(2+1)維四階非線性方程的解析解

秦立春

(柳州鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 柳州 545616)

1 引言與研究背景

非線性偏微分方程常用來(lái)描述物理定律隨時(shí)間和空間變化的過(guò)程。然而數(shù)學(xué)物理中的絕大多數(shù)用偏微分方程來(lái)解釋的非線性問(wèn)題不能通過(guò)解析方法求解。精確可解的往往都是常系數(shù)和線性的。然而，隨著孤子理論的發(fā)展，許多求解非線性偏微分方程的方法被提出，比如：三波法、雙線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、正二次函數(shù)法、tanh函數(shù)法、同倫攝動(dòng)法等等[1-7]。

本文考慮馬文秀教授提出的一個(gè)(2+1)維四階非線性方程[8]

γ6utt+γ1uyt+γ5uyy+γ3uxt+γ4uxy+γ2uxx+3αutuxx+3βuyuxx+

3ux(αuxt+βuxy+2uxx)+αuxxxt+βuxxxy+uxxxx=0

(1)

其中u=u(x,y,t)，α，β和γi(i=1,2,…,5,6)均是常數(shù)。該方程包含了三種四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和所有線性二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的組合。馬文秀教授利用正二次函數(shù)法獲得了方程(1)的兩類塊狀解。方程(1)包含了許多重要的物理模型，比如：

(Ⅰ) 當(dāng)α=β=0,γ3=-γ5=1,其他的γi均為零，方程(1)約化為一個(gè)(2+1)維潛在的Kadomtsev-Petviashvili方程

uxt-uyy+6uxuxx+uxxxx=0

(2)

該方程可以用來(lái)描述單層淺層流體中振幅小、對(duì)橫向坐標(biāo)依賴慢的長(zhǎng)波。

(Ⅱ) 當(dāng)α=0,β=1,γ3=γ5=1,其他的γi均為零，方程(1)約化為一個(gè)廣義Bogoyavlensky-Konopelchenko方程

uxxxy+uxt+uyy+6uxuxx+uxxxx+3(uxuy)x=0

(3)

該方程可以用來(lái)描述單層淺層流體中振幅小、對(duì)橫向坐標(biāo)依賴慢的長(zhǎng)波。

當(dāng)u=2[lnf(x,y,t)]x時(shí)，方程(1)將直接變成下列雙線性形式

(4)

或

γ5fyy+γ3ftx+γ4fxy+γ2fxx+αfxxxt+βfxxxy+fxxxx)=0

(5)

這樣的話，我們只需要求解方程(5)就可以得到方程(1)相應(yīng)的解析解。

2 解析解

根據(jù)三波法，假設(shè)

f=e-xτ11-yτ12-tτ13-τ14+exτ11+yτ12+tτ13+τ14δ1+δ2tan(xτ21+yτ22+tτ23+τ24)+

δ3tanh(xτ31+yτ32+tτ33+τ34)

(6)

其中δi和τij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)是未知常數(shù)。借助Mathematica軟件，將該假設(shè)代入方程(5)，有

(7)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(8)

其中f滿足方程(6)和(7)。方程(8)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)被展示在圖1。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖1 τ22=τ23=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,τ13=-2,δ1=3,δ2=τ14=δ3=τ33=-1Fig.1 τ22=τ23=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,τ13=-2,δ1=3,δ2=τ14=δ3=τ33=-1

(2)τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,τ11=-βτ12-ατ13,

(9)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(10)

其中f滿足方程(6)和(9)。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖2 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3Fig.2 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3

(3)τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,τ11=-βτ12-ατ13,

(11)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(12)

其中f滿足方程(6)和(11)。方程(12)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)被展示在圖2和圖3。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖3 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=t=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3Fig.3:τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=t=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3

(13)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(14)

其中f滿足方程(6)和(13)。

(15)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(16)

其中f滿足方程(6)和(15)。

(17)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(18)

其中f滿足方程(6)和(17)。

(7)δ1=0,τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,γ5=-β2γ2+βγ4,

τ11=-βτ12-ατ13,γ6=α(-αγ2+γ3),γ1=-2αβγ2+βγ3+αγ4

(19)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(20)

其中f滿足方程(6)和(19)。

(21)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(22)

其中f滿足方程(6)和(21)。

(23)

此時(shí)可得方程(1)相應(yīng)的解析解

(24)

其中f滿足方程(6)和(23)。

3 結(jié)論

最近，馬文秀教授提出了一個(gè)新的(2+1)維四階非線性偏微分方程。該方程考慮了所有的線性二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，包含了Kadomtsev-Petviashvili方程和廣義Bogoyavlensky-Konopelchenko方程等物理模型，可以用來(lái)描述單層淺層流體中振幅小、對(duì)橫向坐標(biāo)依賴慢的長(zhǎng)波。本文利用三波法和Mathematica軟件獲得了新的(2+1)維四階非線性偏微分方程大量的解析解，這些解含有豐富的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。從求解過(guò)程中可以看出三波法求解解析解是非常簡(jiǎn)單方便的，能夠用于很多其他的高階非線性偏微分方程。