從三角函數(shù)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思路與方法

王文杰

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是歷年來高考的一個熱門考點(diǎn)，它內(nèi)容豐富，題型多樣，其中又蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法，值得我們總結(jié)和深思。本文就三角函數(shù)中蘊(yùn)含的多種數(shù)學(xué)解題思路及思想方法通過實(shí)際例題加以說明，希望能給同仁的教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來幫助和啟發(fā)！

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 分類討論 化歸轉(zhuǎn)化 方程換元

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分。在新課改中對數(shù)學(xué)思想方法的考查要求十分明確，三角函數(shù)三大知識塊中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)習(xí)這些思想方法有助于提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究中的重要思想方法和解題方法。由數(shù)到形，以形助數(shù)可以使問題直觀呈現(xiàn)，加深對知識的記憶與理解，更可以豐富表象，拓寬思路，快速找到解題思路，從而提高分析問題和解決問題的能力。

例1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示

（1）求A、的值；

（2）若方程上有兩個不同的實(shí)根，試求的取值范圍。

解：（1）由圖像易知

由此得此函數(shù)圖象是由的圖象

沿x軸向左平移個單位長度得到的，故；

（2）由（1）知函數(shù)解析式為，那么方程

上有兩個不同的實(shí)根等價于

的圖象有兩個交點(diǎn)。

如圖為函數(shù)

由圖可以看出有兩個交點(diǎn)時，

評析：本題是三角函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的一個很好的例子，把函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式與圖象結(jié)合起來可以拓寬思路，讓我們更直觀更形象地解決問題。

二、整體思想

整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有意識、有目的的整體處理來解決問題的方法。中學(xué)數(shù)學(xué)中整體思想的應(yīng)用廣泛，主要分以下三個步驟完成：（1）從整體出發(fā)，高瞻遠(yuǎn)矚統(tǒng)籌局部；（2）通過對局部的研究，醞釀總體解決方案；（3）回到整體，實(shí)現(xiàn)解決整個問題的總目標(biāo)。

評析：給值求值問題，即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于從整體思想出發(fā)進(jìn)行“變角”，如，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時一定要注意角的范圍討論。

例3.已知函數(shù)

為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為。

（1）求的值；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間。

（2）將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到

的圖象。

評析：本題實(shí)質(zhì)上是從整體把握求的解析式，從整體

思想方法的三部曲出發(fā)，在解析式確定后，再回過頭來求的值及的單調(diào)性。

三、具體化思想方法

具體化思想方法又稱為特殊化思想方法。特殊化思想方法是在解決一些較為抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，先考慮簡單情形，或者考慮特殊對象、特殊位置，或者考慮極端情況，將抽象問題放到具體的特殊的問題中去，從而使一般性問題得到解決。

評析：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)，還考查學(xué)生分析問題的能力，要求對基本函數(shù)的性質(zhì)能熟練運(yùn)用（包括正用和逆用），解法二用取特殊值的方法使問題具體化，可以降低題目難度。

四、分類討論思想

每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)中的分類討論思想。

評析：本題因字母代替的量不確定即影響到對應(yīng)的二次函數(shù)中對稱軸與閉區(qū)間的位置，從而需要我們分情況討論對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系，然后才能確定函數(shù)的最大值是在取多少時取最大，由此求出對應(yīng)的值，再驗(yàn)證這個值是否在該情況下的的范圍內(nèi)，從而決定取舍。

五、化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想，它的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化。通俗地講就是化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體的思想方法。

解法二：（從“函數(shù)名”入手，異名化同名）

解法三：（從“冪”入手利用降冪公式先降次）

解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項(xiàng)配方）

評析：三角函數(shù)式變形，常見方法有角的變換，函數(shù)名變換，降次或升次，公式變形，常數(shù)代換等等，化簡原則：盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)相對較低，項(xiàng)數(shù)最少，盡量使分母不含三角函數(shù)，盡量去掉根號或減少根號的層次，能求值的應(yīng)求出其值。

六、方程換元思想

從分析數(shù)學(xué)問題中的變量關(guān)系入手，用方程來反映變量之間的聯(lián)系，解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論，以及對較復(fù)雜問題恰當(dāng)做變量替換，達(dá)到化繁為簡，化難為易，化未知為已知的目的。

例7.已知，如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜坡前進(jìn)400米到D處（即∠DCB=30°，CD=400米），測得山頂A的仰角為60°，求山的高度AB。

分析：先過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F構(gòu)造直角三角形，由于圖中有三個直角三角形，已知CD=400米，不好直接計(jì)算，可以設(shè)DE=x米，通過列方程求解。

評析：在利用直角三角形中的邊角關(guān)系求線段長度時，如果涉及到兩個或兩個以上的三角形時，可以通過設(shè)未知數(shù)，利用線段之間的等量關(guān)系列出方程、解方程，從而使問題得到解決。

評析：本題看似復(fù)雜，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，，通過換元再利用兩角差的正切公式對原式左邊乘積部分進(jìn)行等價變換，最終達(dá)到證明的目的。

三角函數(shù)中涉及的內(nèi)容較多，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也是多種多樣，這就要求我們在了解各種思想方法實(shí)質(zhì)和熟悉數(shù)學(xué)知識縱橫聯(lián)系的前提下，還要逐步學(xué)會靈活運(yùn)用，慢慢地我們會發(fā)現(xiàn)原來數(shù)學(xué)中的奧妙無窮，令我們?nèi)の稒M生！通過我們不斷的研究和探索，我們的數(shù)學(xué)解題能力就會自然而然的得到提高，而且我們還能在前人的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)方法的探討得到進(jìn)一步的創(chuàng)新！

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想講話[M]，南京：江蘇教育出版社，1991年