廣義α-雙鏈對角占優(yōu)矩陣線性互補問題誤差界的最優(yōu)值

李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山 663099)

線性互補問題(Lcp(A,q))在最優(yōu)停步、期權(quán)定價等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，詳見文獻[1-3].它的模型是指求x∈Rn，滿足x≥0,Ax+q≥0,(Ax+q)Tx=0,其中A是實矩陣，q是實向量.

1 預(yù)備知識

引理1[9]

設(shè)A=(aij)∈Rn,n為廣義α-雙鏈對角占優(yōu)矩陣，則存在正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，xi>0，使得AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣，并且A為H矩陣.

引理2[10]

設(shè)A=(aij)∈Rn,n是H矩陣且主對角元素全為正，即存在正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)(xi>0，i∈N)，使得AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)A是廣義α-雙鏈對角占優(yōu)矩陣，且aii>0，對?i∈N，令Δ-(A)≠φ，則存在正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，其中

使得AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣.

證明：設(shè)

由定義知，vj>ui，則一定存在一個正數(shù)η，使得

取正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，當i∈Δ+(A)時，xi=η，當j∈Δ-(A)時，xj=1，

令Q=AX=(qij)，易證qii-ri(Q)>0，i∈N，所以AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣.

定理2設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n是廣義α-雙鏈對角占優(yōu)矩陣，則存在正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)，使AX是嚴格對角占優(yōu)矩陣，其中

且當ε>1，則

若ε<1，則

證明：由引理1知，AX是主對角元素為正的嚴格對角占優(yōu)矩陣，對?d∈[0,1]n，(I-D+DA)X也是主對角元素為正的嚴格對角占優(yōu)矩陣，于是

xi=1，當i∈Δ-(A)，xi=ε，所以

當ε>1時，

當ε<1時，

定理證畢.

下面通過定理3和定理4對定理2做進一步詳細的最優(yōu)值分析.

定理3設(shè)矩陣A,D,X為定理2所定義，

因為f′(ε)<0，則f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故

因為f′(ε)>0，f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，故

定理證畢.

定理4設(shè)矩陣A,D,X為定理2所定義，

因為f′(ε)<0，則f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故

因為f′(ε)>0，f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，故

定理證畢.

本文得到了沒有文獻研究的廣義α-雙鏈對角占優(yōu)矩陣A線性互補問題帶有參數(shù)的誤差界，而且進一步還得到了該誤差界的最優(yōu)值.這些最優(yōu)值彌補了該方面研究的空白.