振動陀螺橢圓參數(shù)的離散滑?？刂?/h1>
2022-02-16 06:51:26郜中星陳小煒張勇剛
系統(tǒng)工程與電子技術 2022年1期
郜中星, 彭 斌, 陳小煒, 張勇剛,*
(1. 哈爾濱工程大學物理與光電工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 3. 陸軍步兵學院石家莊校區(qū)軍政訓練系, 河北 石家莊 050083)
0 引 言
滑模變結構控制(簡稱為滑?？刂?由蘇聯(lián)學者Utkin于1950年提出。作為一種非常受歡迎的非線性控制方法,滑模變結構控制在學術界得到了廣泛的研究,并且由于微處理器技術的巨大進步,使得快速切換成為可能,從而使得滑模變結構控制成功地應用到了工業(yè)生產(chǎn)中[1]?；Ｗ兘Y構控制獲得巨大成功的關鍵還在于其自身擁有很多的優(yōu)點,例如設計思路簡單、速度快、魯棒性強等[2-4]。因為越來越多的先進控制系統(tǒng)是由計算機控制實施的,離散滑模變結構控制逐漸成為滑?？刂莆墨I研究的熱門話題[5-7]。
振動陀螺作為新一代陀螺儀,具有易于小型化、高精度、低成本、高可靠性、超高穩(wěn)定性等優(yōu)點[8-10],在遠洋航海、深空探測、地質(zhì)鉆探等領域有著廣闊的應用前景[11]。振動陀螺的控制策略關乎振動陀螺儀能否保持在諧振頻率處以穩(wěn)定的幅度振蕩工作,這是振動陀螺儀正常工作的前提,其控制效果決定了陀螺儀精度的上限。
在振動陀螺的滑模控制研究方面,文獻[12]討論了將滑?？刂七\用于微機械(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀過程中關于降低抖振、抑制不匹配干擾、扇區(qū)輸入非線性的自適應補償?shù)确椒?并通過仿真驗證了所提策略的有效性和優(yōu)越性。文獻[13]將滑?？刂茟迷诠ぷ饔诹ζ胶饽Ｊ降腗EMS陀螺儀上,通過數(shù)值仿真結果驗證了該控制器對于參數(shù)變動具有很好的魯棒性,并且在阻尼和剛度不對稱以及噪聲存在條件下,該控制器仍能保證系統(tǒng)運動狀態(tài)跟蹤理想運動軌跡。文獻[14]提出一種新型自適應分數(shù)階滑?？刂破?通過新的自適應律更新分數(shù)階滑模控制器的增益,使得MEMS陀螺運動具有更高的追蹤精度和更強的抗干擾性。文獻[15]將徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡與滑?？刂平Y合,解決了MEMS陀螺系統(tǒng)不確定部分的自適應逼近,并且使用快速終端滑模控制,實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂。文獻[16]針對MEMS陀螺提出了一種快速自適應比例-積分(proportional-integral, PI)滑模控制策略,實現(xiàn)了快速穩(wěn)定地跟隨輸入信號的目的。文獻[17]提出了一種基于雙環(huán)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡逼近器的MEMS陀螺分數(shù)階非奇異終端滑?？刂破?采用內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)提供反饋信號,以獲得滿意的逼近精度。值得注意的是,雖然目前國內(nèi)外學者運用滑?？刂平Y合自適應、分數(shù)階微分、神經(jīng)網(wǎng)絡等方法對振動陀螺進行了研究[18],但主要集中在用連續(xù)滑模控制方法直接控制振動陀螺的運動狀態(tài),使之跟蹤上一個假設的、幅值和頻率恒定的理想運動軌跡,然后通過跟蹤的快速性、準確性和魯棒性等各方面指標評價滑?？刂频男Ч鸞19-21],而這與實際中需要運用離散滑?？刂?并且陀螺的諧振頻率會受到干擾因素影響而產(chǎn)生變化有較大出入。
基于滑?？刂片F(xiàn)有的研究成果和存在的實際問題,本文提出從表征振動陀螺工作狀態(tài)的橢圓參數(shù)出發(fā),將離散滑?？刂剖状螒糜谡駝油勇莸目刂葡到y(tǒng)中,從而減小振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數(shù)誤差。本文的結構安排如下:第1節(jié)介紹離散滑?？刂频牡竭_性條件,并選取恰當?shù)碾x散滑?？刂期吔?第2節(jié)首先分析橢圓參數(shù)并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對象,然后對控制對象進行了數(shù)學建模,最后結合趨近律和滑模面函數(shù)(切換函數(shù))求取離散滑?？刂坡?第3節(jié)給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對比,仿真結果驗證了離散滑?？刂频膬?yōu)良特性。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當離散滑?？刂剖┘佑谙到y(tǒng)時,系統(tǒng)狀態(tài)響應一般包括3種模態(tài):趨近模態(tài)(reaching mode, RM)、滑動模態(tài)(sliding mode, SM)和穩(wěn)定模態(tài)(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統(tǒng)狀態(tài)運動軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態(tài)軌跡,II型軌跡代表了實際滑模控制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統(tǒng)狀態(tài)為準滑動模態(tài)運動,在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過觀察該軌跡可知實際情況下的離散滑模控制系統(tǒng)狀態(tài)軌跡應該有以下特點:
(1) 從任意的初始狀態(tài)出發(fā),狀態(tài)軌跡單調(diào)地趨向切換平面并在有限時間內(nèi)穿越;
(2) 一旦狀態(tài)軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態(tài)軌跡的大小是非增的,并且保持在一個特定的準滑動模態(tài)帶內(nèi)。
如果離散滑?？刂仆瑫r滿足以上3個條件,就稱之為滿足了到達性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑?？刂葡到y(tǒng)的設計中,高為炳院士提出的趨近律設計方法是一種簡單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構造滿足離散滑模到達性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設計的切換函數(shù)求取離散滑?？刂坡?。高為炳院士提出的離散指數(shù)趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號函數(shù)。
基于式(1)設計的離散滑?？刂葡到y(tǒng)具有誤差快速收斂、系統(tǒng)抖振較小等優(yōu)點,但由于等速趨近項-εTsgn(s(k))的增益為常數(shù),使得系統(tǒng)狀態(tài)最終不能趨于平衡點,而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩(wěn)態(tài)時振蕩,并且使系統(tǒng)狀態(tài)兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻[6]提出一種改進的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設計離散滑?？刂破?不僅可以使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達切換帶內(nèi),而且系統(tǒng)狀態(tài)進入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔?。
文獻[6]對趨近律(2)的到達性條件證明、趨近運動和滑模運動過程分析進行了充分的闡述,故這里不再重復說明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調(diào)整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數(shù)s(k)變化的速度。其規(guī)律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)進入切換帶Δ越快,但會使得系統(tǒng)狀態(tài)到達切換面時抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑模控制律的抗干擾能力也越弱。
基于這些變化規(guī)律,可以為離散滑模控制的仿真調(diào)試提供指導。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑模控制參數(shù)分析
由文獻[25]可知,振動陀螺運動模型可等價為一個質(zhì)點在二維平面上的橢圓進動模型。將相隔45°的檢測電極上的振動信號分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測電極軸方向,Y軸為45°檢測電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質(zhì)點運動的初始相位,ω為諧振子振動的角頻率。參照文獻[26]的方法,可以得到各橢圓參數(shù)的表達式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動陀螺振動的幅度,陀螺正常工作時要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應了振動陀螺偏離理想工作狀態(tài)的程度,理想情況下應將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號發(fā)生器產(chǎn)生的參考信號與陀螺檢測電極產(chǎn)生的電壓信號之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對振動陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動陀螺保持在其諧振頻率處振動。其中,E、Q、L由振動陀螺檢測信號和參考信號經(jīng)調(diào)制解調(diào)組合得到,其含義與文獻[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動陀螺工作的橢圓參數(shù)有3個:主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現(xiàn)行PID控制下也已經(jīng)有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進一步分析,借助文獻[25]中的積分平均法,將振動陀螺非理想運動方程轉化為橢圓參數(shù)方程[27],可得到關于駐波進動角θ的表達式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑?？刂蒲芯恐?主波振幅和正交波振幅用離散滑模控制,相位差仍用之前相同參數(shù)的、經(jīng)典的PID控制。
2.2 控制對象數(shù)學模型的建立
針對所控制的對象a和q建立數(shù)學模型,并寫成狀態(tài)方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號和正交控制信號。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說明式(10)所描述的系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的,即說明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設定值[28]。
將式(10)用離散化公式進行離散化[29],得到如下形式的離散系統(tǒng):
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑模控制律求取
對跟蹤問題,設計切換函數(shù)(滑模函數(shù))為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設計的離散滑?？刂浦?a和q的切換函數(shù)分別為
(13)
(14)
為了保證對應的多項式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩(wěn)定,需要多項式p+c1=0和p+c2=0的特征值實數(shù)部分為負數(shù),即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時刻的目標值。
在多輸入問題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構造對角矩陣。
聯(lián)立式(16)和式(17)可得離散滑?？刂坡?
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對比
3.1 仿真模型搭建
根據(jù)振動陀螺的非理想運動方程、位移至電壓轉換的檢測原理、檢測信號與參考信號的解調(diào)原理、橢圓參數(shù)的解算方法、控制輸出的調(diào)制原理以及靜電力的驅動原理[30-32],分別搭建相應的Simulink模塊,互聯(lián)之后組成振動陀螺的仿真平臺如圖3所示,圖中以順序序號1～6依次標出所搭建的模塊。仿真模型中的振動陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進動角可以直接表征外界的轉動角度。
離散滑模控制或PID控制方法可在圖3中編號5所示的控制輸出調(diào)制模塊內(nèi)搭建實現(xiàn)。為了后續(xù)能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄嶋H工程中應用,離散滑?？刂剖褂米远x的通用函數(shù)模塊且以編程的方式實現(xiàn)?？紤]實際情況中驅動信號比檢測信號的幅值通常大2個數(shù)量級以上,因此驅動信號與檢測信號在實際的電路中會存在串擾問題。當擾動較大時,甚至會導致振動陀螺起振時的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實際情況,在圖3中編號為2的檢測模塊和編號為6的驅動模塊內(nèi)加入了信號串擾的模型。
為了驗證離散滑模控制的有效性,分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉輸入2種情況進行仿真對比實驗。
3.2 靜止條件下仿真
設置外界輸入轉速為0°/s,目標值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時,PID的參數(shù)選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說明的是,選取上述PID參數(shù)的依據(jù)是仿真程序在調(diào)試過程中抗串擾效果最好。而離散滑?？刂瓶梢酝ㄟ^控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)在受到干擾時具有強魯棒性,因此能更好地降低串擾帶來的影響。
當對主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r,控制律式(18)中各參數(shù)的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數(shù)與PID控制仿真情況下設置一致。將這2種控制方法得到的仿真結果放置在同一張圖中對比,如圖4和圖5所示,圖中藍色實線表示PID控制的結果,紅色實線表示離散滑?？刂频慕Y果,黑色實線表示理論的駐波進動角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結果為1 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑?？刂谱饔孟?主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉條件下仿真
設定外界輸入轉速為100°/s,振動陀螺進動因子γ為0.27。用第3.2節(jié)同樣的PID參數(shù)、離散滑模控制參數(shù)和目標值矩陣,得到仿真結果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實現(xiàn)了主波振幅a更快速度地跟蹤目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝油勇輽E圓參數(shù)的控制系統(tǒng)中,用來控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進而減小了振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數(shù)誤差。從10 s內(nèi)的PID控制與離散滑?？刂频姆抡娼Y果對比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標度因數(shù)誤差減小了5 ppm。仿真結果體現(xiàn)了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動陀螺得到的研究成果可廣泛應用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發(fā)與設計中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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基于滑?？刂片F(xiàn)有的研究成果和存在的實際問題,本文提出從表征振動陀螺工作狀態(tài)的橢圓參數(shù)出發(fā),將離散滑?？刂剖状螒糜谡駝油勇莸目刂葡到y(tǒng)中,從而減小振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數(shù)誤差。本文的結構安排如下:第1節(jié)介紹離散滑?？刂频牡竭_性條件,并選取恰當?shù)碾x散滑?？刂期吔?第2節(jié)首先分析橢圓參數(shù)并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對象,然后對控制對象進行了數(shù)學建模,最后結合趨近律和滑模面函數(shù)(切換函數(shù))求取離散滑?？刂坡?第3節(jié)給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對比,仿真結果驗證了離散滑?？刂频膬?yōu)良特性。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當離散滑?？刂剖┘佑谙到y(tǒng)時,系統(tǒng)狀態(tài)響應一般包括3種模態(tài):趨近模態(tài)(reaching mode, RM)、滑動模態(tài)(sliding mode, SM)和穩(wěn)定模態(tài)(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統(tǒng)狀態(tài)運動軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態(tài)軌跡,II型軌跡代表了實際滑模控制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統(tǒng)狀態(tài)為準滑動模態(tài)運動,在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過觀察該軌跡可知實際情況下的離散滑模控制系統(tǒng)狀態(tài)軌跡應該有以下特點:
(1) 從任意的初始狀態(tài)出發(fā),狀態(tài)軌跡單調(diào)地趨向切換平面并在有限時間內(nèi)穿越;
(2) 一旦狀態(tài)軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態(tài)軌跡的大小是非增的,并且保持在一個特定的準滑動模態(tài)帶內(nèi)。
如果離散滑?？刂仆瑫r滿足以上3個條件,就稱之為滿足了到達性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑?？刂葡到y(tǒng)的設計中,高為炳院士提出的趨近律設計方法是一種簡單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構造滿足離散滑模到達性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設計的切換函數(shù)求取離散滑?？刂坡?。高為炳院士提出的離散指數(shù)趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號函數(shù)。
基于式(1)設計的離散滑?？刂葡到y(tǒng)具有誤差快速收斂、系統(tǒng)抖振較小等優(yōu)點,但由于等速趨近項-εTsgn(s(k))的增益為常數(shù),使得系統(tǒng)狀態(tài)最終不能趨于平衡點,而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩(wěn)態(tài)時振蕩,并且使系統(tǒng)狀態(tài)兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻[6]提出一種改進的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設計離散滑?？刂破?不僅可以使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達切換帶內(nèi),而且系統(tǒng)狀態(tài)進入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔?。
文獻[6]對趨近律(2)的到達性條件證明、趨近運動和滑模運動過程分析進行了充分的闡述,故這里不再重復說明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調(diào)整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數(shù)s(k)變化的速度。其規(guī)律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)進入切換帶Δ越快,但會使得系統(tǒng)狀態(tài)到達切換面時抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數(shù)s(k)衰減地越快,系統(tǒng)狀態(tài)趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑模控制律的抗干擾能力也越弱。
基于這些變化規(guī)律,可以為離散滑模控制的仿真調(diào)試提供指導。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑模控制參數(shù)分析
由文獻[25]可知,振動陀螺運動模型可等價為一個質(zhì)點在二維平面上的橢圓進動模型。將相隔45°的檢測電極上的振動信號分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測電極軸方向,Y軸為45°檢測電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質(zhì)點運動的初始相位,ω為諧振子振動的角頻率。參照文獻[26]的方法,可以得到各橢圓參數(shù)的表達式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動陀螺振動的幅度,陀螺正常工作時要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應了振動陀螺偏離理想工作狀態(tài)的程度,理想情況下應將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號發(fā)生器產(chǎn)生的參考信號與陀螺檢測電極產(chǎn)生的電壓信號之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對振動陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動陀螺保持在其諧振頻率處振動。其中,E、Q、L由振動陀螺檢測信號和參考信號經(jīng)調(diào)制解調(diào)組合得到,其含義與文獻[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動陀螺工作的橢圓參數(shù)有3個:主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現(xiàn)行PID控制下也已經(jīng)有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進一步分析,借助文獻[25]中的積分平均法,將振動陀螺非理想運動方程轉化為橢圓參數(shù)方程[27],可得到關于駐波進動角θ的表達式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑?？刂蒲芯恐?主波振幅和正交波振幅用離散滑模控制,相位差仍用之前相同參數(shù)的、經(jīng)典的PID控制。
2.2 控制對象數(shù)學模型的建立
針對所控制的對象a和q建立數(shù)學模型,并寫成狀態(tài)方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號和正交控制信號。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說明式(10)所描述的系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的,即說明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設定值[28]。
將式(10)用離散化公式進行離散化[29],得到如下形式的離散系統(tǒng):
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑模控制律求取
對跟蹤問題,設計切換函數(shù)(滑模函數(shù))為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設計的離散滑?？刂浦?a和q的切換函數(shù)分別為
(13)
(14)
為了保證對應的多項式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩(wěn)定,需要多項式p+c1=0和p+c2=0的特征值實數(shù)部分為負數(shù),即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時刻的目標值。
在多輸入問題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構造對角矩陣。
聯(lián)立式(16)和式(17)可得離散滑?？刂坡?
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對比
3.1 仿真模型搭建
根據(jù)振動陀螺的非理想運動方程、位移至電壓轉換的檢測原理、檢測信號與參考信號的解調(diào)原理、橢圓參數(shù)的解算方法、控制輸出的調(diào)制原理以及靜電力的驅動原理[30-32],分別搭建相應的Simulink模塊,互聯(lián)之后組成振動陀螺的仿真平臺如圖3所示,圖中以順序序號1～6依次標出所搭建的模塊。仿真模型中的振動陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進動角可以直接表征外界的轉動角度。
離散滑模控制或PID控制方法可在圖3中編號5所示的控制輸出調(diào)制模塊內(nèi)搭建實現(xiàn)。為了后續(xù)能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄嶋H工程中應用,離散滑?？刂剖褂米远x的通用函數(shù)模塊且以編程的方式實現(xiàn)?？紤]實際情況中驅動信號比檢測信號的幅值通常大2個數(shù)量級以上,因此驅動信號與檢測信號在實際的電路中會存在串擾問題。當擾動較大時,甚至會導致振動陀螺起振時的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實際情況,在圖3中編號為2的檢測模塊和編號為6的驅動模塊內(nèi)加入了信號串擾的模型。
為了驗證離散滑模控制的有效性,分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉輸入2種情況進行仿真對比實驗。
3.2 靜止條件下仿真
設置外界輸入轉速為0°/s,目標值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時,PID的參數(shù)選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說明的是,選取上述PID參數(shù)的依據(jù)是仿真程序在調(diào)試過程中抗串擾效果最好。而離散滑?？刂瓶梢酝ㄟ^控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)在受到干擾時具有強魯棒性,因此能更好地降低串擾帶來的影響。
當對主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r,控制律式(18)中各參數(shù)的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數(shù)與PID控制仿真情況下設置一致。將這2種控制方法得到的仿真結果放置在同一張圖中對比,如圖4和圖5所示,圖中藍色實線表示PID控制的結果,紅色實線表示離散滑?？刂频慕Y果,黑色實線表示理論的駐波進動角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結果為1 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑?？刂谱饔孟?主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉條件下仿真
設定外界輸入轉速為100°/s,振動陀螺進動因子γ為0.27。用第3.2節(jié)同樣的PID參數(shù)、離散滑模控制參數(shù)和目標值矩陣,得到仿真結果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變?yōu)?0 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實現(xiàn)了主波振幅a更快速度地跟蹤目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝油勇輽E圓參數(shù)的控制系統(tǒng)中,用來控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進而減小了振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數(shù)誤差。從10 s內(nèi)的PID控制與離散滑?？刂频姆抡娼Y果對比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標度因數(shù)誤差減小了5 ppm。仿真結果體現(xiàn)了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動陀螺得到的研究成果可廣泛應用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發(fā)與設計中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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