梁 麗 王佳楠 王春彥 鄧 方

1.北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 北京 100029 2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院 北京 100081 3.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京 100081

世界各國(guó)家軍備競(jìng)爭(zhēng)不斷加劇, 隨著導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的不斷完善化和系統(tǒng)化, 導(dǎo)彈的突防問(wèn)題也成為了國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的焦點(diǎn), 期望導(dǎo)彈具有突破敵方導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的能力與其進(jìn)行對(duì)抗, 并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行精準(zhǔn)的打擊[1-6]. 導(dǎo)彈突防問(wèn)題是一個(gè)由攻擊彈、目標(biāo)、攔截彈組成的三體博弈問(wèn)題, 稱之為目標(biāo)-攻擊-防御（target-attacker-defender, TAD）問(wèn)題[7-9]. 其中,目標(biāo)要躲避攻擊彈的攻擊, 攻擊彈的目的是攻擊目標(biāo)且避免被攔截彈攔截, 攔截彈的目的是攔截攻擊彈以保護(hù)目標(biāo)避免被攻擊彈攻擊, 目標(biāo)與攔截彈合作組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)與攻擊彈進(jìn)行對(duì)抗.

TAD 應(yīng)用情景最早見(jiàn)于文獻(xiàn)[10]. 近年來(lái), TAD問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[11-14]. 文獻(xiàn)[15]提出了一種防御制導(dǎo)導(dǎo)彈為保護(hù)空中目標(biāo)對(duì)抗來(lái)襲自尋的導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)律, 設(shè)計(jì)了一個(gè)多模型自適應(yīng)估計(jì)器（multiple model adaptive estimator, MMAE）來(lái)識(shí)別輸入導(dǎo)彈的導(dǎo)引律和參數(shù), 利用空中目標(biāo)和防御導(dǎo)彈之間的合作來(lái)優(yōu)化制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[16]從追逃微分對(duì)策的角度, 在局中人動(dòng)態(tài)特性線性化的基礎(chǔ)上,假設(shè)來(lái)襲導(dǎo)彈采取比例導(dǎo)引、增廣比例導(dǎo)引或最優(yōu)制導(dǎo)的具體極限情況；美國(guó)萊特-帕特森空軍基地的Pachter 教授等從定量微分對(duì)策的角度分析了TAD 問(wèn)題[17-18]. 上述研究都是從定量的角度給出局中人的策略, 沒(méi)有研究定性微分對(duì)策的求解.

文獻(xiàn)[7]提出了攻擊者角色切換策略與目標(biāo)-防御者的合作策略；文獻(xiàn)[8]綜合考慮導(dǎo)彈突防成功率和對(duì)目標(biāo)打擊精度的需求, 基于質(zhì)點(diǎn)模型在二維平面中構(gòu)建了TAD 問(wèn)題的統(tǒng)一模型, 并求解了TAD 定性微分對(duì)策, 給出了對(duì)策的解析解. 然而, 在導(dǎo)彈攻擊艦船的實(shí)際場(chǎng)景中, 攻擊彈、攔截彈和艦船并不在一個(gè)運(yùn)動(dòng)平面中, 因此, 需要研究不同運(yùn)動(dòng)平面中的導(dǎo)彈突防成功的條件和突防策略.

本文將不同運(yùn)動(dòng)平面的三人問(wèn)題抽象成一個(gè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限的TAD 問(wèn)題, 重點(diǎn)分析目標(biāo)帶有運(yùn)動(dòng)約束TAD 問(wèn)題的特點(diǎn), 運(yùn)用TAD 微分對(duì)策的求解思路結(jié)合阿波羅尼奧斯圓原理, 研究目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限的TAD 微分對(duì)策定性求解方法, 給出攻擊者突防成功的條件和突防策略.

1 問(wèn)題描述

本文針對(duì)機(jī)載反艦導(dǎo)彈突防策略展開(kāi)研究. 攻擊彈（攻擊者attacker）對(duì)一個(gè)具有機(jī)動(dòng)能力和防御能力的艦船（目標(biāo)target）進(jìn)行打擊, 該艦船在意識(shí)到導(dǎo)彈攻擊威脅時(shí)機(jī)動(dòng)躲避, 同時(shí)自身或請(qǐng)求友鄰平臺(tái)發(fā)射一枚防御彈（防御者defender）攔截攻擊彈, 攻擊彈要突破防御彈的攔截實(shí)現(xiàn)對(duì)艦船目標(biāo)的打擊. 攻擊彈、艦船和防御彈三者構(gòu)成一個(gè)TAD 三體博弈問(wèn)題. 為了概念一致, 下文用目標(biāo)、攻擊者和防御者來(lái)描述.

圖1 反艦導(dǎo)彈攻防示意圖Fig.1 Schematic diagram of anti-ship missile engagement

1.1 TAD 微分對(duì)策的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

攻擊者和防御者在空中運(yùn)動(dòng), 而目標(biāo)在海平面運(yùn)動(dòng), 為了求解TAD 三體博弈問(wèn)題, 假設(shè)攻擊彈和防御彈的運(yùn)動(dòng)平面與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)平面相交于一線, 目標(biāo)只能在此相交線上移動(dòng), 即航向角=0°或180°. 如圖2 所示. 因此, 這是一個(gè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限的TAD三體博弈問(wèn)題.

圖2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)能力受限的TAD 微分對(duì)策Fig.2 TAD differential game with limited target motion ability

1.2 終止條件（目標(biāo)集）

攻擊者目的在于追捕目標(biāo)的同時(shí)避免被防御者攔截, 而防御者試圖在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)捕獲攻擊者, 以防目標(biāo)被攻擊者捕獲. 因此, 攻擊者的目標(biāo)集表示為

其中, RC和rC為正常數(shù), 分別表示攻擊者和防御者的捕獲半徑. 如果攻擊者與目標(biāo)之間的距離小于攻擊者的捕獲半徑RC, 攻擊者成功捕獲目標(biāo)；如果攻擊者與防御者之間的距離小于防御者的捕獲半徑, 防御者成功捕獲攻擊者.

目標(biāo)的目標(biāo)集為

防御者的目標(biāo)集為

顯然, 在TAD 微分對(duì)策中存在3 個(gè)目標(biāo)集邊界,傳統(tǒng)的求解倒退軌跡方程法無(wú)法求解這個(gè)定性微分對(duì)策, 因此, 本文應(yīng)用阿波羅尼奧斯原理結(jié)合幾何分析法求解攻擊者突防成功的條件.

2 TAD 微分對(duì)策定性求解

2.1 阿波羅尼奧斯圓原理

首先考慮攻擊者和防御者之間的博弈問(wèn)題, 引入阿波羅尼斯圓（Apollonius circle）的概念, 阿波羅尼斯圓是一個(gè)到平面上兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)且不等于1 的點(diǎn)的軌跡, D（xD, yD）和A（xA, yA）分別是防御者D 和攻擊者A 的位置, 阿波羅尼斯圓O1為點(diǎn)P 的軌跡, 使得為常數(shù), 且β>1. 由幾何分析,可求出圓心的坐標(biāo)為

半徑為

對(duì)于一個(gè)無(wú)界區(qū)域內(nèi)的單對(duì)單追逃博弈（PE 博弈）, 當(dāng)兩個(gè)博弈者都以簡(jiǎn)單質(zhì)點(diǎn)模型運(yùn)動(dòng)時(shí), 通過(guò)構(gòu)造阿波羅尼奧斯圓可以得到博弈的完全解[19-20]. 因此, 給出如下定義.

定義1 設(shè)P 和E 是追逃博弈中的兩個(gè)局中人,空間中P 能比E 先到達(dá)的所有點(diǎn)W（x, y）所組成的集合, 稱之為P 的優(yōu)勝區(qū)域, 記為ΩP.

2.2 攻擊者贏得條件

防御者和攻擊者構(gòu)成一個(gè)追逃博弈, 其中, 防御者是追捕者, 攻擊者是逃跑者. 攻擊者A 和防御者D之間的阿波羅尼奧斯圓用O1表示, 圓O1內(nèi)部為防御者D 的優(yōu)勝區(qū)域, 外部為攻擊者A 的優(yōu)勝區(qū)域, 如果A 朝向圓O1內(nèi)運(yùn)動(dòng), 必然會(huì)被防御者D 攔截, 因此,根據(jù)阿波羅尼奧斯圓原理, 如果目標(biāo)T 總能在防御者D 的優(yōu)勝區(qū)域里, 目標(biāo)T 就能逃離攻擊者A 的攻擊或者使得防御者D 成功攔截到攻擊者A, 因此, 攻擊者A 要想贏得對(duì)策, 必須在目標(biāo)T 進(jìn)入防御者D的優(yōu)勝區(qū)域之前攻擊到目標(biāo)T. 攻擊者A 攻擊到目標(biāo)T 的位置點(diǎn)正好在攻擊者A 與防御者D 的阿波羅尼奧斯圓上是雙方對(duì)抗是否成功的臨界條件. 因此, 給出如下定理.

定理1 如果系統(tǒng)初始狀態(tài)滿足條件

證明：

目標(biāo)T 的可達(dá)區(qū)域是目標(biāo)T 在被攻擊者A 捕獲前所能到達(dá)的軌跡點(diǎn), 由于目標(biāo)T 只能沿直線運(yùn)動(dòng),如果不考慮防御者的攔截, 攻擊者A 會(huì)在目標(biāo)T 的運(yùn)動(dòng)線上將其捕獲.

假設(shè)攻擊者和目標(biāo)經(jīng)過(guò)時(shí)間△t 后分別從各自的初始位置移動(dòng)到點(diǎn)C, 如圖3 所示.

圖3 攻擊者的優(yōu)勝區(qū)域Fig.3 The dominant area of the attacker

根據(jù)三角定理有如下方程

設(shè)攻擊者A 和目標(biāo)T 之間的速度比為α, 有

根據(jù)余弦定理有

將式（6）和式（7）代入式（5）有

計(jì)算得出

那么C 點(diǎn)坐標(biāo)可寫(xiě)為

如果C 點(diǎn)處于攻擊者的優(yōu)勝區(qū)域, 攻擊者就可以在被防御者攔截之前攻擊到目標(biāo), 因此, 攻擊者捕獲目標(biāo)贏得對(duì)策的條件可以表示為

將式（2）和式（9）代入式（10）可得到式（4）.

注：攻擊者的贏得條件（4）事實(shí)上就是目標(biāo)-攻擊-防御微分對(duì)策的界柵, 它將整個(gè)對(duì)策空間分成兩部分, 當(dāng)對(duì)策的初始條件滿足條件（4）時(shí), 攻擊者能贏得對(duì)策, 當(dāng)條件（4）不滿足時(shí),防御者和目標(biāo)贏得對(duì)策.

為了直觀地顯示和理解界柵, 在坐標(biāo)系中繪制這個(gè)邊界條件, 假設(shè)目標(biāo)和防御者之間的距離r 為10, 目標(biāo)T 和防御者D 的坐標(biāo)分別為xT=（0, 0）和xD=（10, 0）, 攻擊者A 的坐標(biāo)為xA=（x, y）. 圖4 顯示了界柵與相對(duì)參數(shù)變化之間的關(guān)系, 曲線內(nèi)部（除D 點(diǎn)外）是攻擊者的贏得區(qū)域, 曲線和曲線外部是目標(biāo)-防御者團(tuán)隊(duì)的贏得區(qū)域. 攻擊者贏得區(qū)域的大小與目標(biāo)防御者之間的距離r 成正比, 與速度比參數(shù)α 和β 成反比. 當(dāng)參數(shù)β 和r 不變時(shí), α 越大, 攻擊者的贏得區(qū)域越小, α 越小, 攻擊者的贏得區(qū)域越大（如圖4（a）所示）. 當(dāng)參數(shù)α 和r 不變時(shí), β 越大, 攻擊者的贏得區(qū)域越小, β 越小, 攻擊者的贏得區(qū)域越大（如圖4（b）所示）.

圖4 不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的攻擊者的贏得區(qū)域Fig.4 The dominant area of the attacker corresponding to different parameters

如圖5 所示, 紅色曲線為本文目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限條件下的界柵, 綠色曲線為文獻(xiàn)[6]中目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力不受限時(shí)的界柵, 曲線內(nèi)部為攻擊者的贏得區(qū)域,曲線外部為防御者和目標(biāo)的贏得區(qū)域, 顯然, 當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)能力受限時(shí), 攻擊者的贏得區(qū)域會(huì)相應(yīng)增加,與實(shí)際情況相一致.

圖5 攻擊者的贏得區(qū)域?qū)Ρ葂T=（0, 0）, xD=（10, 2）, α=0.6, β=0.8Fig.5 The comparison of the attacker’s dominant area xT=（0, 0）, xD=（10, 2）, α=0.6, β=0.8

3 目標(biāo)-攻擊-防御微分對(duì)策定量求解

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于攻擊者的贏得區(qū)域時(shí), 無(wú)論目標(biāo)-防御者團(tuán)隊(duì)采取何種策略, 攻擊者總能捕獲目標(biāo).這種情況下, 攻擊者的目的是在最短時(shí)間內(nèi)捕獲目標(biāo), 相反地, 目標(biāo)-防御者團(tuán)隊(duì)的目的是盡可能延長(zhǎng)目標(biāo)被捕獲的時(shí)間, 因此, 這個(gè)區(qū)域中的支付函數(shù)可以定義為

其中, tf為定量目標(biāo)-攻擊-防御微分對(duì)策的支付.

自然地, 引入哈密頓函數(shù), 有

含有協(xié)態(tài)變量的最優(yōu)控制輸入可以表示為:

在攻擊者的贏得區(qū)域, 目標(biāo)最終會(huì)被攻擊者捕獲, 終止條件可以表示為

將式（8）和式（14）代入式（15）

可以得到攻擊者的最優(yōu)控制角

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)將通過(guò)兩個(gè)仿真示例來(lái)說(shuō)明本文提出的界柵和最優(yōu)攻擊策略的有效性.

攻擊者和防御者的初始位置設(shè)為：xT0=0 km 和0 km, 攻擊者的速度設(shè)為10 km 和2 km, 速度比α=0.6, β=0.8.

當(dāng)攻擊者的初始位置位于攻擊者的贏得區(qū)域時(shí),設(shè)xA=（4,7）.攻擊者在位置（4.2 km,0 km）處攻擊到目標(biāo), 打擊成功, 耗費(fèi)時(shí)間為140 s, 如圖6 所示.

圖6 攻擊者成功打擊目標(biāo)Fig.6 The attacker successfully attacked the target

當(dāng)攻擊者的初始位置處于贏得區(qū)域外圍時(shí), 設(shè)xA=（5,8）, 防御者在位置（4.8 km,1.5 km）處攔截到攻擊者, 成功保護(hù)目標(biāo), 耗費(fèi)時(shí)間為130 s, 如圖7 所示.

圖7 防御者成功攔截攻擊者Fig.7 The defender successfully intercepted the attacker

5 結(jié)論

針對(duì)導(dǎo)彈攻擊具有防御導(dǎo)彈保護(hù)和機(jī)動(dòng)躲避能力的目標(biāo)的三體博弈問(wèn)題, 將不同運(yùn)動(dòng)平面的三人問(wèn)題抽象成一個(gè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限的目標(biāo)-攻擊-防御微分對(duì)策問(wèn)題, 構(gòu)建了攻擊彈、防御彈和機(jī)動(dòng)能力受限目標(biāo)的三人微分對(duì)策模型, 運(yùn)用顯示策略法結(jié)合阿波羅尼奧斯圓原理, 求解了目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力受限的目標(biāo)-攻擊-防御定性微分對(duì)策, 給出攻擊者突防成功的條件和最優(yōu)突防策略的解析解, 為導(dǎo)彈突防打擊提供火力分配和制導(dǎo)策略的決策依據(jù).