運(yùn)用辯證法，巧解數(shù)學(xué)題

高保國(guó)

摘 ?要：自然辯證法強(qiáng)調(diào)辯證思維和理論思維的重要性，對(duì)今天的教育科研和解題教學(xué)很有啟發(fā)和指導(dǎo)意義。自然辯證法可以開拓視野，開闊思路，擴(kuò)大知識(shí)面，改善知識(shí)結(jié)構(gòu)，使我們能夠?qū)２┙Y(jié)合，活躍思想，在所學(xué)的各門孤立的知識(shí)塊之間建立起聯(lián)系，加深了從整體上對(duì)自然界的本質(zhì)、特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，在頭腦里形成一幅較完整的自然界發(fā)展的辯證圖景，提高理論思維能力，提高自身綜合研究與分析問題的能力，這非常符合交叉科學(xué)時(shí)代對(duì)科技人才的要求。本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例，對(duì)辯證法在解題教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要的論述。

關(guān)鍵詞：自然辯證法;質(zhì)量互變規(guī)律;對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律;否定之否定;解題

毋庸置疑，自然辯證法為科研工作者提供了科學(xué)的認(rèn)識(shí)論和方法論的指導(dǎo)。著名科學(xué)家錢學(xué)森說(shuō)：“馬克思主義哲學(xué)確實(shí)是指導(dǎo)科學(xué)研究的重要武器，特別是自然辯證法?！敝麛?shù)學(xué)家楊樂、張廣厚也認(rèn)為：“唯物辯證法可以替一切科學(xué)的研究方法規(guī)定一個(gè)總的正確方向?！弊匀晦q證法在探討科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科學(xué)發(fā)明中的作用日趨顯著。高中生已經(jīng)學(xué)習(xí)了辯證法的基本知識(shí)，如果在數(shù)學(xué)解題中能夠進(jìn)行具體運(yùn)用，必將事半功倍。

恩格斯認(rèn)為，辯證法的規(guī)律“可以簡(jiǎn)化為下面三個(gè)規(guī)律：量轉(zhuǎn)化為質(zhì)和質(zhì)轉(zhuǎn)化為量的規(guī)律;對(duì)立的相互滲透的規(guī)律;否定的否定的規(guī)律”。下面舉例說(shuō)明其在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

一、質(zhì)量互變規(guī)律

唯物辯證法指出：事物的屬性具有質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)屬性。量是指衡量事物處在的某種狀態(tài)的數(shù)量或具體形式;質(zhì)是指事物成為它自身并區(qū)別于另一事物的內(nèi)在規(guī)定性。量變是事物連續(xù)的、逐漸的、不顯著的變化，是事物在數(shù)量上的變化;質(zhì)變是事物根本的變化，是一種飛躍，往往表現(xiàn)為突變。質(zhì)量互變規(guī)律，即從量變到質(zhì)變，是說(shuō)處在不斷的變化之中的事物，在其每次由一種性質(zhì)變化到另一種性質(zhì)的過(guò)程中，總是由微小的變化（即量變）慢慢積累開始，當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度就會(huì)導(dǎo)致事物由一個(gè)性質(zhì)變化到另一個(gè)性質(zhì)（即質(zhì)變）。量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，沒有量變就不會(huì)發(fā)生質(zhì)變;經(jīng)過(guò)質(zhì)變，在新質(zhì)基礎(chǔ)上又開始新的量變……如此循環(huán)往復(fù)，推動(dòng)事物無(wú)限地發(fā)展下去。因此說(shuō)質(zhì)量互變規(guī)律揭示了事物發(fā)展的狀態(tài)。在數(shù)學(xué)當(dāng)中，當(dāng)數(shù)量發(fā)展到一定程度時(shí)，位置關(guān)系就會(huì)發(fā)生質(zhì)的改變，因此在解題當(dāng)中，要注意這種數(shù)量、位置之間的辯證關(guān)系。

二、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律（矛盾的規(guī)律）

唯物辯證法指出：一切存在的事物都由既相互對(duì)立、又相互統(tǒng)一的一對(duì)矛盾組合而成。即所謂“物無(wú)非彼，物無(wú)非是” 。矛盾著的雙方既對(duì)立又統(tǒng)一，從而推動(dòng)著事物的發(fā)展。因此對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示了事物發(fā)展的源泉和動(dòng)力。數(shù)學(xué)所反映的數(shù)量關(guān)系和空間形式同樣也充滿著矛盾、充滿著“對(duì)立統(tǒng)一”的內(nèi)容。

例題分析：數(shù)學(xué)題目中的數(shù)與形既矛盾，又統(tǒng)一，數(shù)就是形，形就是數(shù)，數(shù)還是數(shù)，形還是形。如果根據(jù)本題條件中的數(shù)能夠聯(lián)想到長(zhǎng)方體當(dāng)中的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成角的余弦值的平方和為1，即可利用構(gòu)造法進(jìn)行證明。

正如羅增儒教授所說(shuō)，由于一定的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以有多種不同的存在形式，同一數(shù)學(xué)形式也可以從多種內(nèi)容去理解，因此，我們的解題思考應(yīng)“廣開門路”，正如數(shù)學(xué)家Hilbert在巴黎世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上曾說(shuō)過(guò)的那樣：“數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，她的生命力正在于各部門之間的聯(lián)系，的確，數(shù)學(xué)最為迷人之處是不同的分支之間有許多相互影響，預(yù)想不到的聯(lián)系有時(shí)會(huì)奇跡般地展現(xiàn)在你的眼前。”

三、否定之否定規(guī)律

唯物辯證法指出：事物的發(fā)展是一個(gè)過(guò)程連著一個(gè)過(guò)程的，過(guò)程的更替要通過(guò)否定來(lái)實(shí)現(xiàn)。在事物發(fā)展的長(zhǎng)鏈條中，經(jīng)過(guò)兩次否定，三個(gè)階段——即肯定、否定、否定之否定——就表現(xiàn)為一個(gè)周期。因此說(shuō)，否定之否定規(guī)律揭示了事物發(fā)展的趨勢(shì)和道路。需要特別指出的是：否定之否定后的狀態(tài)并不是原有的肯定的狀態(tài)，而是一種更上層樓后的“揚(yáng)棄”。用列寧的話說(shuō)就是“仿佛是舊東西在高級(jí)基礎(chǔ)上的回復(fù)”，是“內(nèi)容的前進(jìn)、形式的復(fù)歸”。唯物辯證法指出：事物發(fā)展的總趨勢(shì)是前進(jìn)的、上升的，而道路卻是迂回曲折的，之所以說(shuō)總趨勢(shì)是前進(jìn)的，正是因?yàn)榉穸ú皇恰皰仐墶?，而是“揚(yáng)棄”，是在肯定一部分的基礎(chǔ)上再發(fā)展，是集中了前兩個(gè)階段的積極成果后的更加完善。而之所以說(shuō)發(fā)展是曲折的，是因?yàn)槭挛锏陌l(fā)展是事物內(nèi)部矛盾斗爭(zhēng)推動(dòng)的。

“自然辯證法”正確地把握了哲學(xué)與自然科學(xué)的關(guān)系，在學(xué)生思維能力發(fā)展中的作用主要有以下幾個(gè)方面：（1）自然辯證法作為一種哲學(xué)，雖然它并不能代替具體科學(xué)，但可以為具體科學(xué)提供世界觀和方法論的指導(dǎo)。（2）自然辯證法有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的理論思維和科技實(shí)踐能力，有助于形成正確的科學(xué)思維、思路、方法和精神、有助于科學(xué)修養(yǎng)的加強(qiáng)、有助于正確選擇重點(diǎn)，合理運(yùn)用調(diào)控手段、有助于啟發(fā)思路、改進(jìn)方法、獲取突破性進(jìn)展。（3）學(xué)習(xí)自然辯證法有利于拓展學(xué)生的知識(shí)面，有利于增強(qiáng)科學(xué)研究的預(yù)見性、創(chuàng)造性、系統(tǒng)性、科學(xué)性，克服學(xué)習(xí)研究中的盲目性、機(jī)械性、曲折性、搖擺性。（4）學(xué)習(xí)自然辯證法有助于學(xué)生樹立辯證唯物主義的世界觀，掌握科學(xué)方法，形成良好的綜合科學(xué)素質(zhì)和健全人格。（5）學(xué)習(xí)自然辯證法有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。（6）有助于青年學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀和方法論。而這恰恰是我們要解決的問題。

自然辯證法既保持了傳統(tǒng)哲學(xué)追求智慧形而上品格，又具有現(xiàn)代科學(xué)追求知識(shí)形而下品格，是科技時(shí)代人類智慧楷模;它既蘊(yùn)涵自己的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，又是一種科學(xué)方法論，自然辯證法與自然科學(xué)相互作用，相互促進(jìn)，共同發(fā)展。在科學(xué)研究這個(gè)領(lǐng)域，自然辯證法和自然科學(xué)是密不可分的。鑒于此，希望大家在解題過(guò)程中，用好辯證法，巧解數(shù)學(xué)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒. 高中數(shù)學(xué)好題巧思妙解 [M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

[2]莫頌清.一道平幾題的純幾何證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1985，1：46-47.

（作者單位：任丘市第一中學(xué)，河北 ? 任丘 ? 062550）