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      例析平面向量的最值問題的幾種解法

      2022-02-28 05:36:54劉長柏
      關(guān)鍵詞:圖略直角坐標(biāo)原點

      ■劉長柏

      平面向量融合了代數(shù)、幾何及三角函數(shù)等知識,在求其最值時,解題方法呈現(xiàn)出多樣性。下面對平面向量的最值問題的幾種解法進行歸納,意在拋磚引玉。

      一、基底法

      點評

      本題通過選擇合適的基底向量,把三個動向量轉(zhuǎn)化為只有一個動向量(),從而使問題得到解決。利用基底法解決問題時,首先需要考慮的是如何選擇基底。

      二、坐標(biāo)系法

      例2已知矩形ABCD的邊長AB=2,AD=1,點P,Q分別在BC,CD上,且∠PAQ=45°,則的最小值是____。

      解:以矩形ABCD的頂點A為原點,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xAy(圖略)。易得A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)。設(shè)P(2,y),Q(x,1)(0≤x≤2,0≤y≤1)。

      點評

      合理建立坐標(biāo)系,由點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)的代數(shù)運算是坐標(biāo)法解決向量問題的關(guān)鍵。

      三、構(gòu)造函數(shù)法

      點評

      本題主要是借助邊長,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值求解的。

      四、利用平面幾何知識

      例4已知向量a,b,c滿足|a|=4,|b|=,a與b的夾角為,(c-a)·(c-b)=-1,則|c-a|的最大值為 。

      解:設(shè)。以O(shè)A所在的直線為x軸,O為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(圖略)。由|a|=4,|b|=,a與b的夾角為,可得A(4,0),B(2,2)。設(shè)C(x,y),由(c-a)·(c-b)=-1,可得(x-3)2+(y-1)2=1,此方程表示以(3,1)為圓心,1 為半徑的圓。|c-a|表示點A與點C的距離,即圓上的點與點A(4,0)的距離。

      因為圓心(3,1)到點A(4,0)的距離為,所以|c-a|的最大值為+1。

      點評

      解答這類問題,要熟練掌握與平面向量有關(guān)的三角形、平行四邊形、圓、直線等平面幾何知識。

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