■陳澤剛 杜海洋

平面向量中的最值問題是一種典型的能力考查題，它能有效地考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考在知識(shí)交匯處命題的思想。下面就平面向量最值問題有關(guān)的幾種題型舉例分析。

題型1：與數(shù)量積有關(guān)的最值問題

例1如圖1，扇形OAB的半徑為1，圓心角為，P是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____。

圖1

題型2：與模長(zhǎng)有關(guān)的最值問題

題型3：與三角形有關(guān)的最值問題

題型4：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題

例4在△ABC中，AC＝1，BC＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____。

分析：建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，再結(jié)合二次函數(shù)求出最小值。

解：在△ABC中，由余弦定理得AB＝。由此可知△ABC是直角三角形。

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，如圖2所示。

圖2

題型5：與基本不等式有關(guān)的最值問題

題型6：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題

小結(jié)：平面向量中的最值問題的求解通常有兩種思路:一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值問題。