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      利用“等和線”解題

      2022-03-12 09:44:20鐘建新
      數(shù)理化解題研究 2022年4期
      關(guān)鍵詞:和線中點(diǎn)起點(diǎn)

      鐘建新

      (浙江省春暉中學(xué) 312300)

      圖1

      當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí),k=1;

      當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí),k∈(0,1);

      當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí),k∈(1,+∞);

      當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)O時(shí),k=0;

      當(dāng)?shù)群途€與直線AB在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí),則k<0.

      利用等和線求解數(shù)值k(k>0)的基本步驟如下:

      ①連接AB,構(gòu)造直線AB;

      圖2

      所以由等和線結(jié)論得x+y的最大值是2.

      例2 在ABCD中,E,F分別為CD和BC的中點(diǎn),若則x+y=____.

      圖3

      變式在ABCD中,E,F分別為CD和BC的中點(diǎn),若則x+y=____.

      評(píng)注若待求和的兩個(gè)數(shù)不全為題設(shè)中基底的兩系數(shù),此時(shí)可構(gòu)造一組新基底,使待求和的兩個(gè)數(shù)分別為新基底的兩系數(shù).

      圖4

      即此時(shí)x+y取到最大值5.

      當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),連接CE,易證得CE∥BE′.

      因?yàn)镋為邊AB中點(diǎn),

      所以C為邊AN中點(diǎn).

      評(píng)注等和線所描述的結(jié)論要求表達(dá)式中的三個(gè)向量共起點(diǎn),若起點(diǎn)不一致,則可考慮利用向量的減法法則或者平移相關(guān)向量去統(tǒng)一它們的起點(diǎn).

      G·波利亞在《怎樣解題》指出:“對(duì)于一個(gè)題目,首先要熟悉題目,我應(yīng)該從哪里開始?我能做什么?這樣做我能得到什么?然后深入了解題目”.只要我們對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行全面深入的研究,就會(huì)發(fā)現(xiàn)其解法還是有跡可循.

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