弱左型B半群的半格分解

李春華，方潔瑩，孟令香，徐保根

(華東交通大學理學院，江西 南昌 330013)

1 預備知識

接下來將介紹本文所需要的定義及相關結(jié)論[1-2，15,17-19]。

一般地，記S是半群，E(S)是半群S中冪等元的集合，S1是半群S并上恒等元1的半群。半群S上格林關系L*關系定義如下：令a,b∈S，(a,b)∈L*，當且僅當a,b在S的某個擴半群上具有L關系。相應的，可以定義R*關系。下面以引理的形式給出廣義格林關系L*和R*的等價定義。

引理1.1[1]令S為半群且a,b∈S，則下列各款等價：

(1)aL*b[aR*b]

(2)(?x,y∈S1)ax=ay?bx=by[(?x,y∈S1)xa=ya?xb=yb]。

引理1.2[2]令S是半群且a,b∈S，則下列各款等價：

(2)(?e∈E(S))a=ae?b=be[(?e∈E(S))a=ea?b=eb]。

定義1.2[1]令S是任意半群，則稱S為左型B半群，若下列條件成立：

(B1)S中冪等元可交換；

(B2)S中每個R*類都含且僅含唯一的冪等元；

(B3)對任意e,f∈E(S1)，a∈S，(aef)+=(ae)+(af)+；

(B4)對任意a∈S，e∈E(S)，若e≤a+，則存在f∈E(S1)使e=(af)+。

定義1.3[15]令S是任意半群，則稱S為弱左型B半群，若下列條件成立：

(WB1)S中冪等元可交換；

(WB3)對任意e,f∈E(S1)，a∈S，(aef)+=(ae)+(af)+；

(WB4)對任意a∈S，e∈E(S)，若e≤a+，則存在f∈E(S1)使e=(af)+;

定義1.4[15]若S是任意半群，則稱S為(弱)型B半群，若S既為(弱)左型B半群又為(弱)右型B半群。

顯然，左型B半群及弱左型B半群均是一元半群(帶有一元運算a→a+的半群)，記作(S+，)。

定義1.5令S是弱左型B半群，有如下定義：

N(S)={a∈S|aR*a+}

稱I(S)為S的核。

I(S)={a∈S|aRa+}

稱N(S)為S的逆元部分。

SαSβ?Sαβ

此時，稱S是冪單幺半群的半格，記S=(Y,Sα)。

定義1.7[19]假設冪單幺半群Sα，其中α∈Y，Y是指標集且為半格，并且對任意α,β∈Y，若α≥β，則存在同態(tài)Sα→Sβ使得

(1)(?α∈Y)χα,α=1Sα；

(2)對任意α,β,γ∈Y，

若α≥β≥γ，則

S=∪α∈γSαχα,βχβ,γ=χα,γ

在S上可以定義乘法如下：對任意x∈Sα，y∈Sβ，有

xy=(xχα,αβ)(yχβ,αβ)

易證，若x∈Sα，y∈Sβ，z∈Sγ，則(xy)z=(xχα,αβγ)(yχβ,αβγ)(zχγ,αβγ)=x(yz)。因此，該乘法是結(jié)合的。由此可知，S是冪單幺半群的強半格，記作

S=S[Y;Sα;χα,β]

定義1.8[19]若f：X→Y和g:Y→X滿足以下條件：

(1)f。g=tY；

(2)g。f:X→X是冪等的；

則稱f是g的收縮映射。

引理1.3令S是左半適當半群，則(S+,)是一元半群，且下列結(jié)論成立：

(A1)a=a2?a=a+；

(A2)a+=(a+)+；

(A3)a+b+=b+a+；

(A4)a=a+a；

(A5)(ab)+=a+(ab)+；

(A6)(ab)+=(ab+)+。

證明由左半適當半群的定義可直接推得。

2 弱左型B半群

引理2.1一元半群(S+,)是弱左型B半群當且僅當條件(A1)-(A6)和條件(B3)、(B4)成立。

證明必要性：顯然成立。

(ce)+ca=(ce)+cea=cea=ca

(ce)+cb=(ce)+ceb=ceb=cb

即有一相同得左恒等元。現(xiàn)證ca與cb有相同得左恒等元集。為此，令f∈E(S)，且有kca=ca，則(fca)+=(ca)+。由(A6)有(fca+)+=(ca+)+，注意a+=b+。于是，(fcb+)+=(cb+)+，進而(fcb)+=(cb)+，因此，

fcb=(fcb)+fcb=(fcb)+fc+cb=

(fcb+)(fc)+cb=(fcb+)(fc·1)+cb=

(fcb+·1)+cb=(fcb)+cb=(cb)+cb=cb

證明由引理2.1可直接推得。

定理2.3令S是弱左型B半群，則下列各款成立：

(1)N(s)={a∈S|x,y∈Sa+,xa=ya?x=y}是S的最大左型B一元子半群，

(2)I(S)={a∈S|a是正則元}是S最大逆一元子半群。

證明(1)首先，記A={a∈S：x,y∈Sa+,xa=ya?x=y}。令a∈N(s)，x,y∈Sa+并且xa=ya。由aR*a+可知xa+=ya+。

已知x,y∈Sa+，故x=xa+=ya+=y。因此，N(S)?A。

下證A?N(S)。首先令任意a∈A，x,y∈S使得xa=ya，則由(A3)可知xa+a=ya+a，其中xa+,ya+∈Sa+。故xa+=ya+，由引理1.1，aR*a+，即A?N(S)。綜上，A=N(S)成立。

令a,b∈N(s)，由N(S)的定義可知aR*a+且滿足bR*b+，由于R*是左同余，則有abR*ab+，已知S是弱左型B半群，故(ab)+=(ab+)+，即abR*(ab)+，于是ab∈N(S)。故N(S)是S的子半群。由于S上的一元運算限制在N(S)上是保持不變的，故N(S)是S上的一元子半群。根據(jù)左型B半群的定義可知N(S)是左型B半群，注意到N(S)的定義可知N(S)是S中最大的左型B一元子半群。

ab=a(xa)(by)b=a(by)(xa)b=(ab)yx(ab)

即ab∈I(S)，所以I(S)是封閉的。S上的一元運算限制在I(S)上是保持一致的，所以I(S)是S上的一元子半群。注意到I(S)中包含了S中所有的正則元，所以I(S)是S的最大逆一元子半群。

推論2.4令S是弱左型B半群，則下列各款成立：

(1)N(S)=S；

(2)S是左型B半群；

推論2.5令S是弱左型B半群，則下列各款成立：

(1)I(S)=S；

(2)S是逆半群；

定理2.6令S是弱左型B半群，則下列各款等價：

(1)S是冪單半群的半格；

(2)映射a→a+(a∈S)(1)是S到E(S)的收縮映射，即Sφ=E(S)；

(4)S滿足(ab)+=(a+b)+；

(5)S滿足(ab)+=a+b+。

(4)?(5)由題設及(A4)可知，

(ab)+=(ab+)+=(a+b+)+=a+b+

故5)成立。

(ac)+=a+c+=b+c+=(bc)+

3 弱左型B半群的半格分解

引理3.2令S=(Y;Sα)，其中Y是半格，對任意α∈Y，Sα是冪單幺半群，則S是半群Sα的強半格Y。

證明對任意α∈Y，令eα是Sα中的恒等元。令α≥β，按如下建立映射，

χα,β:a→aeβ(a∈Sα)

則χα,β:Sα→Sβ。由于α≥β并且a,b∈Sα，

(aχα,β)(bχα,β)=(aeβ)(beβ)=

aeβ(beβ)=abeβ=(ab)χα,β

對于α≥β≥γ，有

eβeγ=eγeβeγ=eγeβ=(eγeβ)2=eγ

由于Sγ是冪單的，故對任意a∈Sα，

aχα,βχβ,γ=aeβeγ=aeγ=aχα,γ

一般地，χα,α是Sα上的恒等映射。因此S=[Y;Sα,χα,β]。

以下是本文的主要結(jié)論。

定理3.3令S是弱左型B一元半群，則下列各款等價：

(1)S滿足a=aa+及(ab)+=(ab)+b+；

(2)S滿足ab+=b+a；

(3)S是冪單幺半群的半格；

(4)S是冪單幺半群的強半格。

證明(1)?(2)由題設及(A3)、(A4)可得

ab+=(ab+)+ab+=(ab+)+(b+)+ab+=

(ab+)+b+ab+=b+(ab+)+ab+=b+ab+

類似地，

b+a=b+a(b+a)+

(因S滿足a=aa+)=(b+a)(b+a+)+=b+ab+a+

(因(A6)及(A2))

=b+aa+b+=b+ab+(因(A4))

(因S滿足a=aa+)

故ab+=b+a，因此(2)成立。

(2)?(3)首先，由(A4)、(A6)及題設可知

(ab)+=(ab+)+=(b+a)+=(b+a+)+=b+a+=a+b+

(3)?(4)由引理4.2易得。

(4)?(1)令S=[Y;Sα,χα,β]，對任意α∈Y，Sα是冪單幺半群，包含恒等元eα。假設對任意a∈Sα，α∈Y，有a+=eα。顯然，由S是弱左型B半群，定理得余下證明可由定理3.6直接推得。