解答二面角問題的三種途徑

李志娜

求二面角問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，常見的命題形式有：（1）求二面角的大??；（2）求二面角的余弦值及其取值范圍；（3）證明某個二面角為直角.解答此類問題，往往要先根據(jù)圖形的特點和已知條件確定二面角的平面角，然后運用平面幾何知識和立體幾何知識求得平面角的大小或其余弦值.常用的方法有定義法、射影面積法、垂面法、三垂線法等.本文重點談一談三種常見的解題途徑：作三垂線、利用定義法、采用射影面積法.

一、作三垂線

運用三垂線法求二面角的大小，主要是根據(jù)三垂線定理作二面角的平面角，并根據(jù)其中的垂直關系和勾股定理求得平面角的大小.運用三垂線法求解二面角問題，要先在二面角的一個半平面內選取一點A，過點A 向另一個半平面作垂線AB；再由垂足 B 向二面角的棱作垂線 BC，則棱上的點 C 為斜足，那么∠ABC 即為二面角的平面角.

例1.在四面體 ABCD 中， AB⊥平面BDC，BC ⊥ CD 且 BC = CD =1，AD = 求二面角 B - CD - A 的大小.

解：∵ AB⊥平面BCD，BC ⊥ CD，

∴由三垂線定理得CD⊥ AC，

∴∠ACB為二面角B - CD - A的平面角，

∵ BC ⊥ CD， ∴ BD = BC2+ CD2=

∵ AB⊥平面BCD， ∴ AB⊥ BC，AB⊥ BD，

∴ AB = AD2- BD2=1，

在RtΔABC中， tan ∠ACB = =1，

∴二面角 B - CD - A的大小為.

解答這道題主要運用了三垂線法.先根據(jù) AB⊥平面BDC ，確定二面角 B - CD - A 的一個半平面內的一點A、垂線AB、斜線AC 以及其射影 BC，便可根據(jù)三垂線定理確定二面角的平面角∠ACB ；再根據(jù)勾股定理即可求得二面角 B - CD - A 的大小.

例2.如圖1，已知∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC， AB =4， SA = BC =2，N，D分別是AB，BC的中點，求二面角 S - ND - A 的大小.

解：過 A 作 AF⊥ DN ，交 DN 的延長線于F，連接 SF，∵ SA ⊥平面ABC， ∴由三垂線定理得DF⊥ SF ，? ∴∠SFA是二面角S - ND - A的平面角，

在RtΔBDN中，DN = BD2+ BN2=? ，

在RtΔAFN中，

sin ∠ANF = = sin ∠BND = = ，

∴ AF = AN = ， ∴ tan ∠SFA = =

∴二面角 S - ND - A 為 arctan .

由 SA ⊥平面ABC ，便能確定垂線 AF、斜線 AF 及其射影AF，根據(jù)三垂線定理就可以快速確定二面角的平面角為∠SFA .可見，運用三垂線法求解二面角問題，需先找到二面角的一個半平面的垂線，然后確定斜線、射影，這樣就能快速確定二面角的平面角.

二、利用定義法

定義法是指利用二面角的平面角的定義來解題.根據(jù)二面角的平面角的定義，需先在二面角的棱上取一點，過該點在兩個半平面內作棱的垂線，那么這兩條垂線之間的夾角即為二面角的平面角；再根據(jù)垂線與棱之間的垂直關系，以及勾股定理、正余弦定理求得平面角的大小，就能求得二面角的大小.

例3.如圖2，三棱錐A - BCD 中，AC ⊥平面BCD， BD⊥ CD，AC =2AD ，求平面ABD 與平面 BCD 所成角的大小.

解：∵ AC ⊥平面BCD，BD?平面BCD，

∴ BD⊥ AC，

解答本題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在兩 個半平面內找到垂直于棱DB的兩條直線DA、DC，且 兩條直線交于D點，這樣利用定義法，即可快速確定 平面ABD與平面BCD所成角的平面角.

例4.如圖3，在三棱錐V - ABC中，VA = AB = VB = AC = BC = 2，VC = 3， 求二面角 V - AB - C 的大小.

由圖可知二面角 V - AB - C 的棱為AB，而根據(jù)已 知的邊角關系可得 VD ⊥ AB 、CD ⊥ AB ，即可根據(jù)二面 角的平面角的定義確定 二面角V - AB - C的平面角為 ∠ADC .運用定義法求解二面角問題，關鍵在根據(jù)二面 角的平面角的定義作出二面角的棱的垂線，以確定平 面角.

三、采用射影面積法

當不方便作出二面角的平面角時，可考慮運用射 影面積法來求二面角的大小.可先在二面角的一個半 平面內找到另一個半平面的投影，通常要找到其中一 個半平面內的三角形、平行四邊形、梯形等規(guī)則圖形 的射影，這樣便可直接利用三角形、平行四邊形、梯形 等的面積公式求出這些圖形及其射影的面積；再將原 圖形與射影的面積相除，得到二面角的余弦值，即?? cos θ= S（S）斜（射）面（影），從而求得二面角的大小.

例5.如圖4， 在三棱錐P - ABC中，AC= BC =2， ∠ACB =90°， AP = BP =AB，PC ⊥ AC，PC ⊥ AB ， 求二面角 B - AP - C的大小.

解：∵ AC= BC，AP = BP， ∴ΔAPC ?ΔBPC， ∵ PC ⊥ AC， ∴ PC ⊥BC，

∵∠ACB =90°， 即AC ⊥BC， 且AC ?PC = C， ∴ BC ⊥平面PAC，

取AP中點E， 連接BE， CE，

∵ AB = BP， ∴ BE⊥ AP，

∴EC是BE在平面PAC內的射影，

∴ CE⊥ AP，

ΔACE是ΔABE在平面ACP內的射影，

∴ AB = BP =AP = AC2+ CB2=2? ，

∴ BE = = ， AE = EC = ，

∴ S ΔACE = AE?CE =? ? =1，

S ΔABE = AE?EB =? ? = ，

∴ cos θ= = =，

∴二面角B - AP - C的大小為arccos??? 3 .

我們根據(jù)題意很容易證明 BC ⊥平面PAC， 就可以確定ΔABE 在平面ACP 內的射影為ΔACE ；再根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式求得這兩個三角形的面積，便可利用面積射影法快速求得二面角 B - AP - C 的大小.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，運用三垂線法、定義法、射影面積法求二面角的大小，都需要根據(jù)二面角的平面角的定義，確定二面角的平面角，或建立平面角的兩條線段之間的關系，因此熟練并靈活運用二面角的平面角的定義，是解答這類問題的關鍵.

（作者單位：江蘇省泗洪姜堰高級中學）