李興花 郭沐然 劉魯濤

摘 要：針對(duì)陣元位置誤差引起陣列流型出現(xiàn)一定的偏差和擾動(dòng)，從而導(dǎo)致多重信號(hào)分類（MUSIC）算法估計(jì)波達(dá)方向（DOA）性能下降的問(wèn)題，本文在Toeplitz預(yù)處理算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于矩陣重構(gòu)的陣元誤差校正算法。所提算法首先對(duì)有陣列位置誤差的協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)處理，恢復(fù)理想情況下協(xié)方差矩陣的Toeplitz結(jié)構(gòu)，然后利用核范數(shù)優(yōu)化算法構(gòu)造凸優(yōu)化函數(shù)，對(duì)處理后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行降噪，同時(shí)保證信號(hào)和噪聲子空間的正確劃分，最后利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)。計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)驗(yàn)分析表明，所提算法有效改善了存在陣元位置誤差時(shí)MUSIC算法的角度分辨能力，而且減少了由快拍數(shù)不足帶來(lái)的影響，提高了估計(jì)精度。

關(guān)鍵詞：波達(dá)方向估計(jì);陣列校準(zhǔn);MUSIC算法;Toeplitz處理;矩陣重構(gòu)

中圖分類號(hào)：TJ760;V243.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：?? A? 文章編號(hào)：1673-5048（2022）01-0079-05[SQ0]

0 引? 言

以MUSIC[1]等為代表的高分辨波達(dá)方向（DOA）估計(jì)算法是用來(lái)對(duì)目標(biāo)角度進(jìn)行估計(jì)的常用方法，但這些高分辨性能需要精確的系統(tǒng)建模為支撐。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)模型的誤差幾乎是必然存在的，同時(shí)也是影響大多數(shù)高分辨率算法性能的重要因素。本文對(duì)模型誤差中的一個(gè)重要成分，即陣元位置誤差[2]進(jìn)行討論。陣元位置誤差主要由天線生產(chǎn)與陣列裝配等過(guò)程中的工藝及技術(shù)等因素的限制造成，其校正方法大致分為自校正算法[3]和有源校正算法[4]兩種。文獻(xiàn)[5]提出的迭代Toeplitz算法屬于自校正算法，其利用了理想情況下均勻線陣的接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的Toeplitz結(jié)構(gòu)[6-7]。文獻(xiàn)[8]通過(guò)Toeplitz預(yù)處理，使得存在陣列位置誤差的協(xié)方差矩陣接近真實(shí)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，但是得到的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣沒有反映信號(hào)的先驗(yàn)信息[9]，在信號(hào)源功率不相同的場(chǎng)合下估計(jì)精度相對(duì)較差，所以迭代的Toeplitz算法進(jìn)一步采取特征值重構(gòu)迭代的方法來(lái)抑制陣元誤差的影響。這種方法減少了陣元位置誤差帶來(lái)的影響，但特征值重構(gòu)的方法會(huì)帶來(lái)噪聲彌散，使得信號(hào)與噪聲交叉混淆，并且對(duì)快拍數(shù)要求高，在有效快拍數(shù)不足的情況下接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣仍存在較高的偏差[10]。

矩陣重構(gòu)算法能夠通過(guò)低秩矩陣的部分項(xiàng)來(lái)精確重構(gòu)整個(gè)矩陣[11]，并證明了低秩矩陣降噪具有穩(wěn)健的抵抗噪聲影響的能力[12-13]?？紤]到無(wú)噪聲協(xié)方差矩陣具有低秩結(jié)構(gòu)，本文提出基于矩陣重構(gòu)的陣元位置誤差校正方法。該方法在Toeplitz預(yù)處理的前提下，利用優(yōu)化的矩陣核范數(shù)低秩恢復(fù)算法[14]構(gòu)造凸優(yōu)化函數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行低秩恢復(fù)，從而達(dá)到降噪的目的。通過(guò)仿真對(duì)比了陣元位置誤差校正前后MUSIC譜估計(jì)測(cè)角效果，實(shí)驗(yàn)對(duì)比表明，低快拍情況下，相對(duì)于迭代的Toeplitz方法，本文算法有效提高了MUSIC算法的估計(jì)精度和角度分辨能力。

1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)有M個(gè)窄帶信號(hào)入射到空間某陣列上，陣列由N個(gè)天線陣元組成，各天線陣元是各向同性的且不受通道不一致性、互耦效應(yīng)等因素影響，那么陣列在特定時(shí)刻接收到的關(guān)于M個(gè)信源的信號(hào)矢量形式為

x（t）=A（θ）s（t）+n（t）（1）

4 仿真結(jié)果與分析

本文利用MUSIC空間譜和估計(jì)精度對(duì)基于矩陣重構(gòu)的陣元位置誤差校正方法進(jìn)行分析，使用10個(gè)陣元的均勻線陣，陣元間距為0.5λ，陣元位置誤差Δx和Δy均勻分布，在空間以陣列法線方向?yàn)閰⒖嫉?10°，0°，20°和50°的方位上，有4個(gè)等功率、相互獨(dú)立的平穩(wěn)、零均值高斯隨機(jī)信源。信噪比定義為

SNR=10lgσ2sσ2n（16）

式中：σ2s，σ2n分別為信源和噪聲的功率。

估計(jì)精度驗(yàn)證時(shí)，本文使用均方根誤差（Root Mean Square Error，? RMSE）衡量校正位置誤差后的估計(jì)精度，其定義為

eRMSE=1IQ∑Ii=1∑Qq=1（θ～（i）q-θq）2（17）

式中：I為蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)，在估計(jì)精度驗(yàn)證中設(shè)為500;θ～（i）q和θq分別為第i次實(shí)驗(yàn)第q個(gè)信號(hào)的到達(dá)角估計(jì)值和第q個(gè)信號(hào)到達(dá)角的真實(shí)值。

圖2～4為MUSIC空間譜的仿真結(jié)果。 為了保證陣元位置誤差在一定范圍內(nèi)的分布概率相同，這里的陣元位置誤差服從均勻分布U（0， 0.1λ）。圖2為有無(wú)陣元位置誤差時(shí)MUSIC空間譜的對(duì)比。可以看出，由于陣元位置誤差的存在，MUSIC算法的性能嚴(yán)重下降，譜峰的峰值不再尖銳，不能直接準(zhǔn)確地得出所有來(lái)峰方向。圖3把本文的算法和文獻(xiàn)[5]的算法進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[5]使用的是迭代的Toeplitz算法，對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分別作了Toeplitz預(yù)處理以及迭代處理，再使用MUSIC算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)。由圖3可以看出，本文提出的矩陣重構(gòu)算法比迭代的Toeplitz算法得到的譜峰更加尖銳，性能有所提高。圖4設(shè)

置兩個(gè)信源在{-2°，2°}處，目的是進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法在角分辨力方面的優(yōu)勢(shì)。兩種陣元位置誤差校正后的空間譜分別如圖4所示，每個(gè)算法進(jìn)行了4次實(shí)驗(yàn)。 可以看出，迭代的Toeplitz算法對(duì)兩個(gè)相近源的識(shí)別均失敗，但是本文算法均成功識(shí)別出了兩個(gè)信源。因此，本文算法在角分辨力上更具優(yōu)勢(shì)。

圖5～6為估計(jì)精度驗(yàn)證。圖5為RMSE隨信噪比的變化曲線，快拍數(shù)為50。 圖5的陣元位置誤差Δx，Δy，

同樣分別服從均勻分布U（0， 0.1λ）和U（0， 0.2λ），每一次蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的陣元位置誤差是保證相同的。圖6為均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線，信噪比為0 dB。圖6中陣元位置誤差Δx，Δy，也分別服從均勻分布U（0， 0.1λ）和U（0， 0.2λ），每次實(shí)驗(yàn)的陣元位置誤差也保證是相同的。從估計(jì)精度仿真可以看出，文獻(xiàn)[5]和本文方法都能在一定程度上改善MUSIC算法的DOA估計(jì)性能，但本文方法能夠在抑制陣元位置誤差的同時(shí)，對(duì)協(xié)方差矩陣中的噪聲進(jìn)行抑制，獲得了更高的估計(jì)精度。

5 結(jié)? 論

本文提出一種基于矩陣重構(gòu)的陣元位置誤差校正算法，該算法在Toeplitz預(yù)處理的基礎(chǔ)上，利用矩陣完備的方法對(duì)協(xié)方差矩陣低秩逼近進(jìn)行矩陣重構(gòu)，然后進(jìn)行后續(xù)的空間譜估計(jì)處理。通過(guò)MUSIC空間譜和估計(jì)進(jìn)度仿真，比較了迭代的Toeplitz算法和本文算法。仿真結(jié)果表明，本文方法在抑制陣元位置誤差的同時(shí)，有效地完成了協(xié)方差矩陣的降噪處理，提高了存在陣元位置誤差時(shí)MUSIC算法的譜峰尖銳程度，角度分辨性能有所提高，并且對(duì)估計(jì)精度也有一定程度的改善。

參考文獻(xiàn)：

[1] Dakulagi V. Robust Modified Multiple Signal Classification Algorithm for Direction of Arrival Estimation[J]. Wireless Personal Communications，? 2020，? 115（3）： 2535-2550.

[2] Wax M，? Adler A. Direction of Arrival Estimation in the Presence of Model Errors by Signal Subspace Matching[J]. Signal Processing，? 2021，? 181： 107900.

[3] Friedlander B，? Weiss A J. Direction Finding in the Presence of Mutual Coupling[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，? 1991，? 39（3）： 273-284.

[4] Fistas N，? Manikas A. A New General Global Array Calibration Method[C]∥IEEE International Conference on Acoustics，? Speech and Signal Processing，? 1994：73-76.

[5] 楊潔，? 劉聰鋒. 陣元位置誤差校正Toeplitz預(yù)處理算法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，? 2011，? 38（2）： 93-98.

Yang Jie，? Liu Congfeng. Array Location Error Calibrating Algorithm Based on Toeplitz Pre-Processing[J]. Journal of Xidian University，? 2011，? 38（2）： 93-98.（in Chinese）

[6] 孫兵，? 阮懷林，? 吳晨曦，? 等. 基于Toeplitz協(xié)方差矩陣重構(gòu)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào)，? 2019，? 41（8）： 1924-1930.

Sun Bing，? Ruan Huailin，? Wu Chenxi，? et al. Direction of Arrival Estimation with Coprime Array Based on Toeplitz Covariance Matrix Reconstruction[J]. Journal of Electronics & Information Technology，? 2019，? 41（8）： 1924-1930.（in Chinese）

[7] 高建勇，? 高勇. 基于改進(jìn)的Toeplitz化處理的相干源非均勻線陣自適應(yīng)波束形成算法[J]. 宇航學(xué)報(bào)，? 2007，? 28（6）： 1715-1718.

Gao Jianyong，? Gao Yong. The Adaptive Beam-Forming Algorithm for Coherent Sources Non-Uniform Linear Array Based on Improved Toeplitz Approximation[J]. Journal of Astronautics，? 2007，? 28（6）： 1715-1718.（in Chinese）

[8] Kung S，? Lo C，? Foka R. A Toeplitz Approximation Approach to Coherent Source Direction Finding[C]∥IEEE International Conference on Acoustics，? Speech，? and Signal Processing，? 1986.

[9] 王永良，? 陳輝， 彭應(yīng)寧， 等. 空間譜估計(jì)理論與算法[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社，? 2004： 110-111.

Wang Yongliang， Chen Hui，? Peng Yingning，? et al. Spatial Spectrum Estimation Theory and Algorithm [M]. Beijing： Tsinghua University Press，? 2004： 110-111.（in Chinese）

[10] 廖建建，? 胡林華，? 張琳娜，? 等. 一種陣元位置誤差條件下的DOA估計(jì)方法[J]. 空軍雷達(dá)學(xué)院學(xué)報(bào)，? 2012，? 26（4）： 252-255.

Liao Jianjian，? Hu Linhua，? Zhang Linna，? et al. Method of DOA Estimation in Presence of Array Element Position Errors[J]. Journal of Air Force Radar Academy，? 2012，? 26（4）： 252-255.（in Chinese）

[11] Candes E J，? Recht B. Exact Low-Rank Matrix Completion via Convex Optimization[C]∥46th Annual Allerton Conference on Communication，? Control，? and Computing，? 2008.

[12] Candes E J，? Plan Y. Matrix Completion with Noise[J].Proceedings of the IEEE，? 2010，? 98（6）： 925-936.

[13] Candes E J，? Li X D，? Ma Y，? et al. Robust Principal Component Analysis？ [J].Journal of the ACM，? 2011，? 58（3）： 1-37.

[14] Pal P，? Vaidyanathan P P. A Grid-Less Approach to Underdetermined Direction of Arrival Estimation via Low Rank Matrix Denoising[J]. IEEE Signal Processing Letters，? 2014，? 21（6）： 737-741.

[15] 楊德森，  陳歡，? 時(shí)勝國(guó). 最大似然估計(jì)在輻射噪聲源近場(chǎng)定位中的應(yīng)用[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，? 2010，? 31（2）： 165-169.

Yang Desen，? Chen Huan，? Shi Shengguo. Measuring the Orientation of Nearby Radiant Noise Sources Using Maximum Likelihood Estimation[J]. Journal of Harbin Engineering University，? 2010，? 31（2）： 165-169.（in Chinese）

An Array Position Error Calibration Method Based on

Matrix Reconstruction for DOA Estimation

Li Xinghua1， 2，? Guo Muran1， 2*， Liu Lutao1， 2

（1. College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2.Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology，

Ministry of Industry and Information Technology，? Harbin 150001，? China）

Abstract： Aiming at the problem that the array pattern has some deviation and disturbance caused by the array position error，? which leads to the estimation performance degradation of direction of arrival （DOA） in multiple signal classification （MUSIC） algorithm， this paper uses Toeplitz preprocessing algorithm and proposes an array position error calibration algorithm based on matrix reconstruction theory. Firstly，? the covariance matrix with array position error is preprocessed to restore the Toeplitz structure of the covariance matrix in the ideal case. Then， the nuclear norm optimization algorithm is utilized to construct a convex optimization function，? the noise is suppressed for the processed covariance matrix，? and this algorithm guarantees the accurate distribution of? signal and noise subspace.Finally，? the MUSIC algorithm is used to perform DOA estimation.Via the simulation results，? the proposed algorithm improves the angular resolution of MUSIC algorithm with the existence of array position error，? and decreases the effects leading by the low number of snapshots，? thus it can increase the estimation accuracy.

Key words： DOA estimation; array calibration; MUSIC algorithm; Toeplitz processing; matrix reconstruction

收稿日期： 2021-05-20

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金項(xiàng)目（201901012005）

作者簡(jiǎn)介：李興花（1998-），女，江蘇鹽城人，碩士研究生。

通訊作者：郭沐然（1992-），男，河南開封人，博士，講師。