【摘 要】數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，是數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)過(guò)程的主要表現(xiàn)形式，而教材作為傳承數(shù)學(xué)知識(shí)和文化的重要載體，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的指導(dǎo)作用。研究者從歷史起源和內(nèi)容兩個(gè)維度，分析多元文化背景下數(shù)學(xué)史在新舊教材中的滲透情況。結(jié)果表明，新舊教材史料基本一致，數(shù)學(xué)史來(lái)源比例過(guò)于懸殊，數(shù)學(xué)史應(yīng)用水平較低。為此，研究者建議重視史料教育作用，增加史料引用數(shù)量;平衡不同起源史料，適應(yīng)多元文化背景;提高史料應(yīng)用水平，促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】多元文化;教材;數(shù)學(xué)史

【作者簡(jiǎn)介】林劍，中國(guó)人民解放軍陸軍特種作戰(zhàn)學(xué)院助教，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，教師應(yīng)在教學(xué)活動(dòng)中有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中。數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，是數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)過(guò)程的主要表現(xiàn)形式[1]，而教材作為傳承數(shù)學(xué)知識(shí)和文化的重要載體，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的指導(dǎo)作用。在多元文化背景下，為堅(jiān)定文化自信，滲透數(shù)學(xué)文化，教材中數(shù)學(xué)史料的來(lái)源不應(yīng)囿于單一區(qū)域或某一國(guó)家。因此，研究數(shù)學(xué)史在教材中的來(lái)源占比以及應(yīng)用方式是否適應(yīng)多元文化時(shí)代背景的要求具有重要意義。為了解目前教材中數(shù)學(xué)史的來(lái)源是否適應(yīng)多元化社會(huì)的需求，其應(yīng)用能否達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生情感、態(tài)度與價(jià)值觀的目的。本研究從數(shù)學(xué)史的起源和應(yīng)用兩個(gè)維度出發(fā)[2]，對(duì)數(shù)學(xué)史在人教A版新舊教材中的滲透情況進(jìn)行對(duì)比分析。

二、數(shù)學(xué)史在新舊教材中的滲透情況比較

（一）比較維度

1.起源維度

數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了初等數(shù)學(xué)時(shí)期、變量數(shù)學(xué)時(shí)期以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期，其重心也進(jìn)行了歷次轉(zhuǎn)移，形成了現(xiàn)今系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。古代中國(guó)有著燦爛的數(shù)學(xué)文化，成書(shū)最遲在西漢的《九章算術(shù)》最早提到分?jǐn)?shù)與盈不足等問(wèn)題，《方程》章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。成書(shū)于公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》最早記載了勾股定理的公式與證明及其在測(cè)量上的應(yīng)用，以及怎樣將它們應(yīng)用到天文計(jì)算[3]。在16世紀(jì)初期，自然科學(xué)與工程的發(fā)展需求促使西方數(shù)學(xué)爆炸式發(fā)展，由幾何原本奠定的公理化研究方法為西方數(shù)學(xué)取得較大突破，伴隨著大航海時(shí)代全球經(jīng)貿(mào)的擴(kuò)張，使得西方數(shù)學(xué)乃至其他國(guó)家數(shù)學(xué)傳入中國(guó)。多年來(lái)，中西方數(shù)學(xué)思想不斷碰撞、融合，沉淀為如今的數(shù)學(xué)文化。因此，我國(guó)教材中數(shù)學(xué)史的引用主要有以下幾個(gè)來(lái)源。

（1）中國(guó)數(shù)學(xué)史（CM）

中國(guó)數(shù)學(xué)始于先秦時(shí)期，其注重對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解釋和再利用，形成以計(jì)算為核心的算法理論，具有濃郁的應(yīng)用色彩[4]。在內(nèi)容上多為對(duì)生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題進(jìn)行歸納和理性的處理，強(qiáng)烈實(shí)用主義雖然促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播，但同時(shí)也致使研究成果相對(duì)獨(dú)立，未能深究背后的邏輯，并形成完備的數(shù)學(xué)體系。中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)奠定了中國(guó)數(shù)學(xué)史是以生活情境解釋以及數(shù)學(xué)家事跡、成果為中心的歷史。

由于近現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)的發(fā)展，教材中大部分的公式、定理均源于西方數(shù)學(xué)，中國(guó)數(shù)學(xué)史的引用能讓學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)同樣有著非凡的成就，能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提升民族自豪感，堅(jiān)定文化自信。此外，以生活情境解釋以及數(shù)學(xué)家事跡、成果為中心的中國(guó)數(shù)學(xué)史更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，比較容易為學(xué)生所接受。

（2）西方數(shù)學(xué)史（WM）

與中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用性不同，西方數(shù)學(xué)注重邏輯性，旨在建立統(tǒng)一理論以解釋一切現(xiàn)象[5]。中西方數(shù)學(xué)的起源非常類(lèi)似，但在經(jīng)歷相似時(shí)期后，西方數(shù)學(xué)取得蓬勃發(fā)展，得益于近現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)沿用的是由幾何原本奠定的公理化研究方法，其通過(guò)抽象符號(hào)將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)而形成高度抽象化的數(shù)學(xué)體系。

在人教版教材中，微積分、解析幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容模塊均為西方數(shù)學(xué)研究成果，因此西方數(shù)學(xué)史是教材中數(shù)學(xué)史的重要組成部分。西方數(shù)學(xué)史的引用，一方面可以讓學(xué)生了解異于中國(guó)的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，另一方面可以開(kāi)拓學(xué)生視野，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的發(fā)展。

（3）多元文化數(shù)學(xué)史（MM）

多元文化數(shù)學(xué)史是指在不同文化背景下對(duì)同一問(wèn)題的獨(dú)立研究成果。數(shù)學(xué)史料“中外歷史上的方程求解”，以時(shí)間順序梳理了中外數(shù)學(xué)家關(guān)于方程解法的研究歷程，介紹了中外對(duì)于低次方程式不同的解法，闡明了五次以上高次方程的根式解不存在。教材中多元文化數(shù)學(xué)史的引入，能使學(xué)生感受到中西方思維的差異，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

（4）其他國(guó)家數(shù)學(xué)史（OM）

除西方數(shù)學(xué)史和中國(guó)古代數(shù)學(xué)史外，人教版教材的史料來(lái)源還涉及少數(shù)其他國(guó)家，如史料“弧度制發(fā)展史簡(jiǎn)介”就介紹了印度人曾用同一單位度量半徑和圓周，是現(xiàn)知的最早的弧度制概念的雛形，這能幫助學(xué)生理解概念引入的意義。

2.應(yīng)用維度

對(duì)教材中數(shù)學(xué)史的篇幅、欄目、內(nèi)容進(jìn)行文本比較、分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史在教材中的應(yīng)用存在差異，既有以提示框形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)家生平的介紹，也有以探究欄目引導(dǎo)的數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)證明。通過(guò)新舊教材數(shù)學(xué)史的分類(lèi)歸納，依據(jù)對(duì)學(xué)生思維能力發(fā)展的促進(jìn)程度不同，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用可分為以下四種類(lèi)型。

（1）簡(jiǎn)單介紹（T1）

簡(jiǎn)短介紹某一數(shù)學(xué)家及其研究成果。這類(lèi)數(shù)學(xué)史常以注釋的形式出現(xiàn)，例如史料“第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)”簡(jiǎn)短地介紹了該大會(huì)會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的[6]。該史料引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖形各部分面積間的關(guān)系，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的相等或不等關(guān)系，進(jìn)而引入基本不等式的概念，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

（2）詳盡介紹（T2）

詳細(xì)介紹某種數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案，即某種算法或某一數(shù)學(xué)家的故事，但以結(jié)論的形式呈現(xiàn)，不對(duì)其探究過(guò)程或歷史背景做深入闡述。這類(lèi)數(shù)學(xué)史常以閱讀與思考的形式出現(xiàn)，例如史料“中外歷史上的方程求解”詳盡地介紹了中外歷史上關(guān)于方程的解法，以時(shí)間順序還原了方程求解從低次向高次不斷推進(jìn)的過(guò)程，拓寬學(xué)生的視野。

（3）引領(lǐng)探究（T3）

介紹某種算法、概念或數(shù)學(xué)家的成果和結(jié)論，并解釋其探究過(guò)程或文化背景，將數(shù)學(xué)產(chǎn)物與人物、歷史背景、探究過(guò)程結(jié)合起來(lái)。這類(lèi)數(shù)學(xué)史常以閱讀與思考的形式出現(xiàn)，例如史料“三角學(xué)與天文學(xué)”將三角學(xué)伴隨著天文學(xué)發(fā)展的起源與推廣過(guò)程復(fù)現(xiàn)，使學(xué)生了解知識(shí)形成的歷史背景及來(lái)龍去脈，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)。

（4）自主探究（T4）

介紹數(shù)學(xué)知識(shí)及其相關(guān)背景并提出問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生探究、推理或完成實(shí)驗(yàn)，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上得出新的結(jié)論。這類(lèi)數(shù)學(xué)史常以實(shí)習(xí)作業(yè)形式出現(xiàn)，例如史料“函數(shù)的形成與發(fā)展”要求學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行探究，了解函數(shù)的發(fā)展歷程與廣泛應(yīng)用，有效地培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在自主探究中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化[7]。

（二）滲透情況

2019年人教A版高中數(shù)學(xué)新教材包括2冊(cè)必修教材、3冊(cè)選擇性必修教材。本研究以人教A版必修一為例，對(duì)新舊教材共有內(nèi)容的數(shù)學(xué)史滲透情況進(jìn)行對(duì)比分析。新版教材必修一共包含“集合與常用邏輯用語(yǔ)”“一元二次函數(shù)、方程和不等式”“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”五章內(nèi)容，對(duì)應(yīng)舊版教材必修一全冊(cè)、必修四第一章、必修五第三章內(nèi)容模塊。按照新版教材內(nèi)容模塊的順序，從起源和應(yīng)用兩個(gè)對(duì)比維度對(duì)教材中的有關(guān)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行劃分[8]，其中“NP+頁(yè)碼”表示該史料內(nèi)容在2019年人教版教材中的具體頁(yè)碼，“OP+冊(cè)數(shù)+頁(yè)碼”則表示在2003年人教版教材中的具體冊(cè)數(shù)及相應(yīng)頁(yè)碼。

（三）對(duì)比分析

1.起源維度對(duì)比分析

從表1可知，新舊教材在數(shù)學(xué)史料選用上大部分一致，僅新增了“康托爾頭像及生平介紹”“對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展”，刪除了2003年人教版教材中的“對(duì)數(shù)與指數(shù)討論”，“牛頓冷卻模型”不做史料解釋?zhuān)且岳}的形式出現(xiàn)，新版教材總體上仍較多地以西方數(shù)學(xué)史作為史料的主要來(lái)源。以下對(duì)教材中的史料從起源維度進(jìn)行分析（見(jiàn)表2）。

基于表1對(duì)新舊教材中不同起源的數(shù)學(xué)史進(jìn)行分類(lèi)匯總，可得到不同起源數(shù)學(xué)史在新舊教材中的總量直方圖（如圖1）。

由圖1可以看出，在必修一中四種不同起源的數(shù)學(xué)史均有引用，但西方數(shù)學(xué)史是必修一內(nèi)容模塊中數(shù)學(xué)史的主要來(lái)源，占該冊(cè)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的63，中國(guó)數(shù)學(xué)史及其他國(guó)家數(shù)學(xué)史的引用比例相對(duì)較低。在圖1中，由于內(nèi)容模塊間數(shù)學(xué)史數(shù)量的增減變化，新舊教材在不同起源維度的數(shù)量相等，對(duì)新舊版本教材數(shù)學(xué)史在起源維度上進(jìn)行對(duì)比分析，依內(nèi)容模塊作圖如下（如圖2）。

由圖2可知，新版教材在每一個(gè)內(nèi)容模塊中均有數(shù)學(xué)史，在數(shù)量分布上比舊版教材更為合理。新版教材相較于舊版教材在“集合與常用邏輯用語(yǔ)”中增加了一則西方數(shù)學(xué)史，而在“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”中減少了一則西方數(shù)學(xué)史。因此，在新舊教材中，數(shù)學(xué)史的引用總量相等。

2.應(yīng)用維度對(duì)比分析

數(shù)學(xué)史不同的應(yīng)用程度，對(duì)學(xué)生思維能力發(fā)展的促進(jìn)程度也不同。新版教材對(duì)史料的運(yùn)用偏向于簡(jiǎn)單介紹，以史料為背景進(jìn)行引領(lǐng)探究和自主探究較少。以下對(duì)新舊教材史料的應(yīng)用維度進(jìn)行分析。

基于表3對(duì)新舊教材中不同應(yīng)用方式的數(shù)學(xué)史進(jìn)行分類(lèi)匯總，可得到不同應(yīng)用方式數(shù)學(xué)史在新舊教材中的總量直方圖（如圖3）。

由圖3易知，新舊教材中數(shù)學(xué)史在T4維度的數(shù)量一致，但結(jié)合表1內(nèi)容分析可知，新舊教材在T4維度的數(shù)學(xué)史料并不相同，新版教材新增了T4的方式應(yīng)用史料“對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展”，將原有的“牛頓冷卻模型”不做史料解釋?zhuān)且岳}形式出現(xiàn)。因此，新版教材相較于舊版教材在數(shù)學(xué)史的應(yīng)用方式上有所提高。

由圖4可知，新舊教材中數(shù)學(xué)史在各內(nèi)容模塊中的應(yīng)用方式均以介紹為主，引領(lǐng)學(xué)生探究或?qū)W生自主探究較少，僅在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”章節(jié)中對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用方式達(dá)T3及以上水平。

三、總結(jié)與反思

龐加萊認(rèn)為，如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，合適的途徑是研究這門(mén)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和文化的聯(lián)系。在多元文化的背景下，數(shù)學(xué)史的意義不再局限于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)體系與實(shí)現(xiàn)文化強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略目標(biāo)均具有重要的意義。

通過(guò)對(duì)新舊教材對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史料基本相同，未進(jìn)行大幅改動(dòng)。教材中數(shù)學(xué)史的來(lái)源主要以西方數(shù)學(xué)史為主，中國(guó)數(shù)學(xué)史、多元文化數(shù)學(xué)史、其他國(guó)家數(shù)學(xué)史的數(shù)量均不足;教材中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用主要以介紹為主，旨在介紹某一數(shù)學(xué)家或其相關(guān)成果，對(duì)問(wèn)題背景及演化過(guò)程的探究較少。因此，對(duì)于教材中數(shù)學(xué)史的編排，筆者建議可從以下三個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)。

（一）重視史料教育作用，增加史料引用數(shù)量

教材更新迭代工作煩瑣復(fù)雜，因此教材不能實(shí)時(shí)更新，一套教材的沿用往往長(zhǎng)達(dá)近十年時(shí)間，這就要求教材編寫(xiě)委員會(huì)應(yīng)具有前瞻性。在依內(nèi)容模塊對(duì)新舊教材的數(shù)學(xué)史料對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)，新版教材的數(shù)學(xué)史料大部分沿用舊版教材的，僅對(duì)幾處內(nèi)容進(jìn)行增減。舊版教材中數(shù)學(xué)史料無(wú)論在來(lái)源比例或是應(yīng)用水平上均未完善。教材中數(shù)學(xué)史的引入不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家研究治學(xué)的態(tài)度與精神能幫助學(xué)生形成正確的價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生的思維。由此，筆者建議教材編寫(xiě)委員會(huì)應(yīng)重視史料的人文與科學(xué)教育作用，增加教材中史料的引用數(shù)量，并適當(dāng)對(duì)史料的來(lái)源比例及應(yīng)用水平進(jìn)行調(diào)整。

（二）平衡不同起源史料，適應(yīng)多元文化背景

在多元文化的背景下，黨的十九大提出堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)社會(huì)主義文化繁榮興盛，要求堅(jiān)持不忘本來(lái)、吸收外來(lái)、面向未來(lái)。而在新舊教材中西方數(shù)學(xué)史均呈現(xiàn)出“一枝獨(dú)秀”的態(tài)勢(shì)。因此，平衡教材中不同起源的數(shù)學(xué)史料數(shù)量，特別是增加中國(guó)數(shù)學(xué)史的數(shù)量占比具有重要意義。隨著外來(lái)文化的不斷沖擊，增加中國(guó)數(shù)學(xué)史的數(shù)量有利于學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就，提升民族自豪感，堅(jiān)定文化自信。此外，適當(dāng)增加多元文化數(shù)學(xué)史及其他國(guó)家數(shù)學(xué)史，能更好地培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)多元文化的綜合能力。多元文化數(shù)學(xué)史強(qiáng)調(diào)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在中西方甚至更多其他國(guó)家中的研究歷史，讓學(xué)生感受解題邏輯背后的異同，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。其他國(guó)家數(shù)學(xué)史的引入旨在幫助學(xué)生理解概念的形成與發(fā)展過(guò)程，開(kāi)拓學(xué)生的視野[9]。

（三）提高史料應(yīng)用水平，促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，依據(jù)對(duì)學(xué)生思維能力發(fā)展的促進(jìn)程度不同，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用情況可分為簡(jiǎn)單介紹（T1）、詳盡介紹（T2）、引領(lǐng)探究（T3）、自主探究（T4）。在新舊教材中史料多以介紹形式呈現(xiàn)，以史料為背景引領(lǐng)學(xué)生探究或鼓勵(lì)自主探究較少，不利于學(xué)生邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者建議將T1類(lèi)型數(shù)學(xué)史改進(jìn)為T(mén)3、T4類(lèi)型的數(shù)學(xué)史，充分發(fā)揮在多元文化背景下數(shù)學(xué)史料的作用，鼓勵(lì)教師結(jié)合歷史背景解釋數(shù)學(xué)成果的探究過(guò)程。為照顧一些基礎(chǔ)薄弱、探究和創(chuàng)新能力不足的學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展需要，T4的數(shù)量應(yīng)略少于T3。同時(shí)，提高數(shù)學(xué)史料的應(yīng)用水平，在傳遞數(shù)學(xué)史的人文價(jià)值的同時(shí)發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：陸順演）