jié)點位置.其中d0、dN已知，分別為出站咽喉區(qū)防護點位置和進站咽喉區(qū)防護點的位置.

圖3 分區(qū)劃分示意圖Fig.3 Schematic diagram of block division

2.1 優(yōu)化目標

分區(qū)優(yōu)化問題是在確保列車安全運行的前提下，從“效率”和“經(jīng)濟”兩個方面優(yōu)化分區(qū)長度和數(shù)量.

1）“效率”目標.

“效率”目標是指在滿足列車安全運行的前提下最大化設計能力，即單位時間內(nèi)不考慮緩沖時間下可以計劃的最多列車路徑數(shù)量［19］.本文以平均發(fā)車間隔為指標衡量設計能力，目標函數(shù)為

式中：目標函數(shù)輸入變量為分區(qū)長度(l1，l2，…，ln).結(jié)合第1 節(jié)中超高速磁懸浮列車能力計算方法，目標函數(shù)計算步驟如下.

算法1：平均發(fā)車間隔計算方法

輸入：列車路徑數(shù)K，分區(qū)個數(shù)N，分區(qū)長度ln，n∈{1，2，…，N}，線路，列車和信號系統(tǒng)相關輸入數(shù)據(jù).

步驟1：初始化操作，對線路、列車和信號系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)建模，異步仿真輸出每條列車路徑的安全間距集合，存放每一時刻下列車車頭所在位置，列車速度以及列車移動授權(quán)延伸的最大位置.

步驟2：根據(jù)分區(qū)長度計算閉塞分區(qū)節(jié)點位置dn=d0+，采用遍歷算法計算每條列車路徑下在各個分區(qū)的閉塞時間組成部分.

步驟2.1：令列車路徑k=1，分區(qū)個數(shù)n=1；

步驟2.2：調(diào)用第k條列車路徑下的安全間距表集合，搜索定位表中第n個分區(qū)的入口點位置dn-1、出口點位置dn，出清點位置dn+ltrain，列車移動授權(quán)延伸至分區(qū)入口點時的對應列車時刻；

步驟2.3：根據(jù)1.1 節(jié)的閉塞時間模型含義，判斷第n個分區(qū)的分區(qū)類型，計算并賦值第k列車在第n個分區(qū)的進路以及

步驟2.4：令n=n+1，如果滿足n＞N，繼續(xù)步驟2.5，反之跳轉(zhuǎn)至步驟2.2；

步驟2.5：令k=k+1，n=1，如果k＞K，則遍歷結(jié)束，繼續(xù)步驟3，否則跳轉(zhuǎn)至步驟2.2.

步驟3：根據(jù)1.2.2 節(jié)計算一個列車運行計劃下的堆模型五元組C.計算堆模型上界和下界集合S、F，M(pk)，M(P).

步驟4：根據(jù)列車路徑堆積的結(jié)果分別計算y(P)，

2）“經(jīng)濟”目標.

“經(jīng)濟”目標是指滿足約束的前提下，最小化分區(qū)建設成本.本文直接以分區(qū)劃分數(shù)量為指標衡量建設成本，其目標函數(shù)為

2.2 約束條件

作為一個復雜的多目標規(guī)劃問題，除了目標函數(shù)外，分區(qū)的實際劃分需考慮多個約束條件，本文根據(jù)約束條件的性質(zhì)，分為幾何約束和性能約束.

1）幾何約束.

考慮基本分區(qū)長度和分區(qū)個數(shù)的限制，構(gòu)建幾何約束為

式中：lmin、lmax分別為工程人員由現(xiàn)場實際情況確定的分區(qū)的最小長度和最大長度.

2）性能約束.

除了基本長度約束，從信號系統(tǒng)設計的角度進一步構(gòu)建性能約束函數(shù).首先，相鄰列車運行過程中應符合安全原則，即分區(qū)劃分的結(jié)果滿足只有當?shù)趉列車出清并解鎖第n個分區(qū)，第k+1 列車才可排列第n個分區(qū)進路的條件.其次，為了符合能力最優(yōu)設計原則，前車出清并解鎖第1 個區(qū)間分區(qū)后，后車立即排列發(fā)車進路，該性能約束如下

3 求解算法

針對分區(qū)劃分優(yōu)化問題，采用NSGA-Ⅱ算法進行求解，并與VEGA 算法的求解效果進行對比.NSGA-Ⅱ算法基本流程圖如圖4 所示［20］.

圖4 NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.4 Flow chart of NSGA-Ⅱ algorithm

結(jié)合NSGA-Ⅱ算法的流程圖進一步設計超高速磁懸浮列車分區(qū)的劃分過程，具體如下：

1）解的編碼.

染色體采用xi=(xi(0)，xi(1)，xi(2)，…，xi(N))的形式表示分區(qū)優(yōu)化至第i代的一種劃分方案，其中：N=xi(0)；xi(0)表示當前劃分方案下的分區(qū)個數(shù)；(n)表示第j條染色體中第n個分區(qū)的長度，染色體的維度與分區(qū)個數(shù)有關.本文采用具有優(yōu)化精度高、搜索方便等特點的實數(shù)編碼.

2）初始化種群.

初始化種群的質(zhì)量對優(yōu)化結(jié)果具有重要影響，為了提高算法性能，本文針對初始化的過程進行以下處理：①盡可能快速均勻分布初始解，避免陷入局部最優(yōu)；②通過簡單篩選剔除質(zhì)量較差的部分個體，具體種群初始化算法如下

算法2：種群初始化算法

輸入：分區(qū)劃分優(yōu)化模型，種群規(guī)模Np，站間距L.

輸出：種群初始解.

步驟1：令迭代次數(shù)j=1.

步驟2：隨機生成分區(qū)個數(shù)N，記錄第j次迭代的時間tj.

步驟3：判斷當前迭代的時間tj是否大于10 s，若小于10 s，則跳轉(zhuǎn)步驟3.1，反之跳轉(zhuǎn)步驟3.2.

步驟3.1：隨機生成各個分區(qū)的長度，跳轉(zhuǎn)步驟4；

步驟3.2：將區(qū)間分區(qū)長度N等分后l=，每個分區(qū)長度在[l-100，l+100]的范圍內(nèi)隨機取值，跳轉(zhuǎn)步驟4；

步驟4：判斷當前染色體是否符合所有約束條件，若符合，則跳轉(zhuǎn)步驟5，反之，則轉(zhuǎn)入跳轉(zhuǎn)步驟3.

步驟5：j=j+1，如果j＞Np，算法終止，否則跳轉(zhuǎn)至步驟2 繼續(xù)初始化染色體.

3）適應度函數(shù)構(gòu)建.

為了提高優(yōu)化效率，針對諸多約束條件引入外點懲罰函數(shù)，進一步構(gòu)建無約束的適應度函數(shù)，目標的適應度函數(shù)如下

式中：Fu，u=1，2 分別為兩個目標下的適應度函數(shù)；為迭代過程中呈遞增正數(shù)列的罰因子；g(x)和h(x)分別為優(yōu)化模型中的不等式約束和等式約束.在迭代過程中，若一組染色體滿足所有約束時，適應度函數(shù)值等于目標函數(shù)值；反之，若不滿足約束，則后兩項取值增大，適應度函數(shù)值也將增大.

4）新解的產(chǎn)生：選擇、交叉、變異［21］.

①選擇：假設父代種群記為Pg，首先通過二元錦標賽策略，每次從當前種群中取出兩個個體，取其中適應度值較優(yōu)的染色體放入子代種群，重復該操作直到子代種群規(guī)?；謴蜑镹p，選擇操作后的子代種群記為.

② 交叉：為了增強算法的局部搜索能力，將種群中的染色體進行長度分類，選擇相同長度的染色體采用模擬二進制交叉算法進行單點交叉操作.假設選取個體，進行交叉，其交叉后的個體為

式中：β與隨機數(shù)μ∈[0，1]有關.

式中：η1為交叉分布參數(shù)，取值越大，子代個體與父代個體差異越小.

③變異：模擬二進制交叉后的種群，隨機選擇要變異的基因位，通過多項式變異操作生成子代種群為

式中：xmax，xmin分別為相應決策變量的上下邊界；η2為變異分布參數(shù)，可根據(jù)實際進化情況進行調(diào)整.若變異的基因位置在第一位，染色體長度改變，重新初始化該條染色體.

5）非支配排序.

將種群Qg進行非支配排序，產(chǎn)生一系列非支配集Zi并計算擁擠度.個體擁擠度的計算與適應度函數(shù)值有關，如下

式中：jd為第j點的擁擠度分別為第j+1點和第j-1 點的適應度函數(shù)值.

6）精英策略.

將子代種群Qg和父代種群Pg合并形成規(guī)模為2Np的新種群Rg，根據(jù)快速非支配排序結(jié)果和擁擠度的值對個體進行篩選合并后的種群Rg，直到選出種群規(guī)模為Np的新父代種群Pg+1.

7）終止條件判斷.

判斷是否滿足迭代終止條件，若當前迭代次數(shù)滿足最大迭代次數(shù)，則停止迭代，輸出最優(yōu)解，否則，通過交叉變異產(chǎn)生新的子代種群Qg+1，將Pg+1和Qg+1合并形成新的種群Rg，重復3）到6）的操作.

4 仿真案例

4.1 參數(shù)設置

以兩站的區(qū)間為例，假設始發(fā)站停車點絕對公里標為2.14 km，區(qū)間站停車點絕對公里標為302.14 km，道岔防護點d0和dN的位置分別為3.18、301.258 km，一個列車運行計劃周期最大列車數(shù)量為3 列，基礎設施、列車、信號系統(tǒng)和運營組織相關輸入數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 仿真參數(shù)設置Tab.1 Simulation parameter setting

本文基于Matlab 編程實現(xiàn)超高速磁懸浮列車的分區(qū)優(yōu)化設計，并采用NSGA-Ⅱ算法進行求解.配置為：計算機內(nèi)存8 G，處理器主頻1.60 GHz，操作系統(tǒng)為windows 10（64 位）.根據(jù)經(jīng)驗及大量實際仿真，NSGA-Ⅱ算法中最優(yōu)個體前端個體系數(shù)取值0.3，個體交叉概率為0.95，個體變異概率為0.1，交叉分布參數(shù)為20，變異分布參數(shù)為20，初始種群規(guī)模200 個，最大迭代次數(shù)200 次，選擇操作基于序值和擁擠距離［22-24］.

為分析本文所提出模型與算法的效果，將其與VEGA 算法進行結(jié)果對比，相關參數(shù)設置與NSGA-Ⅱ算法保持一致.VEGA 算法通過線性加權(quán)的方式將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題，適應度評價函數(shù)如下

式中：fitness 為適應度評價函數(shù)；a、b分別為兩個目標的權(quán)重，滿足a+b=1.C1、C2為常數(shù)，將兩個目標的適應度值調(diào)節(jié)在一定的范圍內(nèi)，與初始化種群的目標均值有關，如下

4.2 仿真分析

基于以上輸入數(shù)據(jù)和多目標優(yōu)化模型分別運行NSGA-Ⅱ算法和VEGA 算法.本文首先輸出了NSGA-Ⅱ算法下的兩個目標收斂曲線，并結(jié)合曲線趨勢分析NSGA-Ⅱ的收斂性，多樣性的特點；其次，通過調(diào)整VEGA 算法的權(quán)重系數(shù)形成一組可行解，與NSGA-Ⅱ算法下的Pareto 前沿解作對比，從計數(shù)指標、收斂性指標、多樣性指標定性分析兩種算法的性能及解集的質(zhì)量［25］，并且進一步引入超體積評價指標（Hypervolume，HV）量化分析不同算法的綜合性能；最后，選取列出了NSGA-Ⅱ算法求解結(jié)果中具有代表性的三組Pareto 最優(yōu)解.

NSGA-Ⅱ的目標收斂曲線如圖5 所示，包含迭代過程中種群最大、平均和最小的適應度值變化信息.

圖5 NSGA-Ⅱ目標收斂曲線圖Fig.5 Target convergence curve of NSGA-Ⅱ

由圖5可知：

1）NSGA-Ⅱ算法中兩個目標下的均值收斂曲線在局部范圍內(nèi)波動存在一定的相關性，即當在一個目標保持不變或者增大時另一個目標快速減小，表明兩個目標在進化過程中不斷地相互均衡取舍.而“效率”目標的最大值曲線存在一定的波動，表明算法在迭代過程中仍然具有較強的持續(xù)搜索能力，最大值的適當保留維持了各代種群的多樣性，能夠提高迭代過程的進化空間，有效的避免陷入局部最優(yōu).

2）NSGA-Ⅱ算法在迭代前期兩個優(yōu)化目標的進化曲線都在迅速減小并逐漸收斂，算法性能優(yōu)良.隨著迭代次數(shù)的增加，各代種群的目標平均適應度值于160 代之后分別收斂于314 和16.2 左右，并且目標的均值收斂曲線更偏向于最小值，表明種群中的可行解分布集中在最小值附近，解的質(zhì)量得到較好保證.

VEGA 算法通過調(diào)整權(quán)重系數(shù)可形成一組可行解，與NSGA-Ⅱ算法下的Pareto 解集作對比，實驗結(jié)果如圖6 所示，包含了目標空間兩個目標的值.

從圖6 對比可知：

圖6 NSGA-Ⅱ算法和VEGA 算法解集對比Fig.6 Comparison between solution sets of NSGA-Ⅱ and VEGA

1）計數(shù)指 標：VEGA 算法共生成6 組最優(yōu) 解，NSGA-Ⅱ算法共生成9 組Pareto 最優(yōu)解，NSGA-Ⅱ算法下求解數(shù)量更多；

2）收斂性指標：圖6 中紅色曲線整體位于藍色曲線下方，說明NSGA-Ⅱ算法的收斂效果優(yōu)于VEGA 算法；

3）多樣性指標：多樣性指標包括解集的延展性和分布性.NSGA-Ⅱ算法和VEGA 算法解集的延展均從（387.3，9）到（285.8，21），延展性幾乎一致，但是NSGA-Ⅱ解集的分布更均勻，故NSGA-Ⅱ算法的多樣性優(yōu)于VEGA 算法；

4）超體積評價指標HV［26］：超體積評價指標通過一個標量值可同時反映多目標進化算法的收斂性和多樣性，其計算為

式中：λ為勒貝格測度；vi為參考點和非支配個體pi構(gòu)成的超體積；S為算法求解的非支配集.HV 值越大，算法的綜合性能越好.以非支配解集每維上的最大值組成的向量（387，21）為參考點［27］，由式（22）計算可得，NSGA-Ⅱ算法下HV 為0.119 1，VEGA 算法下HV 為0.084 5，故NSGA-Ⅱ算法的綜合性能優(yōu)于VEGA 算法.

綜上分析，從解的質(zhì)量方面，NSGA-Ⅱ算法的解集分布更均衡且收斂效果更好，求解效果顯著優(yōu)于VEGA 算法.VEGA 算法通過線性加權(quán)的方法將兩個目標轉(zhuǎn)化為單目標問題，指標對評價結(jié)果的影響僅靠改變權(quán)重無法完全體現(xiàn)，并且迭代過程中難以維持種群的多樣性，相關參數(shù)選擇和適應度函數(shù)設計也會影響解的品質(zhì).而NSGA-Ⅱ算法直接基于原始目標函數(shù)和值進行操作，不會丟失目標函數(shù)和解的信息，得到一系列最優(yōu)的解集，解的優(yōu)劣可以較好保證，能為決策者提供更多的選擇范圍.

選取NSGA-Ⅱ算法求解結(jié)果中有代表性的三組Pareto 最優(yōu)解，劃分結(jié)果保留一位小數(shù)，分區(qū)劃分方案如表2 所示.

表2 Pareto 最優(yōu)解集Tab.2 Optimal solution set of Pareto

NSGA-II 算法中，Pareto 最優(yōu)解1 的經(jīng)濟目標值最小，Pareto 最優(yōu)解9 的效率目標值最小.決策者選擇最優(yōu)設計方案時，若更加看重線路建設的經(jīng)濟性，則最佳決策方案更可能為 Pareto 最優(yōu)解1；反之若更加注重線路的設計能力，則最佳決策方案更可能為Pareto 最優(yōu)解9；若兩者之間相對平衡，可選擇中間的其他方案.

5 結(jié)論

1）在對基礎設施、超高速磁懸浮列車動力學特性及信號系統(tǒng)ATP 建模的基礎上，提出一種基于閉塞時間窗和Max-plus 自動機理論相結(jié)合構(gòu)建能力計算模型的方法，通過引用分區(qū)概念及劃分原則建立不同類型分區(qū)的閉塞時間模型，在此基礎上引入極大自動機理論構(gòu)建了能力計算函數(shù).針對設計能力最大化和分區(qū)建設成本最小化多目標優(yōu)化問題，以平均發(fā)車間隔最小和閉塞分區(qū)建設成本最小化為目標，建立列車運行控制系統(tǒng)的性能約束條件.由此，將閉塞分區(qū)合理劃分問題轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，并采用NSGA-Ⅱ算法對問題進行求解，最后通過仿真案例將其與VEGA 算法從求解質(zhì)量方面進行了對比，驗證了該方法及優(yōu)化算法的優(yōu)勢.相比于基于公式法建立的分區(qū)優(yōu)化模型，基于閉塞時間窗和Max-plus 自動機理論相結(jié)合構(gòu)建能力計算模型的方法和優(yōu)化算法具有建模精確、運算速度高、結(jié)果清晰準確的優(yōu)點.

2）基于超高速磁懸浮列車相關數(shù)據(jù)進行了仿真測試，結(jié)果表明：NSGA-Ⅱ算法的算法性能和求解效果從計數(shù)指標、收斂性指標、多樣性指標和超體積評價指標上均優(yōu)于VEGA 算法.NSGA-Ⅱ算法在求解超高速磁懸浮列車閉塞分區(qū)劃分優(yōu)化設計過程中，具有運行速度快，解集收斂性好的優(yōu)點，輸出結(jié)果共得到9 組Pareto 最優(yōu)解，解決了傳統(tǒng)多目標規(guī)劃問題將多目標轉(zhuǎn)化為單目標問題后每次求解帶來的只有單一解的問題.仿真結(jié)果精確滿足各項約束，可為決策者在管理決策過程中提供使多個目標都達到滿意結(jié)果的閉塞分區(qū)布置方案.

后續(xù)的研究中，可以對閉塞時間模型增加時間裕量，進一步考慮列車擾動情況下模型和算法的優(yōu)化.