劉 捷，賓紅華，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1]廣泛存在于人類社會(huì)和自然界，現(xiàn)實(shí)生活中很多系統(tǒng)都可以被看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如通信、電網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、控制工程及系統(tǒng)科學(xué)等。在模型上，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由大量相互連接的單個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以看作是一個(gè)具有一定動(dòng)態(tài)特征和信息存儲(chǔ)能力的動(dòng)力系統(tǒng)，用邊來表示節(jié)點(diǎn)之間相互作用。因此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在這些動(dòng)力學(xué)節(jié)點(diǎn)及其耦合連接的整體拓?fù)湎?，常常表現(xiàn)出非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特征。同步作為復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中一種有趣而重要的集聚行為，所有節(jié)點(diǎn)利用它們之間的信息交換來驅(qū)動(dòng)到共同狀態(tài)，近年來得到了人們的廣泛關(guān)注，并且有著廣泛的潛在應(yīng)用，如在機(jī)器人、飛行器和水下潛航器編隊(duì)以及工業(yè)、電氣、通信、生產(chǎn)等方面[2-3]。因此，一般動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步控制是一個(gè)值得深入研究的課題。

然而，由目前的文獻(xiàn)可知，大部分關(guān)于連續(xù)時(shí)間[4]和離散時(shí)間[5]動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步工作是分開進(jìn)行的。一方面，連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究之間有許多重復(fù)的結(jié)果，因此在許多情況下，單獨(dú)研究它們是多余的。另一方面，包含連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步更符合實(shí)際。例如，大腦中的一些神經(jīng)元在白天是活躍的，在晚上是不活躍的，而它們?cè)诘诙鞎?huì)重新被激活，如此循環(huán)。此外，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)間域并不總是眾所周知的連續(xù)時(shí)間間隔或離散時(shí)間域。因此，研究廣義時(shí)間域上的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)具有重要的意義[6]。為此，時(shí)間尺度理論(時(shí)標(biāo)微積分)[7-8]提出了一種統(tǒng)一動(dòng)態(tài)系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的方法。如實(shí)數(shù)集R和整數(shù)集Z是2種特殊類型的時(shí)間尺度，基于時(shí)間尺度的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以包含連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間，當(dāng)選擇實(shí)數(shù)集R作為時(shí)間尺度，可得到連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，選擇整數(shù)集Z作為時(shí)間尺度，可得到離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

目前，已有學(xué)者將時(shí)間尺度微積分理論引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究，得到了很多很好的結(jié)果。如：文獻(xiàn)[9]研究了在時(shí)間尺度上具有分布式牽制脈沖控制的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)外同步問題；文獻(xiàn)[10]研究了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間尺度上的牽制同步；文獻(xiàn)[11]研究了在時(shí)間尺度上的具有時(shí)變拓?fù)涞膹?fù)雜網(wǎng)絡(luò)脈沖同步；文獻(xiàn)[12]提出了在時(shí)間尺度上同時(shí)具有泄漏延遲和耦合延遲復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的同步準(zhǔn)則；文獻(xiàn)[13]研究了非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的在時(shí)間尺度上的牽制間歇指數(shù)同步；文獻(xiàn)[14]研究了在時(shí)間尺度上的基于事件的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間間隔牽制控制及應(yīng)用；文獻(xiàn)[15]導(dǎo)出了一類多智能體系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的一致性準(zhǔn)則；文獻(xiàn)[16]引入時(shí)標(biāo)型一致漸進(jìn)穩(wěn)定函數(shù)，并將改進(jìn)的穩(wěn)定性定理應(yīng)用于多智能體系統(tǒng)，解決系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的一致性問題。由此可以看出，在時(shí)間尺度上研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)可以簡(jiǎn)化和省去許多重復(fù)的工作。

眾所周知，控制器在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步過程中起著重要作用。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步普遍的控制方法是在網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上添加一個(gè)控制器。有代表性的控制方法包括激活反饋控制、線性分離控制、線性耦合控制、滑?？刂频萚17]。有效的控制策略有間歇控制、自適應(yīng)控制、脈沖控制、采樣控制、切換控制、事件觸發(fā)控制等[18]。為了實(shí)現(xiàn)一般復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的同步，本文在文獻(xiàn)[19]所提出的分布式PI控制的啟發(fā)下，提出了PS控制器，解決了一般動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間尺度上的指數(shù)型同步問題,使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在包含連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的廣義時(shí)域上達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。此外，本文在文獻(xiàn)[20]模型的基礎(chǔ)上，引用了文獻(xiàn)[21]的定理，并在設(shè)計(jì)的PS控制器的作用下，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)同步，并將結(jié)果推廣到更一般復(fù)雜時(shí)域的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中。

1 預(yù)備知識(shí)和網(wǎng)絡(luò)模型

本節(jié)給出了一些關(guān)于時(shí)間尺度的基本定義及相關(guān)概念。相關(guān)的理論背景可以參考文獻(xiàn)[7-8]。

現(xiàn)考慮由N個(gè)相同的耦合節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的一般復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程[20]可以表述為

(1)

其中：x(t)=(xi1(t),…,xin(t))T∈Rn；f:Rn→Rn表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)方程。A=(aij)∈RN×N是節(jié)點(diǎn)間耦合矩陣。如果節(jié)點(diǎn)i能收到來自節(jié)點(diǎn)j的信息，則aij=1;否則aij=0，i≠j，i,j=1,2,…,N，且aii=0。

設(shè)受控網(wǎng)絡(luò)為:

(2)

其中ui為控制器。則誤差方程為：

(3)

其中：ei(t)=(ei1(t),…,ein(t))T=yi(t)-xi(t)。

e△(t)=F(y(t))-F(x(t))+(A?In)e(t)+U,

(4)

其中：?表示Kronecker積；In是一個(gè)n×n的單位矩陣。

定義1 令f:T→R,t∈Tk，稱f△(t)為f在t處的△-導(dǎo)數(shù)，若對(duì)任意ε>0，存在t的鄰域U?T，有|[f(σ(t))-f(s)]-f△(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,?s∈U,若f△(t)在任意的t∈Tk均存在，則稱f是△-可微的。

引理1[7]若f,g:T→R在任意的t∈Tk上是可微的，則有f(σ(t))=f(t)+μ(t)f△(t)；(fg)△=f△g+fσg△=f△gσ+fg△。

假設(shè)1 設(shè)F滿足Lipschitz條件‖F(xiàn)(y(t))-F(x(t))‖≤υ‖e(t)‖,其中常數(shù)υ>0。

引理3[22]記x∈Rn,y∈Rn,則對(duì)任意l>0，有xTy+yTx≤lxTx+l-1yTy。

定義2 對(duì)系統(tǒng)任意的初始條件ψi(s)∈C([-τ,0]T,Rn)，存在常數(shù)ε>0、M>0以及一個(gè)足夠大常數(shù)T>0，使得‖yi(t)-xi(t)‖≤Me?ε(t,0),t>T,i=1,2,…,N，則稱網(wǎng)絡(luò)(1)和控制網(wǎng)絡(luò)(2)可實(shí)現(xiàn)指數(shù)型同步。

引理4[21]設(shè)V(t)是一個(gè)定義在時(shí)間尺度T上的函數(shù)且滿足：

(5)

V(s)=|φ(s)|,s∈[t0-τ*,t0]T，

(6)

(7)

(8)

2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)型同步

(9)

由式(9)可得

V△(t)+a(t)V(t)≤[2(υ+λmax(A?In)-σp)+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp)2+

a(t)+lσs+lμ(t)σs(υ+λmax(A?In)-σp)]eT(t)e(t)+

(10)

設(shè)計(jì)合適的σp和σs，使

2(υ+λmax(A?In)-σp)+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp)2+a(t)+lσs+

lμ(t)σs(υ+λmax(A?In)-σp)<0，

(11)

即

[2+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp+lσs)](υ+λmax(A?In)-σp)+a(t)+lσs<0，

(12)

從而

(13)

可令

(14)

3 數(shù)值模擬

假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)的初值在[-5,5]之間選取，基于定理1，可取σp=10，σs=1，l=1，a(t)<14.894 1，所以可取a(t)=10，b(t)=1.041 4。節(jié)點(diǎn)和誤差的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖1～圖3。

4 結(jié)論

本文研究了具有PS控制器的一般動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間尺度下的指數(shù)型同步問題。根據(jù)提出的PS控制協(xié)議，利用線性時(shí)滯動(dòng)態(tài)方程及相應(yīng)的不等式，得到了在時(shí)間尺度下動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)型同步。推廣了文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]的相關(guān)研究，使得動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的研究應(yīng)用到更一般復(fù)雜時(shí)域的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中。在今后的研究中，將繼續(xù)推進(jìn)在時(shí)間尺度下動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的研究，具體研究動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間尺度下不同控制策略的同步問題，如時(shí)間尺度下的牽制控制、脈沖控制以及切換控制等。