惠更斯原理與空間維度

楊師杰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，廣東 珠海 519087)

惠更斯原理是指波面上的每一點(diǎn)都可視作子波源,子波的波速與頻率等于原來(lái)的波速和頻率,子波波面的包絡(luò)構(gòu)成次級(jí)波的波面. 惠更斯原理可以解釋光的直線傳播、反射、折射等,甚至還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象.運(yùn)用惠更斯原理可以證明光密介質(zhì)比光疏介質(zhì)中光波的傳播速度小,這個(gè)結(jié)論與牛頓的微粒說(shuō)結(jié)論正好相反,在歷史上曾為確立光的波動(dòng)觀念起過(guò)積極作用.

菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上，提出子波之間相干疊加,由此發(fā)展成為惠更斯-菲涅耳原理. 本文的目標(biāo)是從數(shù)學(xué)上探討這個(gè)原理究竟是否成立,以及在何種程度上它們是合理的.通過(guò)直接求解不同維度空間的波動(dòng)方程, 我們揭示惠更斯原理僅適用于一維和三維空間, 對(duì)于二維空間則不適用[1]. 我們還討論了這個(gè)結(jié)論的可能后果.

1 三維空間波的傳播

一維無(wú)限長(zhǎng)的波動(dòng)方程的解稱作達(dá)朗貝爾公式：

u=f1(x+at)+f2(x-at)

其中f1、f2是與初始狀態(tài)有關(guān)的待定函數(shù).它表明初始的波分解為2個(gè)獨(dú)立的子波,分別沿正負(fù)兩個(gè)方向勻速傳播,且波形始終保持不變.其物理意義是任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),只由此前t時(shí)刻、距離為at的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定, 因此一維空間波的傳播符合惠更斯原理.

下面考察機(jī)械波在三維無(wú)界空間的傳播.波動(dòng)方程為

將方程和初始條件都作三維傅里葉變換,得到

其中k=|k|，解得像函數(shù)：

先對(duì)第2項(xiàng)作三維傅里葉逆變換, 有[2]

最后一步的第1項(xiàng)由于|r-r′|和at均大于0,所以狄拉克δ函數(shù)積分為零.像函數(shù)的第一項(xiàng)具有和第2項(xiàng)一樣的形式,所以原函數(shù)為

該式被稱作泊松公式,它表明波的振幅隨時(shí)間或者傳播距離成反比關(guān)系,這是符合能量守恒定律的.

三維波動(dòng)方程解中的Sr表示距離場(chǎng)點(diǎn)r為at的所有點(diǎn)r′構(gòu)成的球面,如圖1(a)所示,處于原點(diǎn)的灰色區(qū)域?yàn)槌跏疾ò?因此公式中的有效積分范圍是處于灰色區(qū)域內(nèi)的球面部分.該面積分的物理意義是,r點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是此前t時(shí)刻距離為at的所有球面點(diǎn)r′運(yùn)動(dòng)的疊加,由于積分中出現(xiàn)了狄拉克函數(shù),在r′點(diǎn)的更早或更晚的運(yùn)動(dòng)都不會(huì)對(duì)r點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生任何影響,這恰好就是惠更斯原理的實(shí)質(zhì).由此得出結(jié)論:波在三維空間傳播時(shí)也符合惠更斯原理.

圖1 (a) 三維波傳播的球面區(qū)域與初始三維波形的交疊;(b) 二維波傳播的圓形區(qū)域與初始二維波形的交疊

2 二維空間波的傳播

對(duì)于二維無(wú)界空間中的波動(dòng)問(wèn)題：

同樣采用傅里葉變換法,有

先對(duì)第2項(xiàng)作傅里葉逆變換,并利用貝塞爾函數(shù)的積分性質(zhì),得[2]

最后一步利用了積分公式[3]：

所以二維波動(dòng)方程的解為

3 數(shù)值結(jié)果

圖2形象地展示了二維和三維空間中波的傳播.假設(shè)初始時(shí)原點(diǎn)處有一個(gè)高斯型波包,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,二者表觀上相似,但實(shí)際上,三維空間的波前內(nèi)部已經(jīng)完全恢復(fù)到平衡位置,而二維空間各處始終存在偏離平衡位置的位移.

為了更清楚地顯示這一特征,我們?cè)趫D3中描繪了不同時(shí)刻一、二、三維波在x軸上的徑向分布.圖中可見(jiàn)三維和一維空間中波的運(yùn)動(dòng)特征一致,波的傳播符合惠更斯原理,而二維空間中波的傳播更像是擴(kuò)散過(guò)程,因此在某些教科書(shū)中用來(lái)示例惠更斯原理的水面波[圖4(b)],其傳播規(guī)律恰恰不符合惠更斯原理.

圖3 機(jī)械波在一維、二維、三維空間的傳播(圖中顯示一維和三維情形,中心部分質(zhì)點(diǎn)回復(fù)到平衡位置,但二維的質(zhì)點(diǎn)始終偏離平衡位置)

圖4 (a) 二維子波的傳播；(b) 實(shí)際的水表面波傳播圖

4 討論

我們可以在球坐標(biāo)系中分析三維和一維波傳播的相似之處.考慮球?qū)ΨQ波的徑向部分[2]：

該方程與一維波動(dòng)方程形式上很相像,可化為

參照一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,其解可表示為

兩項(xiàng)分別表示球面發(fā)散波和會(huì)聚波的徑向部分,所以滿足惠更斯原理.

作為對(duì)比,二維波動(dòng)方程的徑向部分有顯著的區(qū)別，即

它看上去更像是一個(gè)非齊次方程,右邊與u(r,t)有關(guān)的項(xiàng)表明,空間中任何點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)一直影響全部波場(chǎng)的運(yùn)動(dòng),這顯然不符合惠更斯原理.事實(shí)上,凡是偶數(shù)維空間的波動(dòng)方程都會(huì)有同樣的問(wèn)題[1],似乎子波源產(chǎn)生的波不只是向前傳播,還會(huì)向后傳播,如圖4(a)所示,并且余音裊裊.因此建立在樸素直觀上的惠更斯原理,在二維及偶數(shù)維空間中并不成立.

當(dāng)波在一維或三維空間中傳播時(shí),信號(hào)是清晰可辨和前后互不干擾的.而在二維的世界里說(shuō)話,耳朵聽(tīng)到的將是前后混雜且持續(xù)不斷的嗡嗡聲,根本不可能聽(tīng)到美妙的歌聲.信號(hào)在空間中傳播的保真性并不像人們想象的那樣,是理所當(dāng)然的.就其內(nèi)在和諧性而言,三維世界在各種維度空間中是非常獨(dú)特的,我們很幸運(yùn)地生活在其中.

本文結(jié)論同樣適用于電磁波在無(wú)界空間的傳播.