吳靜 潘春宇

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

神經(jīng)元的大小屬于介觀尺度范圍，本文考慮神經(jīng)元的電感特性，建立了由細(xì)胞膜電感、膜電容、鉀離子憶阻器和氯離子電阻構(gòu)成的神經(jīng)元經(jīng)典電路模型和介觀電路模型.利用經(jīng)典電路理論和介觀電路的量子理論，推導(dǎo)了在外部沖擊激勵(lì)下神經(jīng)元細(xì)胞膜電壓響應(yīng)的表達(dá)式.將槍烏賊神經(jīng)元的電生理參數(shù)代入膜電壓表達(dá)式并計(jì)算可知，兩種模型下的膜電壓均先增大后減小，最后達(dá)到零值的靜息狀態(tài)，且其能量主要集中在0—30 Hz 的腦電頻率范圍內(nèi).進(jìn)一步比較發(fā)現(xiàn)，介觀電路模型下膜電壓的峰值及達(dá)到峰值所需的時(shí)間(達(dá)峰時(shí)間)均低于經(jīng)典電路模型下的值，并與槍烏賊軸突受到刺激后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近，說明介觀電路模型更能反應(yīng)神經(jīng)元受到刺激后的生理特征.基于介觀電路模型，隨著外部激勵(lì)強(qiáng)度的增加，膜電壓的峰值增加且達(dá)峰時(shí)間變短.膜電壓峰值及達(dá)峰時(shí)間等參數(shù)更易受神經(jīng)元膜電容的影響.神經(jīng)元的介觀電路模型對(duì)于理解神經(jīng)元受到刺激后的興奮性，推動(dòng)受大腦功能啟發(fā)的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展等具有重要意義.

1 引言

上千億神經(jīng)元形成了記憶、學(xué)習(xí)和智能等高級(jí)認(rèn)知活動(dòng)的物質(zhì)基礎(chǔ).神經(jīng)元建模可以分為電導(dǎo)依賴型和非電導(dǎo)依賴型兩類[1].前者研究神經(jīng)元及其網(wǎng)絡(luò)的電學(xué)生理特性和動(dòng)力學(xué)行為，如Hodgkin-Huxley(HH)模型[2-5].后者在前者的基礎(chǔ)上，拋開電路參數(shù)的實(shí)際意義，利用純數(shù)學(xué)模型研究神經(jīng)元輸入和輸出之間的關(guān)系，闡明信息傳遞的機(jī)制，主要用于神經(jīng)形態(tài)計(jì)算和神經(jīng)接口的信息處理等[6-8].

神經(jīng)元的大小為微米量級(jí)，屬于介觀尺度范圍[9，10].為了能夠反映神經(jīng)系統(tǒng)的糾纏、疊加等量子特性對(duì)其生理特性及信息傳遞機(jī)制的影響，有必要研究電導(dǎo)依賴型神經(jīng)元的量子化模型.作為被廣泛研究的電導(dǎo)依賴型模型，HH 模型是通過槍烏賊軸突實(shí)驗(yàn)提出的，由可變離子(如K+和Na+)電導(dǎo)、恒定離子(如Cl—)電阻及細(xì)胞膜電容組成[5].Chua[11]考慮了神經(jīng)元對(duì)電荷的記憶特性，將可變離子電導(dǎo)進(jìn)一步利用可變離子憶阻器表征.基于經(jīng)典電路理論，HH 模型及其構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在探索疾病機(jī)理[12-14]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的集體行為[15-17]和理解大腦功能[18-20]等方面有著廣泛應(yīng)用.如Khodashenas 等[12]利用HH 模型研究了經(jīng)顱直流電刺激對(duì)三叉神經(jīng)痛的緩解作用.Liu 等[13]討論了經(jīng)顱磁聲刺激下HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步動(dòng)力學(xué)，并通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器使神經(jīng)元滿足同步性能.Zhang 等[14]討論了通過憶阻器耦合的HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)在外界高頻刺激下動(dòng)作電位傳導(dǎo)失效的影響因素.Bao 等[15]研究了HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)非相干、相干、不完全同步和嵌合狀態(tài)等動(dòng)力學(xué)行為.Baysal 等[16]研究了輸入混沌信號(hào)對(duì)HH 模型弱信號(hào)檢測(cè)性能的影響.Bossy 等[17]研究了無限個(gè)HH 模型完全連接的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)動(dòng)作電位的同步特性.文獻(xiàn)[18，19]研究了HH 模型能量供應(yīng)和消耗特性，提出了HH 模型在超閾值和亞閾值激活時(shí)能量消耗的判據(jù)，結(jié)果表明神經(jīng)元的電生理活動(dòng)受到其能量水平的嚴(yán)格限制.Zhu 等[20]利用神經(jīng)元能量編碼理論研究了HH 網(wǎng)絡(luò)模型的神經(jīng)活動(dòng)，結(jié)果表明網(wǎng)絡(luò)能量分布的周期性與神經(jīng)元數(shù)量和耦合強(qiáng)度呈正相關(guān)，但與信號(hào)傳輸延遲呈負(fù)相關(guān).基于介觀電路的量子理論，量子化憶阻器以及它在超導(dǎo)電路和集成量子光學(xué)中的實(shí)現(xiàn)，為量子化HH 模型提供了理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)[21-23].近年來，Gonzalez-Raya 等[24]研究了考慮K+憶阻器的量子化HH 模型，得到了在正弦激勵(lì)下細(xì)胞膜電壓輸出響應(yīng)的量子化特征，對(duì)于構(gòu)建受大腦功能啟發(fā)的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和量子機(jī)器學(xué)習(xí)具有重要意義[25-27].

已有經(jīng)典和量子化HH 模型并沒有考慮神經(jīng)元的電感特性.Cole 和Baker[28]在烏賊軸突上利用阻抗橋進(jìn)行了縱向交流阻抗的測(cè)量，發(fā)現(xiàn)細(xì)胞膜在低頻時(shí)具有感抗特性.Hodgkin[29]認(rèn)為在青蛙肌肉、烏賊和魷魚軸突實(shí)驗(yàn)中觀察到的閾下膜電位振蕩現(xiàn)象是由于細(xì)胞膜電感和膜電容并聯(lián)所導(dǎo)致的.Kumai[30]認(rèn)為神經(jīng)元實(shí)驗(yàn)中的陽極斷開興奮和超極化斷開刺激都說明細(xì)胞膜電感的存在.不僅如此，Wang 等[31]研究神經(jīng)元的能量編碼時(shí)，利用電感表征神經(jīng)元產(chǎn)生動(dòng)作電位時(shí)離子內(nèi)外流動(dòng)形成的磁場(chǎng).周霆[32]認(rèn)為大腦皮層中的錐體細(xì)胞并行排列，方向垂直于腦皮質(zhì)層表面且沿徑向分布，一定數(shù)量神經(jīng)元的同步活動(dòng)形成了以電流偶極子為特征的生理學(xué)基礎(chǔ)，表明神經(jīng)元中存在磁場(chǎng)效應(yīng).因此，在利用神經(jīng)元等效電路研究其動(dòng)力學(xué)特征時(shí)，有必要在電路模型中引入細(xì)胞膜電感.

本文僅考慮神經(jīng)元可變離子K+和恒定離子Cl—，利用細(xì)胞膜電感、膜電容、K+憶阻器和Cl—電阻建立了感性神經(jīng)元電路模型，研究了基于經(jīng)典電路理論和介觀電路量子理論的電路分析方法，對(duì)比了在沖擊激勵(lì)下利用兩種方法得到的膜電壓輸出響應(yīng)的特點(diǎn).

2 感性神經(jīng)元模型

2.1 經(jīng)典電路模型

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)和功能單元，由接受外部刺激的樹突、整合輸入信息的胞體和傳遞輸出信息的軸突組成，如圖1(a)所示，考慮細(xì)胞膜電感特性的電路模型如圖1(b)所示.其中，L表示細(xì)胞膜電感;R為恒定滲漏通道(主要為Cl—)的電阻;C為細(xì)胞膜電容;Cg為神經(jīng)元與外部耦合的樹突電容;G為可變離子K+通道憶阻器.根據(jù)文獻(xiàn)[24]，憶阻器G的特性可表示為G(n(t))gK[n(t)]4，這里gK為K+通道的最大電導(dǎo)，n(t)表示K+離子通道的激活概率，其與神經(jīng)元細(xì)胞膜電壓V(t)有關(guān):

圖1 神經(jīng)元及其電路模型 (a) 神經(jīng)元的結(jié)構(gòu);(b) 感性神經(jīng)元的經(jīng)典電路模型Fig.1.Neuron and its circuit model:(a) Structure of the neuron;(b) classical circuit model of the inductive neuron.

其中αn(V(t))0.01[10-V(t)]/[e[10-V(t)]/10-1]，βn(V(t))0.125e-[V(t)/80].

假設(shè)電路在幅值為I的外部沖擊電流Iext(t)=Iδ(t)的作用下，流過電感的電流為IL(t)，對(duì)于節(jié)點(diǎn)A，根據(jù)基爾霍夫電流定律以及Dirac 函數(shù)δ(t)的特點(diǎn)，可得

上式中只要知道膜電感L、膜電容C、恒定滲漏通道的電阻R、可變離子通道憶阻器的電導(dǎo)G以及外部沖擊電流的幅值I，便可以通過數(shù)值方法求解膜電感電流IL(t)，然后利用V(t)=LdIL(t)/dt得到膜電壓.

2.2 量子化電路模型

為了研究感性神經(jīng)元介觀電路模型的量子化特性，需要對(duì)介觀電路模型進(jìn)行正則量子化.然而，當(dāng)存在電阻和憶阻器等耗散元件時(shí)，正則量子化中的拉格朗日方程不滿足時(shí)間可逆性和平移對(duì)稱性.為了解決該問題，利用由電感和電容組成的Caldeira-Leggett 諧振子電路模型[33]來描述介觀系統(tǒng)在耗散過程下的動(dòng)力學(xué)特征.以節(jié)點(diǎn)A為原點(diǎn)，以流經(jīng)憶阻器的電流為x軸正方向，分別將憶阻器G和電阻R用M和N個(gè)長(zhǎng)度為Δxm和Δxn的Caldeira-Leggett 諧振子等效電路代替，得到感性神經(jīng)元的介觀電路模型如圖2 所示.其中，φm(t)，c0(t)和l0(t)分別為憶阻器等效電路中第m個(gè)節(jié)點(diǎn)磁通、單位長(zhǎng)度的電容和電感;(t)，c1(t)和l1(t)為電阻等效電路中第n個(gè)節(jié)點(diǎn)磁通、單位長(zhǎng)度的電容和電感;φ0(t)為節(jié)點(diǎn)A處的磁通;φs(t)為激勵(lì)源處的節(jié)點(diǎn)磁通.取x=0 處的φ0(t)作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的拉格朗日量為

圖2 感性神經(jīng)元的介觀電路模型Fig.2.Mesoscopic circuit model of the inductive neuron.

此時(shí)外部激勵(lì)可以表示為Iext(t)Cg(d2φs/dt2-d2φ0/dt2).這里φ0(t)可利用輸入波函數(shù)φin(t)表示為[24]

聯(lián)立(6)式和(7)式，可得

忽略節(jié)點(diǎn)磁通φ0(t)的高頻分量，其量子化分解為

將外部輸入電流Iext(t)在頻域分解為

聯(lián)立(8)式、(9)式和(10)式，輸出量子湮滅算符可用輸入量子湮滅算符表示為

其中 I m[·]表 示取函數(shù)的虛部;f(t)的表達(dá)式為

在感性神經(jīng)元的經(jīng)典電路模型中，根據(jù)IL(t)φ0(t)/L，利用KCL 可得

其中G=1/Z0，R=Z1.對(duì)比(8)式和(14)式，當(dāng)dφin(t)/dt0時(shí)，介觀電路和經(jīng)典電路模型的表達(dá)式相同.根據(jù)

當(dāng)考慮真空態(tài)時(shí)，〈0|ain(ω)|0〉0，〈0|φin(t)|0〉0，V(t)〈0|dφout(t)/dt|0〉，介觀電路中的細(xì)胞膜電壓將低于經(jīng)典電路中的值.從物理意義上，在神經(jīng)元介觀電路中，磁通的波動(dòng)性不可以忽略，當(dāng)電路的尺度增大至宏觀尺度時(shí)，波動(dòng)性可以忽略，即dφin(t)/dt0，此時(shí)介觀電路模型可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典電路模型.

3 分 析

對(duì)于經(jīng)典和介觀電路模型，選取與文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[28]相同的槍烏賊神經(jīng)元參數(shù):C=1 μF，L=200 mH，Z0=1/G(n(t))=1/[gKn(t)4]，gK=36 mS，Z1=R=400 Ω，由于感性神經(jīng)元介觀電路模型的膜電壓響應(yīng)表達(dá)式中靜息電位并不出現(xiàn)，簡(jiǎn)單起見，在經(jīng)典電路和介觀電路模型中均取靜息電位為0，這樣并不會(huì)改變神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，只會(huì)使膜電壓響應(yīng)發(fā)生偏移.參考文獻(xiàn)[24]以及本文所提方法，在幅值為1 mA 的外部沖擊激勵(lì)下，可以分別得到傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元以及本文感性神經(jīng)元在經(jīng)典電路模型和介觀電路模型中膜電壓V(t)和K+電導(dǎo)G(t)的響應(yīng)，如圖3 所示.由圖3(a)和圖3(b)可見，傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元在經(jīng)典和介觀電路模型下的膜電壓均會(huì)先瞬間達(dá)到峰值，最后逐漸減小至零值的靜息狀態(tài);K+電導(dǎo)的穩(wěn)定值都在0.40 mS 附近.在經(jīng)典電路模型中，膜電壓峰值為Vp-c=1000 mV，而在介觀電路模型中，膜電壓峰值為Vp-m=863 mV.神經(jīng)元接受刺激時(shí)，動(dòng)作電位會(huì)先上升發(fā)生去極化過程，然后會(huì)逐漸下降經(jīng)歷復(fù)極化過程，傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元的經(jīng)典電路和介觀電路模型都不能反映這一特征.由圖3(c)和圖3(d)可見，感性神經(jīng)元在經(jīng)典電路和介觀電路模型下的膜電壓都會(huì)先增大后減小，最后達(dá)到零值的靜息狀態(tài)，能反應(yīng)神經(jīng)元受刺激后的動(dòng)作電位變化特征.兩種模型下的K+電導(dǎo)的穩(wěn)定值都在0.40 mS 附近.在經(jīng)典電路模型中，膜電壓達(dá)到峰值Vp-c=226.90 mV 所需的時(shí)間為Tr-c=0.52 ms.而介觀電路模型中，膜電壓達(dá)到峰值Vp-m=119.94 mV 所需的時(shí)間為Tr-m=0.29 ms，這與實(shí)驗(yàn)中槍烏賊軸突在受到刺激后膜電壓達(dá)到峰值96.80 mV 所需的時(shí)間0.28 ms[5]更接近，說明考慮細(xì)胞膜電感、可變離子通道的憶阻器特征時(shí)，利用介觀電路模型更能反應(yīng)神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為.

圖3 沖擊輸入下神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)響應(yīng) (a)，(b) 分別為傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓(藍(lán)色)和K+電導(dǎo)(紅色)隨時(shí)間變化的曲線;(c)，(d) 分別為感性神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓(藍(lán)色)和K+電導(dǎo)(紅色)隨時(shí)間變化的曲線;(e)，(f) 分別為感性神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓的時(shí)頻功率密度譜圖Fig.3.Dynamic response of a neuron under impulse input:(a)，(b) The curves of membrane voltage (blue) and K+ conductivity(red) versus time obtained by solving classical and mesoscopic circuit models of the traditional HH single ion-channel neuron，respectively;(c)，(d) the curves of membrane voltage (blue) and K+ conductivity (red) versus time obtained by solving the classical and mesoscopic circuit models of the inductive neuron，respectively;(e)，(f) the time-frequency spectrogram of the membrane voltage obtained by solving the classical and mesoscopic circuit models of the inductive neuron，respectively.

圖3(e)和圖3(f)分別為經(jīng)典和介觀電路模型下對(duì)膜電壓進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換后的時(shí)頻圖.從圖3(e)和圖3(f)中可以看出，神經(jīng)元受到刺激后的能量主要集中在0—30 Hz 的頻段，與人的腦電頻率范圍一致.兩種電路模型中各頻率分量的功率譜密度先增大后減小.在經(jīng)典電路模型中，各頻率分量在t=0.53 ms 時(shí)達(dá)到能量最大值;功率譜密度的范圍為580—1160 mV2/Hz;各頻率分量的功率譜密度在t=7.30 ms 時(shí)衰減為1 mV2/Hz.在介觀電路模型中，各頻率分量在t=0.29 ms 時(shí)達(dá)到能量最大值;功率譜密度的最大值在161.3—322.5 mV2/Hz 的范圍內(nèi);各頻率分量的功率譜密度在t=1.14 ms 時(shí)衰減為1 mV2/Hz.這表明當(dāng)考慮神經(jīng)元的量子特性時(shí)，神經(jīng)元受刺激后低頻段的能量并不高，并且持續(xù)的時(shí)間更短.

由于膜電壓峰值及達(dá)峰時(shí)間可在一定程度上衡量神經(jīng)元對(duì)外部刺激的興奮程度和響應(yīng)速度[34]，以下基于感性神經(jīng)元介觀電路模型，研究膜電壓峰值及達(dá)峰時(shí)間與外部激勵(lì)的強(qiáng)度、神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系.取L=200 mH 和C=1 μF，繪出Vp-m和Tr-m隨I和R的變化曲線如圖4(a)和圖4(b)所示;取R=400 Ω 和C=1 μF，繪出Vp-m和Tr-m隨I和L的變化曲線如圖4(c)和圖4(d)所示;取R=400 Ω 和L=200 mH，繪出Vp-m和Tr-m隨I和C的變化曲線如圖4(e)和圖4(f)所示.由圖4可見，隨著外部激勵(lì)強(qiáng)度I的增加，Vp-m將增大，而Tr-m將減小，這說明外部刺激的增強(qiáng)會(huì)使神經(jīng)元在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到更高的興奮度.另外，Vp-m隨著R的增大而逐漸增大到某穩(wěn)定值;隨著L和C的增大而逐漸減小到某穩(wěn)定值.Tr-m隨著R，L和C的增大而逐漸增大到某穩(wěn)定值.這里將dVp-m/dR，dVp-m/dL，dVp-m/dC，dTr-m/dR，dTr-m/dL和dTr-m/dC定義為膜電壓峰值及達(dá)峰時(shí)間對(duì)神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的靈敏度，表1 給出了各參數(shù)靈敏度的計(jì)算結(jié)果.當(dāng)I相同時(shí)，Vp-m和Tr-m對(duì)C的變化最靈敏，對(duì)R的變化最不靈敏;隨著I的增加，Vp-m對(duì)R，L和C的靈敏度均增大，Tr-m對(duì)R，L和C的靈敏度均減小.以上結(jié)果說明，神經(jīng)元受刺激后，其興奮程度和響應(yīng)速度最容易受膜電容的影響;隨著外部刺激增強(qiáng)，神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)對(duì)神經(jīng)元興奮程度的影響越大，對(duì)響應(yīng)速度的影響越小.

圖4 感性神經(jīng)元介觀電路模型中膜電壓輸出響應(yīng)與外部激勵(lì)和神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系 (a)，(c)，(e) 分別為Vp-m 隨I，R，L 和C 的變化曲線;(b)，(d)，(f)分別為Tr-m 隨I，R，L 和C 的變化曲線Fig.4.The relationship between the output response of the membrane voltage in the mesoscopic circuit model of inductive neuron and the external excitation and the internal parameters of the neuron:(a)，(c)，(e) The dependence curves of Vp-m on I，R，L and C，respectively;(b)，(d)，(f) the dependence curves of Tr-m on I，R，L and C，respectively.

表1 感性神經(jīng)元的Vp-m 和Tr-m 對(duì)神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的靈敏度Table 1.Sensitivity of Vp-m and Tr-m of the inductive neuron to the internal parameters.

4 結(jié)論

本文利用神經(jīng)元細(xì)胞膜電感、膜電容、K+憶阻器和Cl—電阻建立了經(jīng)典電路模型;利用由電感和電容組成的Caldeira-Leggett 諧振子表征K+憶阻器和Cl—電阻在耗散過程下的動(dòng)力學(xué)特征，建立了神經(jīng)元介觀電路模型.研究了神經(jīng)元介觀電路中膜電壓的量子化分析方法，即首先將節(jié)點(diǎn)磁通選為廣義坐標(biāo)，利用Euler-Lagrange 方程求出在外部激勵(lì)下節(jié)點(diǎn)磁通隨時(shí)間的變化方程;然后，對(duì)節(jié)點(diǎn)磁通進(jìn)行量子化分解;最后，利用節(jié)點(diǎn)磁通對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)計(jì)算出膜電壓.

對(duì)比分析了經(jīng)典電路模型和介觀電路模型在外部沖擊激勵(lì)下，細(xì)胞膜電壓和K+電導(dǎo)的響應(yīng)特性.結(jié)果表明，兩種模型下膜電壓均先增大后減小，最后達(dá)到零值的靜息狀態(tài)，且能量主要集中在與腦電頻率接近的范圍內(nèi).相較于經(jīng)典電路模型，利用介觀電路模型得到的反應(yīng)神經(jīng)元受刺激后興奮度的膜電壓峰值較低，達(dá)到峰值所需的時(shí)間也較短，與槍烏賊軸突的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致.基于對(duì)神經(jīng)元介觀電路模型的分析可知，隨著外部刺激的增強(qiáng)，神經(jīng)元能在更短的時(shí)間達(dá)到更興奮的狀態(tài);神經(jīng)元膜電壓響應(yīng)對(duì)膜電容的變化最為靈敏，對(duì)恒定離子電阻的變化較不靈敏.神經(jīng)元介觀電路模型對(duì)于推動(dòng)腦科學(xué)朝定量、精確和理論化體系發(fā)展，弄清人腦功能的機(jī)理，建立人類認(rèn)知過程的微結(jié)構(gòu)理論等具有重要意義.