巧用數(shù)形結(jié)合，解決實際問題

張彩萍

【摘? 要】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門科學(xué)。本次研究的數(shù)形結(jié)合中，數(shù)屬數(shù)量，形屬空間變化，它們是數(shù)學(xué)研究中的兩個主要對象。同時，兩者之間在解決數(shù)學(xué)問題時更顯聯(lián)系緊密——數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。通過數(shù)形結(jié)合解決問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用廣泛?？紤]到小學(xué)生的思維特點，它也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的一個重要原則。本文將以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的部分解決問題為實例，闡述數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué);解決問題;蘇教版

一、以數(shù)化形，回歸問題原本

將數(shù)轉(zhuǎn)化為形去解決問題是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)常用的一種方法。在當下的教育環(huán)境下我們不難發(fā)現(xiàn)：對于大部分小學(xué)生來說，對于條件較多，數(shù)據(jù)之間聯(lián)系復(fù)雜的問題，他們不太能夠通過直接讀題來分析問題，以明確數(shù)量之間關(guān)系，解決問題。此時，就需要將較復(fù)雜的數(shù)據(jù)類問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，在解決問題時，使其回歸題目的幾何原本，借助圖形的直觀看清數(shù)之間的聯(lián)系，理清數(shù)量關(guān)系，以解決問題。

蘇教版教材中對以數(shù)化形的問題安排得較多，主要體現(xiàn)在小學(xué)中、高年級解決問題的策略中。和差問題與差倍問題是蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊學(xué)習(xí)的一個重難點。此類問題只有數(shù)據(jù)支撐，呈現(xiàn)出有兩種聯(lián)系的條件，需解決兩個問題。對于此類問題，學(xué)生通常無從下手。

如蘇教版四年級下冊“解決問題策略——畫線段圖”例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

在之前的學(xué)習(xí)中，一般告訴學(xué)生一個量以及所求量與這個量的關(guān)系，求取所求量。而在此類問題中，只告訴兩個量之間的兩個關(guān)系，求取這兩個量，學(xué)生開始犯難。但是如果將數(shù)轉(zhuǎn)化到線段圖中，就簡單多了。

線段圖如下：

從上圖中可輕易看出小寧與小春郵票數(shù)之間的關(guān)系，而解題的關(guān)鍵是通過將線段的“割”“補”“分”使兩條線段長度一樣。

以“補法”為例：通過將短的線段補齊，讓他與小春郵票數(shù)數(shù)量相等。求出小寧如果與小春郵票數(shù)相等時，總有票數(shù)為72+12=84（枚），從而將總郵票數(shù)平均分成兩份求出小春的郵票數(shù)。小寧的郵票數(shù)就求出來了。

小學(xué)數(shù)學(xué)中有些問題的數(shù)量關(guān)系比復(fù)雜，小學(xué)生解題無從下手，難以解決。此時，教師可在讀題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生用線段圖表示出條件，這樣可以幫助學(xué)生找出數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系，簡化問題，便于分析，從而降低問題難度。

二、化形為數(shù)，簡化圖形計算

化形為數(shù)，即將復(fù)雜的圖形問題化為簡單的數(shù)據(jù)求解，將形作為手段，數(shù)作為目的。小學(xué)高年級是學(xué)生思維發(fā)展由形象到抽象的過程。有些圖形簡單而富有規(guī)律，當題目中要求的數(shù)量多時，完全借助直觀圖形去解決反而十分復(fù)雜，且不利于小學(xué)生抽象思維的發(fā)展。這時，我們就應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為“數(shù)”去解決問題。

誠然，有些問題用形的思想解決反而過于復(fù)雜，化形為數(shù)，將圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的計算，可以簡化問題，使問題變得簡單明了，更易于解決。

三、數(shù)形結(jié)合，明朗復(fù)雜問題

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)課本的編撰中往往不是單向出現(xiàn)的，在解決一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，往往對小學(xué)生，特別是中高年級的學(xué)生而言，需要學(xué)生具有數(shù)形互譯思想。解決一個問題時，既要用到以形助數(shù)的思想，也要用到以數(shù)解形的思想，即將一些復(fù)雜問題的數(shù)量關(guān)系用圖形表示出來，再通過對圖形的分析，將之列式算出結(jié)果。

如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略——假設(shè)”中的例2：42位同學(xué)去劃船，一共租用了10條船，正好坐滿。每只大船能坐5人，每只小船能坐3人。租的大船、小船各有幾只？”

對于此類問題，條件較為復(fù)雜，學(xué)生首要想到用畫圖方式畫出船與人的示意圖：

不難發(fā)現(xiàn)，當假設(shè)船都是大船時，畫完圖并不能去解決問題。這時，我們要通過分析，利用數(shù)的思想，算出都是大船時多了多少人。5×10-42=8（人）。

分析：由于每條小船坐三人，所以小船每條比大船少：5-3=2（人）。

然后將數(shù)化為形，在圖中一一去除多余的人。

從而能夠輕易看出有6只大船，4只小船。

用算式表示為：8÷2=4（只），10-4=6（只）。

從這樣的一個教學(xué)過程中很容易看出數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形互譯能使原本復(fù)雜的問題一下子變得簡單明朗。利用小學(xué)生形象思維與抽象思維并存的特點，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，不僅能巧妙解決問題，提升學(xué)生的思維能力，也能提升他們分析問題、解決問題的能力，這對其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升有所幫助。

蘇教版三年級上冊“長方形與正方形”單元的知識點并不是非常多，因此在復(fù)習(xí)這個單元時，我請學(xué)生自己回顧知識點，交流補充，最后出示整理的表格與一些小問題，大致如下：

1.什么是周長？

2.長方形與正方形的特征及其周長。

學(xué)生整理結(jié)束后，再以判斷題的方式鞏固知識點。知識回顧結(jié)束后，課堂還剩下大量時間，于是筆者從“比一比”“算一算”“拼一拼”“畫一畫”這四個方向引導(dǎo)學(xué)生通過習(xí)題進行復(fù)習(xí)。這節(jié)復(fù)習(xí)課在筆者看來中規(guī)中矩且充實。

正要離開教室，一位學(xué)生的聲音傳入我的耳中：“復(fù)習(xí)課真無聊，每天都在不停做題目，上課做，下課做，回家做，我感覺這幾個題目我都快背下來了，真無聊?！痹瓉砉P者認為中規(guī)中矩的課，在學(xué)生看來是無聊的;筆者認為充實的課，在小朋友看來就是做題目。而最重要的知識點回顧，學(xué)生覺得可以直接無視。該如何改變這個狀態(tài)呢？怎樣才能讓小朋友都參與進來呢？怎樣才能使復(fù)習(xí)課有趣且能鞏固所學(xué)呢？筆者不禁陷入沉思。

意識到這些問題，通過多方請教，筆者決定將動手操作的思想方法加入到課堂之中。第二天，筆者在另一個班再次進行“長方形與正方形”的單元復(fù)習(xí)。

上課時，筆者請小朋友拿出課前發(fā)放的紙（長12厘米，寬8厘米的長方形），并提問：

1.這是什么圖形？

2.它有哪些特征？（要求指一指、說一說）

3.你還知道長方形的什么知識？

4.這個長方形的周長在哪里，誰愿意來指一指。

5.請同學(xué)們算出這個長方形的周長，并討論算法。

學(xué)生通過測量，全員參與，算出周長。之后，筆者又提出要求：

1.只有長方形，你們能在這個長方形中找到一個最大的正方形嗎？（學(xué)生動手折一折，剪一剪，討論方法）

2.正方形有什么特征？

3.如何算出這個正方形的周長？

4.說說長方形和正方形的相同點和不同點。

學(xué)生此時因親自測量操作而興致盎然，對正方形、長方形的特征印象深刻，同時對如何在長方形中畫一個最大的正方形更為熟悉。接下來，筆者引導(dǎo)他們思考：

1.剪成的正方形周長與剩下的小長方形周長之和等于原來大長方形周長嗎？

2.把剪正方形剩下的長方形拼一拼，能拼成什么圖形，你能算出新圖形的周長嗎？

3.你們會把剩下的長方形紙剪成周長相等的兩個圖形嗎？

……

學(xué)生們紛紛參與進來，通過不斷的操作、思考，表現(xiàn)得興趣濃厚，在動手操作中將散碎的知識點凝聚在一起，形成了體系。

在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，給筆者留下最直觀的印象是每個學(xué)生都參與到課堂之中，學(xué)生臉上洋溢著的是學(xué)習(xí)帶給他們的快樂。興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的動力源泉，從一定意義上來說，學(xué)生在課堂上展現(xiàn)出一定的興趣，那課堂就成功了一半。作為一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)沒有了像學(xué)習(xí)新知那樣的好奇心和熱情，因此如果教師單單去引導(dǎo)學(xué)生如何去回憶知識，如何去做練習(xí)，是遠遠不夠的，這節(jié)課可能是枯燥的。而動手操作則能帶給學(xué)生探索的欲望、學(xué)習(xí)的熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這對調(diào)動他們在復(fù)習(xí)課上的積極學(xué)習(xí)狀態(tài)以及自己汲取知識大有裨益。

在做中學(xué)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的一個重要方式。小學(xué)生正處于從形象思維向邏輯思維發(fā)展的重要階段，而動手操作有助于這一思維的發(fā)展。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，教師可能會以平鋪直敘的形式展現(xiàn)課堂，但這對學(xué)生思維的發(fā)展可能不夠。對此，我們可以嘗試用動手操作的方式進行復(fù)習(xí)，拓展復(fù)習(xí)課形式的同時，強化學(xué)生的動手操作能力。在本節(jié)課中，學(xué)生通過操作漸漸明白，為什么在長方形中截取一個最大的正方形，正方形的邊長就是長方形的寬。他們通過折紙感受到了邊的重合，通過思考，發(fā)現(xiàn)了真理，加深了對知識的印象，也在這個過程中提升了思維能力與解決問題的能力，為以后解決更難的問題提供了操作基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)。

認真?zhèn)湔n是課堂教學(xué)的必備因素，復(fù)習(xí)課也不例外。充足的準備是成功的一半，所以在課前我們一定要有所思考：今天的主題任務(wù)是什么？將從哪個點開始展開？需要學(xué)生完成操作的操作有哪些？除了這些思考的內(nèi)容，我們必須意識到學(xué)生的狀態(tài)，學(xué)生的思維水平，正視的學(xué)生之間的差異。我們所要達到的復(fù)習(xí)目的是否能夠通過操作得以實現(xiàn)。我們所有的提問或者舉措是否具有可實施性。所以，教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，要做到簡潔、明確，可實施性強。對學(xué)生提出的要求也必須是清晰的。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排多以基礎(chǔ)知識內(nèi)容為主，其中，數(shù)形結(jié)合解決問題的思想貫穿始終，尤其是在解決問題的策略這一模塊，更是著墨頗多。但若是學(xué)生只是單純地解題，而無教師引導(dǎo)，可能會導(dǎo)致學(xué)生對某類問題無從下手。所以，作為教師，我們應(yīng)當有意識、有目的、有計劃地滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而幫助學(xué)生形成利用數(shù)形結(jié)合思想去解決問題的習(xí)慣與經(jīng)驗。同時，教師應(yīng)當認真研究教材，挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想。通過認真分析、認真?zhèn)湔n，查閱資料等方式去豐富教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系，帶領(lǐng)其探索更好的分析、解決問題的方法。利用教材或課外的豐富素材引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)結(jié)合的方式解決問題，使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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