吳舒晨，王少軍，馬漢勇，盧 紅

（1.武漢理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.湖北江山重工有限責(zé)任公司，湖北 襄陽(yáng) 441057）

1 引言

工件的直線度形狀誤差是衡量其形狀精度的重要指標(biāo)［1，2］。隨著加工精度的不斷提高，工件的形狀誤差與機(jī)床部件的運(yùn)動(dòng)誤差的在線測(cè)量與實(shí)時(shí)反饋?zhàn)兊迷絹?lái)越重要。在精密加工中，工件直線度誤差的測(cè)量方法多采用掃描法。由于單傳感器掃描法需要更高精度的直線度物理基準(zhǔn)，在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中難以實(shí)現(xiàn)且測(cè)量精度較低，針對(duì)此問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者展開(kāi)深入研究，開(kāi)發(fā)了多種基于誤差分離技術(shù)的直線度測(cè)量方法。文獻(xiàn)［3］提出逐次兩點(diǎn)法，實(shí)現(xiàn)了被測(cè)工件的平移誤差與其表面直線度的分離，但此方法中采樣間隔與傳感器的間隔距離相等，不適于測(cè)量較短的工件。1986年，文獻(xiàn)［4］和sato根據(jù)逐次兩點(diǎn)法的特性，將其擴(kuò)展為逐次三點(diǎn)法，它不但能分離出工件垂直方向的平移誤差，且能去除工件偏擺誤差的影響。文獻(xiàn)［5-6］針對(duì)逐次兩點(diǎn)法中采樣間隔較大的問(wèn)題，開(kāi)發(fā)了廣義兩點(diǎn)法和組合兩點(diǎn)法，這兩種方法雖然減小了采樣間隔，但廣義兩點(diǎn)法丟失了周期等于傳感器間隔的頻率成分，組合兩點(diǎn)法則需要一段光滑的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域作為基準(zhǔn)。由于時(shí)域法中存在的以上問(wèn)題，文獻(xiàn)［7］提出了基于傅里葉變換的直線度頻域重構(gòu)方法。頻域法減小了采樣間隔，但由于諧波抑制及傳感器調(diào)零誤差的影響，造成了重構(gòu)形狀的失真。2002年，文獻(xiàn)［8］提出自然延拓法，解決了頻域法中的諧波抑制問(wèn)題。文獻(xiàn)［9］總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)，提出了雙剪切重構(gòu)頻域法和雙剪切重構(gòu)時(shí)域法，并分析了傳感器之間的調(diào)零誤差的影響。文獻(xiàn)［10］提出了頻域兩組兩點(diǎn)法，在考慮工件偏擺誤差的情況下，實(shí)現(xiàn)了工件表面直線度無(wú)理論誤差重構(gòu)，但其用于短工件測(cè)量時(shí)，仍然存在橫向分辨率不足的問(wèn)題。

針對(duì)以上問(wèn)題，提出了一種測(cè)量金屬條材直線度的新方法—新組合法。該方法將頻域兩組兩點(diǎn)法與逐次兩點(diǎn)法相結(jié)合，并去除傳感器之間調(diào)零誤差的影響，實(shí)現(xiàn)了工件表面直線度無(wú)理論誤差重構(gòu)。相對(duì)于傳統(tǒng)的頻域法，新組合法在測(cè)量短工件表面直線度時(shí)，具有更高的橫向分辨率。仿真與實(shí)驗(yàn)證明了該方法的正確性與可靠性。

2 直線度測(cè)量方法原理

2.1 頻域兩組兩點(diǎn)法測(cè)量原理

頻域兩組兩點(diǎn)法克服了經(jīng)典頻域法中的諧波抑制問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了工件表面直線度的無(wú)理論誤差重構(gòu)。但參數(shù)條件限制較多，且測(cè)量短工件時(shí)，橫向分辨率較低。頻域兩組兩點(diǎn)法的原理圖，如圖1所示。

圖1 頻域兩組兩點(diǎn)法原理圖Fig.1 Schematic Diagram of Spatial Frequency Domain Two Sets of 2-point Method

頻域兩組兩點(diǎn)法的測(cè)量系統(tǒng)組成與頻域兩點(diǎn)法相同，但掃描分兩次且第二次掃描時(shí)需改變傳感器間距。設(shè)f(n)為工件的直線度函數(shù)，s(n)為工件垂直方向的平移誤差，忽略工件運(yùn)動(dòng)時(shí)的傾角誤差。兩次掃描的傳感器間距分別為L(zhǎng)1和L2，采樣間隔為ΔL、評(píng)價(jià)對(duì)象的離散點(diǎn)數(shù)N和各點(diǎn)所在位置保持不變，L1=m1ΔL、L2=m2ΔL，其中，m1，m2均為整數(shù)。

頻域兩點(diǎn)法的直線度重構(gòu)算法有四個(gè)步驟［15］：

（1）對(duì)兩個(gè)傳感器測(cè)量值進(jìn)行差分計(jì)算。

由圖1可知，兩個(gè)傳感器的測(cè)量數(shù)據(jù)為：

兩式差分，去除導(dǎo)軌垂直方向的平移誤差，得：

（2）對(duì)形狀的差分值y(n)進(jìn)行N點(diǎn)離散傅里葉變換。

（3）利用差分傳遞函數(shù)求得工件直線度函數(shù)f(n)的離散傅里葉系數(shù)。

其中，W(k)=ei2πk·m1/N-1。這表明重構(gòu)形狀f(n)的離散傅里葉系數(shù)丟失了原始形狀中的零次成分和空間頻率為1m1及它的諧波成分。

（4）離散傅里葉系數(shù)F(k)進(jìn)行離散傅里葉反變換，求得重構(gòu)直線度函數(shù)f(n)。

頻域兩點(diǎn)法丟失了原始形狀中的零次成分和空間頻率為1m1及其諧波成分，其中零次成分不會(huì)對(duì)重構(gòu)形狀的評(píng)價(jià)產(chǎn)生影響，但空間頻率為1m1及其諧波成分的丟失會(huì)造成重構(gòu)形狀的失真。通過(guò)頻域兩組兩點(diǎn)法的第二次掃描數(shù)據(jù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)離散傅里葉系數(shù)F(k)丟失頻率的補(bǔ)償。

由于差分值y(n)在[ 0，N-1]上未完全定義，故需對(duì)其進(jìn)行自然延拓。根據(jù)自然延拓的采樣要求，采樣總點(diǎn)數(shù)N需為m1和m2的整倍數(shù)，設(shè)q1=N/m1，q2=N/m2。

當(dāng)q1與q2互質(zhì)時(shí)，重構(gòu)形狀中丟失的空間頻率成分可以完全補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)形狀的無(wú)誤差重構(gòu)。重構(gòu)形狀的傅里葉系數(shù)為：

2.2 新組合法測(cè)量原理

頻域兩組兩點(diǎn)法中采樣總點(diǎn)數(shù)N需為距離數(shù)m1和m2的整倍數(shù)，則其最小重構(gòu)長(zhǎng)度Lmin=ΔL·m1·m2-1。對(duì)于長(zhǎng)度較短的精密工件，使用頻域兩組兩點(diǎn)法重構(gòu)的形狀函數(shù)橫向分辨率較低，無(wú)法滿足精密工件的測(cè)量要求。為解決這一問(wèn)題，提出了一種新組合法，將頻域兩組兩點(diǎn)法與逐次兩點(diǎn)法兩種方法相結(jié)合，在不增加最小重構(gòu)長(zhǎng)度的情況下，極大地提高了重構(gòu)形狀的橫向分辨率。新組合法的原理示意圖，如圖2所示。

圖2 新組合法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of the New Combined Method

新組合法采用4個(gè)位移傳感器對(duì)工件表面直線度進(jìn)行測(cè)量。傳感器之間的距離分別為L(zhǎng)1，L2和L3，其中L3=L2+ΔLc，ΔLc為傳感器的采樣間隔。e1，e2和e3為相鄰傳感器之間的調(diào)零誤差。

新組合法的直線度重構(gòu)算法有三個(gè)步驟：

（1）將傳感器的采樣數(shù)據(jù)分為p組。

新組合法中傳感器的采樣間隔變?yōu)轭l域兩組兩點(diǎn)法采樣間隔的1p，將前三個(gè)傳感器的采樣數(shù)據(jù)分為p組，即采樣點(diǎn)1、p+1、2p+1…np+1為第一組，采樣點(diǎn)2、p+2、2p+2…np+2為第二組，以此類推，將所有采樣點(diǎn)分為p組。

（2）將p組采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)為p條曲線

p組采樣數(shù)據(jù)通過(guò)頻域兩組兩點(diǎn)法重構(gòu)為p條重構(gòu)曲線，由于單組采樣數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離為ΔL=p·ΔLc，使用頻域兩組兩點(diǎn)法對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)最小距離不變，仍為L(zhǎng)min=ΔL·m1·m2-1。

（3）計(jì)算各傳感器之間的相對(duì)調(diào)零誤差并補(bǔ)償

由于安裝精度等原因，即使經(jīng)過(guò)精密調(diào)整，位移傳感器之間也會(huì)存在微小的調(diào)零誤差不一致的問(wèn)題。如圖2所示，傳感器之間的調(diào)零誤差分別為e1、e2、e3，三個(gè)調(diào)零誤差與相應(yīng)的傳感器之間的距離一起會(huì)導(dǎo)致每次重構(gòu)的工件直線度相對(duì)于實(shí)際的工件直線度有相應(yīng)的線性偏移，若相對(duì)調(diào)零誤差不相等，即e1/L1≠e2/L2≠e3/L3，則最終的重構(gòu)曲線會(huì)產(chǎn)生失真。為消除調(diào)零誤差對(duì)重構(gòu)曲線的影響，需計(jì)算出兩個(gè)相對(duì)調(diào)零誤差差值Δe1=e1/L1-e2/L2、Δe2=e2/L2-e3/L3，并對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。

設(shè)工件表面直線度為f(n)，頻域兩點(diǎn)法中調(diào)零誤差對(duì)系統(tǒng)造成的是一個(gè)線性偏差，則存在調(diào)零誤差時(shí)，第一組頻域兩點(diǎn)法測(cè)得的曲線為：

第二組頻域兩點(diǎn)法測(cè)得的曲線為：

分別對(duì)以上兩式做傅里葉變換：

式中：N(k)—傾角45°、周期為N的鋸齒波的傅里葉變換值。

同理得：

當(dāng)k≠n·q1∩k≠n·q2時(shí)，F(xiàn)1(k)=F2(k)，將式（10）減去式（11）得：

從而得到相對(duì)調(diào)零誤差差值：

使用Δe1對(duì)(k)進(jìn)行補(bǔ)償，則補(bǔ)償后的重構(gòu)形狀的傅里葉系數(shù)為：

補(bǔ)償之后的相對(duì)調(diào)零誤差e1/L1=e2/L2，調(diào)零誤差帶對(duì)重構(gòu)形狀只造成線性偏差，不對(duì)其直線度的評(píng)價(jià)造成影響。

同理可求得Δe2，由于測(cè)量過(guò)程中，傳感器之間的相對(duì)位置不變，故相對(duì)調(diào)零誤差值在標(biāo)定之后，在測(cè)量過(guò)程中不必重新測(cè)量求解。

（4）將p條曲線擬合為最終的重構(gòu)曲線

若p條重構(gòu)曲線的相對(duì)位置已知，則可以將p條曲線擬合為最終的重構(gòu)曲線。由圖2可知，傳感器3與傳感器4的測(cè)量數(shù)據(jù)為：

式中：C1和C2—未知常數(shù)，調(diào)零誤差e3=C2-C1。

兩式差分，去除導(dǎo)軌垂直方向的平移誤差，得：

上式中的調(diào)零誤差e3會(huì)對(duì)最終的重構(gòu)形狀產(chǎn)生影響，需對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，使相對(duì)調(diào)零誤差e1/L1=e2/L2=e3/L3。由于在單組采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)中，系統(tǒng)補(bǔ)償了調(diào)零誤差e2，使e1/L1=e2/L2，故對(duì)調(diào)零誤差e3的補(bǔ)償，需使e3/L3=e1/L1，即：

通過(guò)式（18）即可得到采樣點(diǎn)1與采樣點(diǎn)m2·p+2、2m2·p+3···(p-1)m2·p+p之間的相對(duì)位置。由于采樣點(diǎn)m2·p+2、2m2·p+3···(p-1)m2·p+p分別在第2、3···p條曲線上，故p條重構(gòu)曲線的相對(duì)位置已知，通過(guò)擬合可得到完整的重構(gòu)曲線。重構(gòu)曲線中的線性趨勢(shì)項(xiàng)可通過(guò)最小二乘法去除。

3 新組合法的仿真與分析

為驗(yàn)證以上算法的正確性，使用matlab軟件對(duì)其進(jìn)行仿真。選擇非周期、不規(guī)則的曲線作為原始形狀，避免由于曲線的周期性導(dǎo)致仿真結(jié)果的偶然性。

假設(shè)原始形狀f(n)為：

其中，

如圖3所示為仿真的原始形狀，假設(shè)原始形狀的長(zhǎng)度L=149mm，離散點(diǎn)數(shù)N=150，則采樣間隔ΔLmin=1mm。設(shè)傳感器間距L1=25mm、L2=30mm，距離數(shù)m1=5、m2=6，則使用頻域兩組兩點(diǎn)法所得重構(gòu)曲線的橫向分辨率ΔL=5mm，最小重構(gòu)長(zhǎng)度Lmin=ΔL·m1·m2-1=149mm。設(shè)傳感器間距L3=31mm，則采用新組合法，重構(gòu)曲線的橫向分辨率ΔLc=L3-L2=1mm，在不改變最小重構(gòu)長(zhǎng)度的情況下，橫向分辨率變?yōu)樵瓉?lái)的1 5。

圖3 原始形狀Fig.3 Original Shape

首先對(duì)不存在調(diào)零誤差的情況進(jìn)行分析，由于在新組合

法中橫向分辨率變?yōu)樵瓉?lái)的1/5，故將原始形狀的離散點(diǎn)分為5組，并采用頻域兩組兩點(diǎn)法對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，得到5條相互位置關(guān)系未知的重構(gòu)曲線，如圖4所示。

圖4 5條相互位置關(guān)系未知的重構(gòu)曲線Fig.4 Five Reconstruction Curves with Unknown Mutual Position

傳感器C與傳感器D通過(guò)逐次兩點(diǎn)法得到5條重構(gòu)曲線與起點(diǎn)之間的位置關(guān)系，從而確定5條重構(gòu)曲線相互之間的位置關(guān)系，通過(guò)擬合得到最終的重構(gòu)曲線。如圖5所示，除由于丟失了原始形狀中的零次頻率成分，造成重構(gòu)曲線與原始形狀起點(diǎn)不同外，兩條曲線完全相同。

圖5 原始形狀與重構(gòu)形狀對(duì)比Fig5 Contrast between Original Shape and Reconstructed Shape

在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，調(diào)零誤差的存在不可避免。在仿真中加入調(diào)零誤差e1=0.1mm，e2=0.2mm，e3=0.3mm。由于相對(duì)調(diào)零誤差不相等，若不對(duì)調(diào)零誤差進(jìn)行補(bǔ)償，則重構(gòu)曲線出現(xiàn)失真，且產(chǎn)生線性偏移，如圖6所示。

圖6 相對(duì)調(diào)零誤差不相等的重構(gòu)形狀Fig.6 Reconstructed Shape with Unequal Relative Zero-Adjustment Error

計(jì)算相對(duì)調(diào)零誤差差值Δe1、Δe2，并對(duì)其值進(jìn)行補(bǔ)償，使e1/L1=e2/L2=e3/L3。如圖7所示為補(bǔ)償調(diào)零誤差后的重構(gòu)形狀，由于仍存在調(diào)零誤差，重構(gòu)形狀相對(duì)原始形狀產(chǎn)生了一個(gè)線性偏移，但不影響重構(gòu)形狀的評(píng)價(jià)。去除重構(gòu)形狀中的線性偏移項(xiàng)，如圖7所示，重構(gòu)形狀與原始形狀除起點(diǎn)不同外，兩條曲線完全一致，驗(yàn)證了新組合法的正確性。

圖7 重構(gòu)形狀與原始形狀對(duì)比Fig.7 Contrast between Reconstructed Shape and Original Shape

4 直線度測(cè)量系統(tǒng)的搭建及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證新組合法的正確性與可靠性，搭建了測(cè)量系統(tǒng)并對(duì)LG系列直線導(dǎo)軌的表面直線度進(jìn)行了測(cè)量。如圖8所示，實(shí)驗(yàn)在ROSE-JZ50型精密數(shù)控矯直機(jī)上進(jìn)行，位移傳感器采用4個(gè)精度為1um，量程為5mm的電渦流傳感器，數(shù)據(jù)采集卡使用NI公司的PXIe4492同步采集卡，主控制器的型號(hào)為PXIe8135。被測(cè)直線導(dǎo)軌在輸送裝置的帶動(dòng)下勻速經(jīng)過(guò)位移傳感器表面。

圖8 測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 Schematic Diagram of Measurement Experiment

圖9 測(cè)量實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖Fig.9 Physical Diagram of Measurement Experiment

由于電渦流傳感器在工作時(shí)其頭部周圍會(huì)產(chǎn)生交變電磁場(chǎng)，因此需注意相鄰傳感器之間的安裝距離，否則兩傳感器之間會(huì)產(chǎn)生電磁干擾，影響測(cè)量結(jié)果。實(shí)驗(yàn)采用的電渦流傳感器直徑為8mm，平行安裝的最小距離為40.6mm。

根據(jù)安裝距離的要求，設(shè)置傳感器之間距離分別為L(zhǎng)1=48mm，L2=42mm，L3=43mm，單組重構(gòu)曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離ΔL=6mm，采樣間隔ΔLc=1mm，最小重構(gòu)長(zhǎng)度Lmin=L1/ΔL·L2/ΔL·ΔL-1=335mm。由以上參數(shù)可知，在直線度重構(gòu)長(zhǎng)度相同的情況下，新組合法的橫向分辨率為1mm，而頻域兩組兩點(diǎn)法的橫向分辨率為6mm。

實(shí)驗(yàn)首先通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度為1850mm的直線導(dǎo)軌確定傳感器之間的相對(duì)調(diào)零誤差Δe1、Δe2，通過(guò)多次測(cè)量求平均值的方法減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的影響，相對(duì)調(diào)零誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)，取Δe1=5.6×10-4、Δe2=-8.1×10-4，如圖10所示。

圖10 相對(duì)調(diào)零誤差測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.10 Measurement Data of Relative Zero-Adjustment Error

在確定傳感器之間的相對(duì)調(diào)零誤差之后，對(duì)長(zhǎng)度為335mm的直線導(dǎo)軌進(jìn)行測(cè)量，4個(gè)電渦流位移傳感器的測(cè)量數(shù)據(jù)，如圖11所示。

圖11 電渦流傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.11 Measurement Data of Eddy Current Sensor

對(duì)采集到的數(shù)據(jù)通過(guò)新組合法進(jìn)行處理，得到直線導(dǎo)軌表面直線度的重構(gòu)曲線，如圖12中的實(shí)線和虛線分別為補(bǔ)償和未補(bǔ)償調(diào)零誤差的重構(gòu)曲線，未補(bǔ)償調(diào)零誤差的重構(gòu)曲線出現(xiàn)明顯失真。

圖12 重構(gòu)曲線Fig.12 Reconstruction Curve

為驗(yàn)證測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度，選用型號(hào)為Global Performance1287的三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x對(duì)同一實(shí)驗(yàn)導(dǎo)軌進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量所選用的探頭型號(hào)為TIP4BY20MM，測(cè)量精度為0.1um。直線度測(cè)量系統(tǒng)與三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的測(cè)量數(shù)據(jù)差值，如圖13所示。由圖13可知，新組合法的重構(gòu)曲線與三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的測(cè)量數(shù)據(jù)的最大差值為2.8um，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6um。雖然兩組數(shù)據(jù)存在一定誤差，但考慮到位移傳感器本身精度和隨機(jī)誤差的影響，因此該測(cè)量數(shù)據(jù)基本可以證明新組合法的實(shí)用性和有效性。

圖13 測(cè)量數(shù)據(jù)差值Fig.13 The Difference of Measurement Data

5 結(jié)論

提出了一種測(cè)量金屬條材直線度的新方法-新組合法。該方法將頻域兩組兩點(diǎn)法與逐次兩點(diǎn)法相結(jié)合，并考慮了傳感器之間的調(diào)零誤差對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響，在實(shí)現(xiàn)直線度無(wú)理論誤差重構(gòu)的同時(shí)，解決了傳統(tǒng)頻域法重構(gòu)短工件時(shí)橫向分辨率低的問(wèn)題。通過(guò)在精密數(shù)控矯直機(jī)上對(duì)直線導(dǎo)軌進(jìn)行多次測(cè)量實(shí)驗(yàn)，并對(duì)比三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x對(duì)同一直線導(dǎo)軌的測(cè)量數(shù)據(jù)，證明了該方法的正確性與可靠性。