王正
摘要:分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學思想,同時也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。在圓中的應用也是非常廣泛,其中大致包含以下幾個分類的熱點,熱點1:點與圓的位置關(guān)系不確定;熱點2: 弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論;熱點3:兩弦與直徑位置;熱點4:直線與圓的位置的不確定;熱點5:圓與圓的位置的不確定。
關(guān)鍵詞:分類討論;圓的分類
一、分類討論思想的定義及原則
每個數(shù)學結(jié)論都有其成立的條件,每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍,在我們所遇到的數(shù)學問題中,有些問題的結(jié)論不是唯一確定的,有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究,還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的,這樣字母的取值不同也會影響問題的解決,由上述幾類問題可知,就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的,即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求,分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決,這種按不同情況分類,然后再逐一研究解決的數(shù)學思想,稱之為分類討論思想。
有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練人的思維條理性和概括性,進行分類討論時,我們要遵循的原則是:
1、每級分類按同一標準進行:確定分類標準,正確進行合理分類,即標準統(tǒng)一;
2、分類應逐級進行:對所分類逐步進行討論,分級進行,獲取階段性結(jié)果;
3、同級互斥、不得越級:不重不漏,科學地劃分,主次清晰,不越級討論。
最后進行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論。靈活巧妙地運用分類討論思想解題,可化繁為簡,達到事半功倍的效果。
“分類討論”在圓中的應用
由于圓的的任意軸對稱性及圓的旋轉(zhuǎn)不變性,給圓的問題解答增加了難度,往往容易造成學生解答不完整,下面就圓中出現(xiàn)的幾個熱點分類,結(jié)合例題加以歸納與分析。
二、熱點1:點與圓的位置關(guān)系不確定
例1:在平面上半徑為4的⊙O中,圓上的點到平面上一點P的最小距離為2,求OP的長。
分析:由于P點位置的不確定性,我們需要分類討論P點的位置。
①P點在圓內(nèi);
②P點在圓外。
熱點2:弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論
例2:已知⊙O的半徑為2,弦BC=2,點P為⊙O上異于B,C點一動點,則∠BPC=____________。
分析:由于圓上P點位置關(guān)系的不確定性,我們需要討論P點在優(yōu)弧還是在劣弧上。
①點在弦BC所對的優(yōu)弧上;
②點在弦BC所對的劣弧上;
熱點3:兩弦與直徑位置關(guān)系不確定
例3:已知⊙O的半徑OA=1,弦AB,AC的長分別是,
求∠BOC的度數(shù)。
分析:A點位置可以設定圓周上任意一點,但AB、AC弦可以分布在半徑OA的兩側(cè),故有2×2共四種情況,又由于圓的軸對稱性,其中兩種結(jié)果算法是對稱的,所以不需要重復計算,所以我們此時只需要分AB、AC在OA的同側(cè)與異側(cè)進行分類。
①AB、AC在OA的同側(cè);
②AB、AC在OA的異側(cè);
熱點4:直線與圓的位置的不確定
例4:已知⊙O的半徑為4,點A在直線m上,且OA=4,則直線m與⊙O的位置關(guān)系是_______。
分析:學生容易出現(xiàn)誤判OA就是點O到直線m的距離,判定直線與圓是相切的,從而出現(xiàn)漏解的情況,在這里我們需要考慮OA是切線還是交線的情況進行分類。
①直線與圓相切;
②直線與圓相交;
熱點5:圓與圓的位置的不確定
例5:已知⊙M,⊙N相切,圓心距是8,其中⊙M的半徑為3,求⊙N的半徑。
分析:由于兩圓的相切關(guān)系分為內(nèi)切和外切,故需要分類討論。
①兩圓外切;
②兩圓內(nèi)切;
綜上所述,在圓的應用解答過程中,我們要注意圖形的變化,關(guān)注由于圖形的不確定性所導致的分類討論,在掌握圓的分類討論方法后,善于舉一反三,觸類旁通,使得這類問題不再是我們的易錯點。