夏瑞強(qiáng)，任 豪，梁開(kāi)旭

(長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引言

為了增加剛度，傳統(tǒng)的機(jī)械臂尺寸較大，導(dǎo)致其不能應(yīng)用于輕量化、高靈活性、高精度的場(chǎng)合。為了滿足各行業(yè)的實(shí)際需求，并實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂功能的多樣化，現(xiàn)在越來(lái)越多的機(jī)械臂采用變截面結(jié)構(gòu)和具有柔性的材料。與剛性機(jī)械手相比，柔型機(jī)械臂具有更高的速度、更好的能量效率、更高的機(jī)動(dòng)性和更高的有效載荷與臂重比等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，變截面結(jié)構(gòu)在滿足了機(jī)械梁臂承載能力的前提下，較好的實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)內(nèi)部?jī)?yōu)化，減輕了重量，節(jié)省了材料和成本[1-5]。然而，變截面柔性臂是一個(gè)復(fù)雜的分布參數(shù)系統(tǒng)，具有高度耦合性，這就使得其系統(tǒng)變得非常復(fù)雜，特性參數(shù)難以確定。因此本文以航空鋁材變截面柔性機(jī)械臂為研究對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其固有頻率測(cè)定方法進(jìn)行研究。

1 柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

針對(duì)機(jī)械臂的建模研究一般都將機(jī)械臂等效為變截面梁[4]，同時(shí)變截面梁材料具有等效果的柔性，使得變截面梁滿足機(jī)械梁臂的承載能力的同時(shí)，降低了系統(tǒng)的重量，增加了靈活性，減少了成本。

由振動(dòng)力學(xué)[11]可得本文的研究對(duì)象屬于歐拉-伯努利梁，其橫向自由振動(dòng)微分方程為：

(1)

其中，變截面機(jī)械臂中橫截面積A(x)和截面慣性矩I(x)是隨長(zhǎng)度x變化的函數(shù)[6]，EI表示臂的抗彎剛度。

(2)

將機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為如圖1所示的[8]運(yùn)動(dòng)模型，則由數(shù)學(xué)知識(shí)可知臂上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為：

(3)

則可得到系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V分別為：

(4)

(5)

式中：In為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，E為彈性模量，L為臂長(zhǎng)，ρ、A分別為機(jī)械臂材料密度和橫截面積，θ為柔性機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)角度。

應(yīng)用Lagrange動(dòng)力學(xué)方程可得：

(6)

式中：u為廣義力向量；qi為廣義位置向量，L=T-V。

聯(lián)立上式可得動(dòng)力學(xué)方程為[9-10]：

(7)

式中：σi為模態(tài)阻尼系數(shù)，Wi(l)為形狀函數(shù)。

2 微元法求解固有頻率

由上述可得變截面柔性臂橫向自由振動(dòng)微分方程以及動(dòng)力學(xué)方程，且由高等數(shù)學(xué)微分方程求解可設(shè)：

y(x，t)=Y(x)M(x)

(8)

Y(x)=Asinφ+Bcosφ+Csinhφ+Dcoshφ

(9)

為了方便解出該四階自由振動(dòng)微分方程，采用微元法將變截面機(jī)械臂劃分為無(wú)數(shù)個(gè)近似等截面小段，如圖2所示[5]，則單位長(zhǎng)度的彎曲剛度和線密度表達(dá)式如下[1]：

(10)

此時(shí)，梁上第i段自由振動(dòng)的方程為：

(11)

由公式(8)、公式(9)可知：

yi(x，t)=Yi(x)Mi(x)

(12)

Yi(x)=Aisinφ+Bicosφ+Cisinhφ+Dicoshφ

(13)

聯(lián)立上式可得：

(14)

由于采用微元法將機(jī)械臂分成n個(gè)小段，當(dāng)n足夠大時(shí)，每個(gè)小段可近視看成等截面機(jī)械臂，并且相鄰兩個(gè)小段在邊界處的各項(xiàng)參數(shù)近似相等，故有：

Yi(xi)=Yi+1(xi+1)

(15)

本論文研究的航空鋁材機(jī)械臂屬于懸臂結(jié)構(gòu)，則在x=0，x=L處分別有：

(16)

(17)

將式(15)轉(zhuǎn)換成矩陣形式[5]有：

(18)

聯(lián)立上式即可得到：

MiHi=Hi+1

(19)

其中：

Hi=[AiBiCiDi]T，

Hi+1=[Ai+1Bi+1Ci+1Di+1]T

(20)

式中，Mi為中間的傳遞矩陣，Hi和Hi+1為臂上第i段和第i+1段臂之間的待定系數(shù)向量。

聯(lián)立上式，并結(jié)合邊界條件公式(16)、公式(17)即可求得固有頻率。

以本論文研究對(duì)象航空鋁材柔性機(jī)械臂為例進(jìn)行計(jì)算，材料參數(shù)如表1所示[8]，結(jié)合上述方法以及邊界條件即可求得前三階固有頻率分別為4.892 Hz、26.321 Hz、70.546 Hz。

表1 航空鋁材機(jī)械臂各項(xiàng)參數(shù)

3 機(jī)械臂固有頻率測(cè)定

對(duì)于比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，一般會(huì)利用牛頓第二定律法、動(dòng)量距定理法、拉格朗日法和能量守恒法等方法求其固有頻率。求解方法通常都是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析得出系統(tǒng)的微分方程，求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到系統(tǒng)的固有頻率。本章節(jié)首先通過(guò)衰減曲線法利用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)測(cè)其固有頻率，然后利用ANSYS Workbench進(jìn)行仿真驗(yàn)證研究。

3.1 影響固有頻率的因素

一般將柔性機(jī)械臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程表述為如下形式[7]：

(21)

對(duì)式(21)求解，由振動(dòng)力學(xué)[11]和數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)可知，固有頻率的表達(dá)式如下：

|F2E-M-1K|=0

(22)

式中：F為固有頻率，E為單位矩陣。

由公式(22)可知，質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K決定了其系統(tǒng)的各階固有頻率，質(zhì)量矩陣M與研究對(duì)象的材料參數(shù)和幾何參數(shù)相關(guān)，而剛度矩陣K與材料本身的慣性矩、橫截面積、彈性模量等物理性質(zhì)以及本身的幾何形狀有關(guān)，而與本身受力和支撐情況無(wú)關(guān)。因此，柔性機(jī)械臂的這些因素決定了其固有頻率的大小。

3.2 振動(dòng)-衰減曲線法測(cè)固有頻率

系統(tǒng)的固有頻率是指系統(tǒng)在受迫而產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的共振頻率，因此，對(duì)臂施加外力，使其產(chǎn)生受迫運(yùn)動(dòng)，然后采用NI CRIO-9046嵌入式控制器和NI9237采集卡組成的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將應(yīng)變片上的應(yīng)變數(shù)據(jù)利用串口通訊的方式傳遞到上位機(jī)。利用Labview控制軟件將其變化波形實(shí)時(shí)顯示，并將實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)保存，如圖3所示，之后利用Matlab軟件對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速FFT變換，即可得到柔性機(jī)械臂相應(yīng)的固有振動(dòng)頻率，如圖4所示，前三階固有頻率分別為4.883 Hz、26.07 Hz、70.69 Hz。

3.3 仿真驗(yàn)證

利用有限元仿真軟件ANSYS對(duì)上文利用微元法的計(jì)算值以及實(shí)驗(yàn)測(cè)出的固有頻率值進(jìn)行仿真驗(yàn)證。首先打開(kāi)Workbench中的模態(tài)分析Modal模塊，如圖5所示。由表1 可知本文研究的航空鋁材機(jī)械臂各項(xiàng)參數(shù)，然后依據(jù)各項(xiàng)參數(shù)在Engineering Data模塊設(shè)置材料屬性，如圖6所示。在Geometry中建立模型。然后對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分、施加相應(yīng)的固定約束，最后進(jìn)行各階固有頻率的分析，分析結(jié)果如圖7所示，前三階的固有頻率分別為5.0995 Hz、26.692 Hz、70.849 Hz。

由以上方法得出變截面柔性機(jī)械臂固有頻率，結(jié)果如表2。經(jīng)實(shí)驗(yàn)和仿真得到的固有頻率，與利用微元法計(jì)算的值相比誤差均在5%以內(nèi)，表明所用方法的正確性。

表2 固有頻率計(jì)算結(jié)果(單位：Hz)

4 結(jié)論

本文以航空鋁材變截面柔性機(jī)械臂為研究對(duì)象，首先建立了動(dòng)力學(xué)模型并基于微元法對(duì)其固有頻率進(jìn)行計(jì)算，求出前三階固有頻率，并分析影響固有頻率的因素，然后利用實(shí)驗(yàn)的仿真微元法求出的值進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)據(jù)表明方法的正確性。