放慢探究腳步，經(jīng)歷抽象過程

趙緒昌 周宏琴

摘要：初中數(shù)學(xué)《圖形的平移》一課，要在概念探究和性質(zhì)探究兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中，放慢腳步，讓學(xué)生充分經(jīng)歷抽象的過程。具體包括，將物體的平移抽象為圖形的平移;從各種具體的圖形平移中抽象出平移的兩個基本要素，得到圖形平移的概念;將平移前后兩個圖形之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)點之間的關(guān)系;通過具體的圖形操作（測量），發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點連線之間的關(guān)系;基于抽象的平移概念，說明對應(yīng)點連線關(guān)系成立的理由。

關(guān)鍵詞：抽象過程;《圖形的平移》;教學(xué)診斷

本文系四川省教育廳2019年度四川省名師名校長工作室專項課題“凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)策略研究”（文號：川教函[2019]514號）的階段性研究成果。2021年12月30日，在四川省教育科學(xué)研究院于成都市樹德實驗中學(xué)（西區(qū)）舉辦的2021 年四川省初中數(shù)學(xué)教材（北師大版）培訓(xùn)與教學(xué)研討活動中，一位教師執(zhí)教了《圖形的平移》（北師大版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第三章第1節(jié)第1課時）展示課。聽完此課，我們覺得，雖然其教學(xué)過程比較流暢，教學(xué)環(huán)節(jié)比較合理，教學(xué)素材比較豐富，教學(xué)方式比較科學(xué)，但是其教學(xué)細節(jié)依然存在一些不足?，F(xiàn)將本節(jié)課的主要教學(xué)過程和我們的教學(xué)診斷以及改進建議呈現(xiàn)如下，供讀者參考。

一、教學(xué)過程

（一）探究平移的概念

師我們的物理老師常說：物體的運動是絕對的，靜止是相對的。（出示升國旗、推動推拉窗、俄羅斯方塊運動等動態(tài)圖）請同學(xué)們觀察：這些物體在如何運動？這些運動有什么共性呢？

生方向不改變。

生都是平移運動。

師這節(jié)課，我們將在小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進一步認(rèn)識平移。（板書課題：圖形的平移）你還能舉出一些平移的例子嗎？

生電梯向上運動。

生商場扶梯斜著向下運動。

生窗簾滑動。

師在這些例子中，同學(xué)們提到了向上、向下、斜著等，這些都屬于移動的方向，僅憑方向能不能確定物體平移后的位置？

生不能。

師現(xiàn)在我們來玩一個平移小游戲：請同學(xué)們拿出粉色的三角形紙片，將紙片放在桌面的左下角。

（學(xué)生照做。）

師聽我指令：將紙片向右平移，左右兩位同學(xué)相互觀察。

（學(xué)生照做。）

師你們平移后的紙片在桌面上的位置是否一樣？

生不一樣。

師為什么不一樣？

生因為不知道平移多遠，也就是不知道平移的距離。

師將紙片向右平移10 cm，現(xiàn)在紙片在桌面上的位置是否一樣？

生一樣。

師說明要確定物體平移后的位置需要明確哪些條件？

生方向和距離。

師通過這個游戲，我們對平移有了更深刻的認(rèn)識，那你們能不能給圖形的平移下一個定義呢？

生在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫平移。

師平移的要素有哪些？

生平移的方向和平移的距離。

師方向只能是向左、向右、向上、向下嗎？

生還可以斜著，只要是直線方向即可。

師直線方向也就是同一個方向。請同學(xué)們觀察平移前后圖形的形狀是否改變？大小呢？

生形狀、大小不變，只改變位置。

師（出示圖1）認(rèn)識了平移，請同學(xué)們判斷下面幾組圖形能否通過平移得到？

（學(xué)生判斷。）

（二）探究平移的性質(zhì)

師認(rèn)識了平移的概念，接下來研究平移的性質(zhì)。先來分析平移前后圖形元素的變化。（在幾何畫板中演示平移，得到圖2）如圖，將△ABC平移到 △A′B′C′的位置。點是組成圖形的基本元素。△ABC中的點A平移到了哪里？

生點A′。

師我們就把它們稱為一組對應(yīng)點。圖中還有哪些對應(yīng)點？

生點B對應(yīng)點B′，點C對應(yīng)點C′。

師線段是由點組成的，但也可以看作（直線）圖形的重要元素。那么，線段AB平移到了哪里？

生線段A′B′。

師我們就把它們稱為一組對應(yīng)線段。圖中還有哪些對應(yīng)線段？

生線段AC對應(yīng)線段A′C′，線段BC對應(yīng)線段B′C′。

師同樣地，角也可以看作（直線）圖形的重要元素。圖中有哪些對應(yīng)角？

生∠A對應(yīng)∠A′，∠B對應(yīng)∠B′，∠C對應(yīng)∠C′。

師這里的“對應(yīng)”是什么意思？

生∠A平移到了∠A′……

師可見，平移的方向和距離也可以用一組對應(yīng)點及其所連線段來描述，如點A到點A′的方向、線段AA′的長度。（稍停）認(rèn)識了圖形平移和點的平移的關(guān)系，我們能不能根據(jù)平移的方向和距離畫出平移后的圖形？（出示圖3）如圖所示，在方格中畫出△ABC向右平移4個單位后的△A′B′C′。請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上獨立完成，并總結(jié)作圖步驟。

（學(xué)生作圖。）

生先找出點A的對應(yīng)點A′，點B的對應(yīng)點B′，點C的對應(yīng)點C′，再連接A′B′、B′C′、C′A′。

師請你總結(jié)一下作圖步驟。

生先找對應(yīng)點，再連線段。

師注意順次連接。接下來，請同學(xué)們按照這一步驟，在學(xué)習(xí)單上獨立完成變式。（出示圖4）在方格中有四邊形ABCD，平移后點A到了點A′處，畫出平移后的四邊形A′B′C′D′。

（學(xué)生作圖。）

師請一位同學(xué)上來講一講你的畫法。

生先向右平移4個單位，再向下平移1個單位找對應(yīng)點，然后順次連接。

師向右、向下兩次平移可轉(zhuǎn)換為斜著的一次平移，即沿著AA′平移。（稍停）現(xiàn)在可以研究平移的性質(zhì)了。從哪些方面來研究呢？

生對應(yīng)點、對應(yīng)線段、對應(yīng)角。

師我們先來看對應(yīng)點。點沒有大小，位置關(guān)系也不太好描述，所以，我們研究對應(yīng)點所連線段的關(guān)系。線段的關(guān)系從哪些方面去研究？

生數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

師請同學(xué)們在剛才作出的圖形上，測量對應(yīng)點所連線段的長度以及相關(guān)角度，然后小組交流結(jié)論。

（學(xué)生測量，交流。）

師你們的結(jié)論是否一樣？

生對應(yīng)點所連線段的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是平行或共線。

師能否分享一下你的測量過程與結(jié)果？

（學(xué)生上臺，通過投影展示。）

師接下來研究對應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。請同學(xué)們在剛才作出的圖形上，測量對應(yīng)線段的長度以及相關(guān)角度，然后小組交流結(jié)論。

（學(xué)生測量，交流。）

師你們的結(jié)論是否一樣？

生（同步投影展示）對應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是平行或共線。

師最后一個，對應(yīng)角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請同學(xué)們在剛才作出的圖形上，測量對應(yīng)角的度數(shù)，然后小組交流結(jié)論。

（學(xué)生測量，交流。）

師你們的結(jié)論是否一樣？

生（同步投影展示）對應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系是相等。

師同學(xué)們通過測量、分析，得出了平移的三條性質(zhì)。老師也做了一個動畫來驗證它們。（幾何畫板演示平移，實時測量顯示有關(guān)的長度與角度）現(xiàn)在，總結(jié)一下，平移的性質(zhì)從哪些方面研究？研究了哪些關(guān)系？得到了什么結(jié)論？

……

（三）圖形平移的應(yīng)用

教師通過一道有關(guān)長度、角度的幾何題和一道有關(guān)面積的幾何題，讓學(xué)生嘗試平移的應(yīng)用;然后通過埃舍爾的畫作和嵊州百年老臺門成功修繕的實例，讓學(xué)生欣賞、感受平移的應(yīng)用。

二、教學(xué)診斷及改進建議

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對第二學(xué)段“圖形的平移”的教學(xué)要求是：通過觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識圖形的平移，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移;能從平移的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。②中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：24，37。對第三學(xué)段“圖形的平移”的教學(xué)要求是：通過具體實例認(rèn)識平移，探索它的基本性質(zhì);認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用;運用圖形的平移進行圖案設(shè)計。②可見，對“圖形的平移”，小學(xué)階段的教學(xué)重在直觀感知，初中階段的教學(xué)重在直觀感知基礎(chǔ)上的抽象概括。

徐利治先生指出：“所謂抽象思維，一般指抽取出同類事物的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他（非共同的）非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。”史寧中教授指出：“抽象是一種數(shù)學(xué)的思維過程，是從所要研究的數(shù)學(xué)問題中，舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性?！笨梢姡橄笫且粋€從特殊到一般的歸納過程。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，由此可以形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法等，數(shù)學(xué)的研究對象都是抽象思維的產(chǎn)物。

除了“從特殊到一般”這一本質(zhì)之外，抽象（思維）還包括一些具體細節(jié)過程。從上述教學(xué)過程來看，《圖形的平移》一課，要在概念探究和性質(zhì)探究兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中，放慢腳步，讓學(xué)生充分經(jīng)歷抽象的過程。

在概念探究環(huán)節(jié)，一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將“生活中的平移（物體的平移）”抽象為“數(shù)學(xué)中的平移（圖形的平移）”的“數(shù)學(xué)化”過程;另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從各種具體的圖形平移（乃至“非平移”）中，抽象出平移的兩個基本要素（方向與距離），得到圖形平移概念（定義）的過程。

在上述教學(xué)過程中，教師雖然呈現(xiàn)并讓學(xué)生舉了物體平移的例子，但是，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷從物體的平移到圖形的平移的抽象過程（我們聽課發(fā)現(xiàn)，這種教學(xué)問題很普遍，應(yīng)引起高度重視）。我們建議，在學(xué)生觀察、舉出物體平移的例子后，追問：在這些運動中，分別把什么看成圖形？是哪些圖形？從而搭建起學(xué)生感性經(jīng)驗和理性認(rèn)知之間的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生把物體抽象為圖形。特別是，初中研究的是平面圖形在平面上的平移（立體圖形在空間中的平移可以通過截面，分解轉(zhuǎn)化為平面圖形在平面上的平移。這其實是把圖形的平移分解轉(zhuǎn)化為點的平移的思考基礎(chǔ)），所以，還要讓學(xué)生經(jīng)歷從立體物體到平面圖形的抽象過程。

此外，教師在物體平移的基礎(chǔ)上，主要通過指令明確的圖形平移小游戲，引導(dǎo)學(xué)生抽象出平移的兩個基本要素，得到圖形平移的概念。這里，主要存在兩個問題：一是抽象的基礎(chǔ)——具體的圖形平移案例不夠豐富，尤其是缺少反例（非標(biāo)準(zhǔn)變式）;二是游戲指令過于具體，對探究結(jié)果的暗示太強。我們建議，放開限制，讓學(xué)生自由體驗圖形的運動（包括平移和非平移），自主歸納平移的基本要素（本質(zhì)特征）;引入更多例子，包括正例和反例（如圖1中的例子）、易混淆的例子（如摩天輪，其轎廂運動從過程看，不是平移，因為移動方向一直在變;從結(jié)果看，是平移，因為方向一定、距離一定，所有點的運動一致。由此可以提升學(xué)生的辯證思維），讓學(xué)生檢驗歸納的結(jié)果是否恰當(dāng)（是否只要抓住這些要素，就能判斷平移;是否只要滿足這些特征，就一定是平移）;并讓學(xué)生通過交流、討論，不斷完善歸納的結(jié)果。由此，學(xué)生不僅可以得到平移的基本要素以及描述性定義，而且可以充分認(rèn)識要素之“要”，理解定義的內(nèi)涵——圖形的平移是圖形整體的平移，每一部分（點）都沿同一方向移動同一距離。

在性質(zhì)探究環(huán)節(jié)，首先要讓學(xué)生基于平移的概念，從整體上理解平移的性質(zhì)指的是平移前后兩個圖形之間的關(guān)系（變中不變），可以分解轉(zhuǎn)化為對應(yīng)點之間的關(guān)系（從圖形到點是從物體到圖形基礎(chǔ)上的進一步抽象）;其次要結(jié)合枚舉歸納和科學(xué)歸納尹力，郭修瑾.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納推理能力的培養(yǎng)[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（12）：3235。，讓學(xué)生既通過具體的圖形操作（測量）尋找共同本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點連線之間的關(guān)系，又基于抽象的平移概念尋找必然聯(lián)系，說明對應(yīng)點連線關(guān)系成立的理由。

由此可以發(fā)現(xiàn)，上述教學(xué)過程存在三個問題：

一是沒有基于平移的概念，通過獨立思考、小組交流以及教師引導(dǎo)，讓學(xué)生認(rèn)識到：平移的基本性質(zhì)只在于對應(yīng)點連線之間的關(guān)系，不在于對應(yīng)線段和對應(yīng)角之間的關(guān)系，因為后者一方面可以由平移的定義得到（既然形狀、大小不變，那么對應(yīng)線段和對應(yīng)角自然相等），另一方面在有些圖形（比如圓）的平移中不存在（也就是沒有基于抽象后最一般的平移展開研究）。實際上，課程標(biāo)準(zhǔn)要求的平移的基本性質(zhì)只有對應(yīng)點連線之間的關(guān)系，人教版、蘇科版初中數(shù)學(xué)教材的編排也只引導(dǎo)學(xué)生得到這一關(guān)系，只有北師大版教材的編排同時引導(dǎo)學(xué)生得到對應(yīng)線段和對應(yīng)角之間的關(guān)系?？梢?，認(rèn)真閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)、充分比較各版本教材，應(yīng)是教師備課的基本環(huán)節(jié)。

二是讓學(xué)生通過具體的圖形操作（測量）發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點連線之間的關(guān)系時，設(shè)計的操作圖形過于“完美”，包括了“平行”和“共線”兩種情況，這樣就不能讓學(xué)生充分經(jīng)歷“初步歸納（得到‘平行’）—質(zhì)疑檢驗—遇到反例—修正歸納（得到‘平行或共線’）”的抽象過程，從而不能讓學(xué)生充分認(rèn)識到歸納是或然推理，需要檢驗甚至修正，也失去了培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的良好機會。

三是學(xué)生通過具體的圖形操作（測量）發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點連線之間的關(guān)系時，要得到正確的結(jié)論，必然要對數(shù)據(jù)做近似處理（因為測量誤差的存在，數(shù)據(jù)不可能正好相等），因此，必然影響學(xué)生對結(jié)論的信服程度。但是，教師只是讓學(xué)生通過圖形操作（測量）發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而沒有讓學(xué)生基于抽象的平移概念尋找必然聯(lián)系，說明對應(yīng)點連線關(guān)系成立的理由，從而提升其信服程度。實際上，根據(jù)平移的定義，圖形的每一部分（點）都沿同一方向移動同一距離，所以對應(yīng)點連線自然平行或共線且相等。而圖形操作（測量）更多的是用來幫助學(xué)生體驗、確認(rèn)這一結(jié)論的。

綜合來看，這三個問題反映了，教師對概念抽象與性質(zhì)抽象的區(qū)別和聯(lián)系把握不足（性質(zhì)抽象要以抽象的概念為基礎(chǔ)，融入演繹推理，即科學(xué)歸納），只是簡單地“走過場”，機械地讓學(xué)生經(jīng)歷一下“從特殊到一般”的過程。

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