陳海軍 任元 王華

1) (航天工程大學(xué)宇航科學(xué)與技術(shù)系,北京 101416)

2) (航天工程大學(xué)基礎(chǔ)部,北京 101416)

3) (航天工程大學(xué),激光推進(jìn)及其應(yīng)用國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 101416)

1 引言

固體中的玻色子和光子在兩者能量和動(dòng)量接近時(shí)發(fā)生強(qiáng)耦合時(shí)形成的準(zhǔn)粒子稱之為極化激元,激子是電子和空穴(帶正電)由于庫(kù)侖力的作用形成的束縛態(tài).激子-極化激元是指半導(dǎo)體微腔中的光子和內(nèi)嵌在微腔量子阱中的激子發(fā)生強(qiáng)耦合形成的準(zhǔn)粒子[1],是一種半光半物質(zhì)的狀態(tài),是激子和光子的疊加態(tài),具有 10-31量級(jí)的質(zhì)量和ps 量級(jí)的壽命,其中的激子部分容易和其他粒子產(chǎn)生相互作用[2].激子-極化激元彼此之間發(fā)生相互作用,形成復(fù)合玻色子,可在接近室溫的條件下經(jīng)歷類似于玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensates,BECs)的非平衡相變,稱之為激子-極化激元BEC(簡(jiǎn)稱為極化激元凝聚,polariton condensates)[3-6].

原子除了軌道角動(dòng)量l外,還有自旋角動(dòng)量s,軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的耦合稱為SO 耦合(spinorbit coupling,SOC)或者s-l耦合,SOC 是量子力學(xué)誕生之初就已知的一種現(xiàn)象,代表了磁原子內(nèi)相互作用的主要來源[7].SOC 引起了原子能譜的變化,進(jìn)而導(dǎo)致了原子能譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)的形成.在中性原子中,不存在SOC 作用[8],但是可以通過適當(dāng)修改原子和光之間的相互作用產(chǎn)生非Abelian規(guī)范勢(shì)[9],從而使中性原子受到SOC 作用[10].

在固體物理中,SOC 作用是許多基本效應(yīng)的起源[11],由晶體結(jié)構(gòu)決定,很難操縱,而且很難與其他影響分開.在沒有反轉(zhuǎn)對(duì)稱性的半導(dǎo)體中,晶體中的靜電場(chǎng)通過Lorentz 變換成運(yùn)動(dòng)電子坐標(biāo)系中的磁場(chǎng),進(jìn)而和電子自旋耦合,產(chǎn)生SOC 作用[12].在能用單離子完美描述的固體磁性方面,SOC 起著重要作用,如在稀土絕緣體中和半導(dǎo)體中,在極值點(diǎn)附近SOC 通常會(huì)引起能帶分裂[7],另一方面,SOC 通過耦合自旋和軌道運(yùn)動(dòng)自由度來提升單電子能級(jí)的簡(jiǎn)并性[13].

在極化激元凝聚中,可以通過極化激元能級(jí)的腔誘導(dǎo)TE-TM 分裂實(shí)現(xiàn)足夠強(qiáng)的SOC[14].SOC對(duì)于具有旋量序參數(shù)的多組分旋量BEC 系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有十分重要的作用,在四分量旋量BEC 系統(tǒng)中,發(fā)現(xiàn)了依賴于自旋的明暗激子轉(zhuǎn)換,發(fā)現(xiàn)SOC產(chǎn)生了豐富多樣的拓?fù)湓?觀察到了明暗激子的相分離以及密度和自旋極化的奇異空間結(jié)構(gòu)[11].在原子BEC 中,SOC 會(huì)極大地影響周期勢(shì)場(chǎng)中可用非線性激發(fā)的穩(wěn)定性和對(duì)稱性[15].基于此,文獻(xiàn)[16]研究了雙組分旋量極化激元凝聚中,周期勢(shì)場(chǎng)中SOC 對(duì)能隙極化激元基本孤立子和渦旋孤立子形成的影響,給出了4 個(gè)不同族,拓?fù)浜蓴?shù)為m=±1的穩(wěn)定的渦旋孤立子.文獻(xiàn)[17]研究了徑向周期勢(shì)場(chǎng)中自旋極化激元凝聚的演化,在該周期勢(shì)場(chǎng)中允許新的非線性激發(fā),并支持極化激元凝聚體中以前從未證明過的各種動(dòng)態(tài)穩(wěn)定孤立子狀態(tài),包括密度峰值位于不同徑向最小值的環(huán)狀孤立子和擴(kuò)展的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定多環(huán)模式.

事實(shí)上,將光晶格勢(shì)場(chǎng)引入非線性介質(zhì)顯著提高了BEC 中局域波結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[18].上述文獻(xiàn)中研究了周期勢(shì)場(chǎng)中極化激元凝聚中局域波結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性,除此之外,非周期性勢(shì)場(chǎng)中極化激元凝聚的相關(guān)研究也引起了人們的關(guān)注,非周期性勢(shì)場(chǎng)最經(jīng)典的例子是Bessel 型光晶格(Bessel lattice,BL).BL 可由非衍射Bessel 光束產(chǎn)生,Bessel 光束或稱為無(wú)衍射光束由Durnin[19]于1987 年首先提出,可由計(jì)算機(jī)生成的全息圖[20]或者錐形棱鏡[21]產(chǎn)生.由于晶格誘導(dǎo)場(chǎng)的衍射受到抑制,類似于諧波晶格的情況,使得這種柱對(duì)稱的徑向非周期的晶格顯得特別重要.

物質(zhì)波孤立子是一種重要的非線性局域態(tài),能長(zhǎng)時(shí)間保持形狀和能量不隨時(shí)間變化,包括明孤立子、暗孤立子和渦旋孤立子等.有很多理論工作研究了BL 中孤立子的類型、結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為.在散焦立方非線性介質(zhì)中,由BL 可以支持靜態(tài)的、旋轉(zhuǎn)多極模孤立子和多環(huán)結(jié)構(gòu)多極模孤立子[22].在自聚焦介質(zhì)中由BL 可以支持穩(wěn)定的三維孤立子,如果晶格強(qiáng)度超過某一閾值,孤立子在其范數(shù)的一個(gè)或兩個(gè)區(qū)間內(nèi)是穩(wěn)定的[23].在立方-五次方非線性介質(zhì)中,BL 可以支持渦旋孤立子、多極孤立子和“項(xiàng)鏈”形孤立子[24].在立方非線性介質(zhì)中,BL 可以支持在自然界中非常罕見的、具有明亮形狀的、穩(wěn)定的環(huán)形渦旋孤立子,由于BL 的存在,這種環(huán)形渦旋孤立子是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的[22].Kartashov等[25]研究了BL 中渦旋孤立子家族的顯著特性,并給出了它們的穩(wěn)定性條件,結(jié)果表明,孤立子拓?fù)浜蓴?shù)越高,使其穩(wěn)定所需的晶格深度越大.另外,BL 中線性和非線性情況下基礎(chǔ)孤立子和多極孤立子的穩(wěn)定性被研究,在線性情況下,通過數(shù)值方法求解了不同深度的BL 對(duì)應(yīng)的本征值和本征函數(shù),在非線性情況下,研究了基礎(chǔ)孤立子和多極孤立子的存在性和穩(wěn)定性[26].

綜上所述,本文將BL 勢(shì)場(chǎng)引入極化激元凝聚系統(tǒng),研究在BL 勢(shì)場(chǎng)囚禁下雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).第2 節(jié)首先介紹了BL 勢(shì)場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型及其基本特征,然后給出了描述雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng)的GP (Gross-Pitaevskii)方程,并闡述了GP 方程中各參數(shù)的物理意義及其取值范圍,最后介紹了求解GP 方程的數(shù)值算法.第3 節(jié)研究了實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).第4 節(jié)研究了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).第5 節(jié)研究了BL 勢(shì)場(chǎng)中多極孤立子的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性.最后,第6 節(jié)給出了主要結(jié)論.

2 模型和方程

本節(jié)首先介紹BL 勢(shì)場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型及其主要特點(diǎn),然后給出描述極化激元凝聚動(dòng)力學(xué)的主要方程,并闡述方程中各參量和函數(shù)的物理意義和取值范圍,最后介紹求解方程的數(shù)值方法.

2.1 Bessel 型光晶格

圖1 不同階數(shù)n 的Bessel 型光晶格勢(shì)場(chǎng)的空間分布(a) n=0;(b) n=1;(c) n=2;(d) n=3 .x,y ∈[-8,8].勢(shì)場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中V0=1,b=0.5Fig.1.The BL potentialwith different n:(a) n=0;(b) n=1;(c) n=2;(d) n=3 .x,y ∈[-8,8],V0=1,b=0.5.

高階(n≥1) BL 的最小值分布在靠近勢(shì)場(chǎng)中央(勢(shì)場(chǎng)中央是勢(shì)壘)的第一圓環(huán)處(圖1(b),(c),(d)中黑色部分),第一圓環(huán)的半徑隨階數(shù)n的增大而增加,其深度隨階數(shù)n的增加而減小,高階BL 在第一圓環(huán)處形成環(huán)狀淺勢(shì)阱,其特點(diǎn)是在中央存在“倒鐘形”勢(shì)壘.高階BL 中,除第一圓環(huán)外,其他圓環(huán)都由環(huán)狀勢(shì)壘彼此分割.因此,為了維持相同的勢(shì)阱深度,高階BL 需要更大的勢(shì)阱強(qiáng)度.需要指出的是,中央深勢(shì)阱和環(huán)狀淺勢(shì)阱的寬度可以通過徑向收縮因子b調(diào)節(jié),在沒有特別指出的情況下,計(jì)算過程中均取b=0.5.另外,高階BL 的勢(shì)阱深度和勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度不一致,勢(shì)阱深度由勢(shì)場(chǎng)最小值和勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度共同決定.如n=3 時(shí),勢(shì)場(chǎng)最小值為-0.2,為了維持和n=0 時(shí)具有相同的勢(shì)阱深度,其勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)取V0=5.

2.2 Gross-Pitaevskii 方程

由于極化激元具有有限壽命以及極化激元之間存在散射,因此極化激元凝聚是非平衡系統(tǒng)[27],其動(dòng)力學(xué)通常用由衰減和泵浦引起的非厄米平均場(chǎng)近似理論描述[28].但是,如果極化激元凝聚達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),其中的泵浦和衰減達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡,可以看成是準(zhǔn)保守系統(tǒng)[16].另外,在自旋極化激元凝聚系統(tǒng)中,包含兩種自旋特征的分量,假定描述雙組分極化激元凝聚系統(tǒng)的波函數(shù)為ψ=(ψ1,ψ2)T,其滿足的Gross-Pitaevskii 方程的無(wú)量綱形式為[14,29]無(wú)量綱過程中,空間、時(shí)間和能量單位分別是x0=1 μm,t0=1.9ps 以及ε0=0.35 meV[16].勢(shì)能項(xiàng)α表示由腔誘導(dǎo)TE-TM分裂引起SO 耦合強(qiáng)度[30].g1=g2=1 表示同種自旋組分內(nèi)部極化激元之間存在排斥相互作用.g12=-0.05表示兩種自旋組分極化激元之間存在微弱的吸引相互作用,由于組分之間的相互作用十分微弱,因此組分之間的相互作用對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)不起決定作用.

考慮到要計(jì)算極化激元凝聚由于旋轉(zhuǎn)引起的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),以及穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)過程中隨時(shí)間的演化情況,因此選取旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 (x′,y′) 是十分方便的,具體旋轉(zhuǎn)方案可以參考文獻(xiàn)[31].旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系 (x,y)之間的關(guān)系為x′=xcos(Ωt)+ysin(Ωt),y′=ycos(Ωt)-xsin(Ωt),其 中Ω表 示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速率.在不至于混淆的前提下,采用相同的符號(hào)x,y表示兩種坐標(biāo)系,如果Ω=0表示實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系,Ω/=0表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系.在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,會(huì)在方程(1)中 引 入-Ωz項(xiàng)[32,33],其 中(?=1)表示角動(dòng)量z方向分量算符,則-Ωz=iΩ(x?y-?x).

2.3 計(jì)算方法和參數(shù)選擇

為了得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),利用虛時(shí)演化方法[34]求解方程(1).虛時(shí)演化方法求解方程(1)需要選擇合適的初始條件,雖然初始條件的選擇不會(huì)影響最終穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),但是合適的初始條件會(huì)使得計(jì)算程序盡快地收斂到最終的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)[35].在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中,常見的初始條件包括高斯型波包和TF近似求解方程(1)得到的解析解.在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,初始條件的選擇沒有確定的結(jié)論,文獻(xiàn)[35]提出了高斯型波包和量子化渦旋的疊加態(tài)作為初始條件,疊加態(tài)中的比例系數(shù)分別是 1-Ω和Ω.

為了計(jì)算多極孤立子穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),本文采用了正反渦旋疊加態(tài)[36]

作為初始條件,其中α,β是實(shí)數(shù),使得α2+β2=1,其平方表示正反渦旋在疊加態(tài)中所占的比重,為了方便,取w是高斯波包的寬度,l1和l2分別表示正反渦旋的角動(dòng)量量子數(shù),對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量分別是l1?,l2?.

勢(shì)場(chǎng)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)有重要影響.BL 的兩個(gè)參數(shù)分別是勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度V0和徑向收縮因子b,通過調(diào)節(jié)這兩個(gè)參數(shù),可以改變勢(shì)場(chǎng)的結(jié)構(gòu),進(jìn)而在其中形成對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).系統(tǒng)參數(shù)包括組分之間極化激元間的相互作用和組分內(nèi)部極化激元間的相互作用,以及SOC 相互作用,在本文計(jì)算過程中,固定g1=g2=1,g12=-0.05,即組分內(nèi)部有較強(qiáng)的排斥相互作用,而組分之間只有微弱的吸引相互作用,即可調(diào)節(jié)的系統(tǒng)參數(shù)只有SOC 相互作用.另外,旋轉(zhuǎn)參考系的旋轉(zhuǎn)角速率在旋轉(zhuǎn)參考系中也是重要的參數(shù),其取值范圍選擇Ω ∈[0,1].

3 實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)

本節(jié)在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中求解無(wú)SOC 作用和有SOC 作用時(shí)極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

3.1 無(wú)SOC 作用時(shí)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中,Ω=0.首先計(jì)算0 階Bessel勢(shì)場(chǎng)(n=0)中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),該勢(shì)場(chǎng)在中央形成深勢(shì)阱,中央深勢(shì)阱類似于拋物型勢(shì)阱,又不完全相同于拋物型勢(shì)阱,中央深勢(shì)阱的深度可以通過勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度調(diào)節(jié),而拋物型勢(shì)阱是無(wú)限深勢(shì)阱.0 階Bessel 勢(shì)場(chǎng)(n=0)中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖2所示,圖2(a)給出的是高斯型孤立子密度分布,高斯型孤立子屬于拋物型勢(shì)阱對(duì)應(yīng)的本征態(tài),屬于基礎(chǔ)孤立子類型,維持高斯型孤立子的勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度是V0=1.圖2(b)和圖2(c)表示多極孤立子密度分布,分別對(duì)應(yīng)偶極和四極孤立子,可以看出,維持多極孤立子需要更大的勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度,由于0 級(jí)Bessel勢(shì)場(chǎng)的中央深勢(shì)阱深度和勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度一致,即維持多極孤立子需要更深的中央勢(shì)阱.假定多極孤立子的極 數(shù) 用np表 示,則np=2時(shí),V0=4;np=4 時(shí),V0=20,隨著極數(shù)的增加,勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度增大,而且在中央深勢(shì)阱中很難支撐極數(shù)較大的多極孤立子,即使勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度再大.圖2(c)的計(jì)算范圍是x,y ∈[-3,3],而圖2(a)和圖2(b)的計(jì)算范圍是x,y ∈[-8,8],可以看出,隨著勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度的增加,多極孤立子越來越局域化,占據(jù)的空間范圍越小,與之對(duì)應(yīng)的密度分布的最大值隨之增加.另外需要指出的是,多極孤立子相鄰極對(duì)應(yīng)的相位是反相的,圖2(d)所示是和圖2(c)對(duì)應(yīng)的相位分布,可以看出,相位在0 和π之間交替變化.

圖20 階BL 中央深勢(shì)阱中的(a)高斯型孤立子、(b)偶極孤立子和(c)四極孤立子的密度分布;(d)與圖(c)對(duì)應(yīng)的相位分布.圖(a)和圖(b)的計(jì)算范圍是 x,y ∈[-8,8],圖(c)和圖(d)的計(jì)算范圍是 x,y ∈[-3,3],BL 參數(shù)分別是(a) V0=1;(b)V0=4,b=0.4;(c),(d)V0=20Fig.2.Densities of (a) Gassian,(b) dipolar,(c) quadrupolar solitons and (d) the phase of the quadrupolar soliton in the central deep potential well of the BL,where x,y ∈[-8,8]for panels (a) and (b),x,y ∈[-3,3]for panels (c) and (d).Values of other parameters are V0=1for panel (a),V0=4,b=0.4for panel (b),V0=20 for panels (c) and (d).

除中央深勢(shì)阱外,環(huán)狀淺勢(shì)阱的特點(diǎn)是深度隨著Bessel 晶格勢(shì)場(chǎng)階數(shù)n的增加而減小,半徑隨著階數(shù)n的增加而增加.環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖3 和圖4 所示.圖3 給出的是環(huán)狀孤立子,可以看出,淺勢(shì)阱中環(huán)狀孤立子的結(jié)構(gòu)完全依賴于環(huán)狀勢(shì)阱,其半徑隨著階數(shù)n的增加而增大.維持穩(wěn)定環(huán)狀孤立子結(jié)構(gòu)的勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度隨著階數(shù)n的增大而增加.另外,由于本文選擇保守系統(tǒng),粒子(極化激元,下同)數(shù)應(yīng)該守恒,隨著BL 階數(shù)n的增加,分布范圍(環(huán)形寬度不變,半徑增加)隨之增加,因此環(huán)狀孤立子的最大密度隨著階數(shù)n的增加而減小.環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚的多極孤立子穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖4 所示,和中央深勢(shì)阱相比,環(huán)狀勢(shì)阱中央存在勢(shì)壘,可以阻止粒子向中央移動(dòng),更易于多極孤立子的形成.圖4 給出多極孤立子的極數(shù)np=2,4,6,8,10,12,可以看出,極數(shù)是偶數(shù).實(shí)際上,這種多極孤立子可以看成是正反渦旋的疊加態(tài),當(dāng)l1=l2=l時(shí),形成疊加態(tài)的極數(shù)是 2l,此時(shí)正反渦旋的角動(dòng)量彼此抵消,整體的角動(dòng)量為0,如果l1/=l2,可以形成極數(shù)為奇數(shù)的疊加態(tài),但是l1/=l2,整體疊加態(tài)有剩余凈角動(dòng)量,因此穩(wěn)定的多極孤立子是極數(shù)為偶數(shù)、整體角動(dòng)量為0 的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

圖3 BL 環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚環(huán)狀孤立子穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度分布 |ψ1,2|2隨階數(shù)n 的變化,計(jì)算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率Ω=0,SOC 作用強(qiáng)度 α=0.BL 參數(shù)分別是 (a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c)V0=20,n=3Fig.3.Densities |ψ1,2|2of ring-shaped solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different (V0,n) :(a) (10,1);(b) (10,2);(c) (20,3).x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0.

圖4 BL 環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚多極孤立子穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度分布 |ψ1,2|2,計(jì)算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率 Ω=0,SOC 作用 強(qiáng) 度 α=0,n=3 .V0 和 np分 別 是 (a) V0=30,np=2;(b) V0=30,np=4;(c) V0=30,np=6;(d) V0=60,np=8 ;(e) V0=60,np=10;(f)V0=70,np=12Fig.4.Densities (|ψ1,2|2) of multipole solitons in the ring-shaped shallow potential well of BL with different (V0,np) :(a) (30,2);(b) (30,4);(c) (30,6);(d) (60,8);(e) (60,10);(f) (70,12).x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0,n=3.

另外,在同一階數(shù)的Bessel 勢(shì)場(chǎng)中可以形成極數(shù)不同的多極孤立子,圖4 中BL 勢(shì)場(chǎng)的階數(shù)是n=3,可以看出,多極孤立子的極數(shù)np隨著勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度的增加而增大,較大極數(shù)的多極孤立子需要較強(qiáng)的勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度,即某一勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度能維持多極孤立子的極數(shù)是確定的.如V0=30 維持的多極孤立子的最大極數(shù)是np=6,V0=60 維持的多極孤立子的最大極數(shù)是np=10,而當(dāng)np=12 時(shí),需要的勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度V0=70.另外,需要指出的是,同一勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度可以維持不同極數(shù)的多極孤立子,勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度和極數(shù)之間并沒有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.如V0=30 可以維持np≤6的多極孤立子,V0=60可以維持np≤10 的多極孤立子,V0=70至少可以維持np≤12 的多極孤立子.最后,多極孤立子各極的最大密度隨np沒有較大變化,在Bessel 勢(shì)場(chǎng)環(huán)狀淺勢(shì)阱中形成的多極孤立子各極隨角度均勻分布,邊緣清晰,各極所占空間范圍隨著np的增加而減小.相位分布和圖2(d)結(jié)果一致,多極孤立子相鄰極相位反相,相位在0 和 π 之間交替變化.

3.2 SOC 作用對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中極化激元凝聚穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的影響

圖5 和圖6 給出了存在SOC 作用時(shí)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).圖5 給出了SOC作用對(duì)中央深勢(shì)阱中基礎(chǔ)孤立子結(jié)構(gòu)的影響,不存在SOC 作用時(shí),基礎(chǔ)孤立子呈柱對(duì)稱分布,當(dāng)出現(xiàn)SOC 作用時(shí),基礎(chǔ)孤立子在y方向被壓縮,隨著SOC 作用系數(shù)α的增加,這種壓縮趨勢(shì)變得強(qiáng)烈,基礎(chǔ)孤立子的中心密度也隨之增加,如圖5(a),和圖5(b)所示.當(dāng)SOC 作用系數(shù)α繼續(xù)增加,如接近0.5 時(shí),基礎(chǔ)孤立子在x方向和y方向同時(shí)被壓縮,y方向壓縮的程度更大,如圖5(c)所示.當(dāng)α非常接近0.5 時(shí),基礎(chǔ)孤立子開始分裂,除了中央主要部分外,有少部分粒子圍繞在中央部分外側(cè),并且關(guān)于x軸分離對(duì)稱,如圖5(d)所示.

圖5 BL 勢(shì)場(chǎng)中央深勢(shì)阱中基礎(chǔ)孤立子穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度分布 |ψ1,2|2隨SOC 作用強(qiáng)度α 的變化 (a) α=0.3;(b) α=0.4 ;(c) α=0.495;(d) α=0.499.計(jì)算范圍 x,y ∈[-3,3],BL 參數(shù)為 V0=1.0,n=0,角速率Ω=0Fig.5.Densities |ψ1,2|2of fundamental solitons in the central deep potential well of the BL with different α:(a) α=0.3 ;(b) α=0.4;(c) α=0.495;(d) α=0.499.x,y ∈[-3,3],Ω=0 ,V0=1.0,n=0.

圖6 給出了SOC 作用對(duì)環(huán)狀淺勢(shì)阱中環(huán)狀孤立子的影響,可以看出,相同強(qiáng)度的SOC 作用對(duì)不同階數(shù)Bessel 光晶格勢(shì)場(chǎng)中環(huán)狀孤立子結(jié)構(gòu)的影響一致,使得不存在SOC 作用時(shí)的完全柱對(duì)稱的環(huán)狀孤立子結(jié)構(gòu)在y方向發(fā)生分裂,分裂間隙隨著階數(shù)n的增大而增加.從穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度分布可以看出,SOC 作用影響下的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)類似于偶極孤立子,但是從相位圖6(d)可以看出,該穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的相位圖完全不同于偶極孤立子的相位分布,相位分布的極數(shù)是密度分布極數(shù)的2 倍,相鄰極所對(duì)應(yīng)的相位在0 和約 0.86 之間交替變化,而偶極孤立子的相位在0 和 π 之間交替變化.

圖6 存在SOC 作用時(shí),不同階數(shù)BL 勢(shì)場(chǎng)環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度分布 |ψ1,2|2.計(jì)算范圍 x,y ∈[-8,8],角速率 Ω=0,SOC 作用強(qiáng)度 α=0.2.BL 參數(shù)分別是 (a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c),(d)V0=20,n=3Fig.6.In the presence of SOC,the densities (|ψ1,2|2) of stationary state structures in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different V0 and n:(a) V0=10,n=1;(b) V0=10,n=2;(c),(d) V0=20,n=3 .x,y ∈[-8,8],Ω=0,α=0.2.

4 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)

研究旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中極化激元系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí),實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系是靜系,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于靜系以角速率Ω旋轉(zhuǎn)是動(dòng)系.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)指的是觀察者處于動(dòng)系中時(shí)觀察到的極化激元凝聚的密度分布,根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,這種密度分布也可以看成是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系不動(dòng),而極化激元凝聚旋轉(zhuǎn)引起的,其旋轉(zhuǎn)角速率是-Ω.

4.1 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中環(huán)狀淺勢(shì)阱中的渦旋孤立子

為了討論極化激元凝聚系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài),引入了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(x′,y′),其旋轉(zhuǎn)角速率是Ω.在旋轉(zhuǎn)參考系中,可以得到渦旋孤立子.圖7 給出了不存在SOC 作用時(shí)環(huán)狀淺勢(shì)阱中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),可以看出,不存在SOC 作用時(shí),兩種組分形成對(duì)稱的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),即|ψ1|2=|ψ2|2,上述實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)皆是如此.由于受到環(huán)狀淺勢(shì)阱的束縛,環(huán)狀渦旋孤立子和環(huán)狀孤立子的密度分布相同,從密度分布上不能區(qū)分是環(huán)狀孤立子還是環(huán)狀渦旋孤立子.圖7(a)表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系角速率Ω=0.05時(shí)形成的渦旋孤立子的密度分布,圖7(b)表示與之對(duì)應(yīng)的相位分布,可以清楚地看出,渦旋孤立子中渦旋對(duì)應(yīng)相位分布中的奇點(diǎn),相位圍繞奇點(diǎn)從0 到 π 均勻變化.圖7(b)表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系角速率Ω=0.1 時(shí)形成的渦旋孤立子的密度分布,圖7(d)表示與之對(duì)應(yīng)的相位分布,可以看出,相位在奇點(diǎn)周圍經(jīng)歷了兩次從0 到 π 的均勻變化,這種變化次數(shù)和環(huán)狀渦旋孤立子對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量成正比,角速率為0.1 時(shí)對(duì)應(yīng)渦旋孤立子的角動(dòng)量是角速率為0.05時(shí)形成渦旋孤立子角動(dòng)量的2 倍.

圖7 無(wú)SOC 作用,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,處于BL 環(huán)狀淺勢(shì)阱中極化激元凝聚的渦旋孤立子結(jié)構(gòu)的密度((a),(c))和相位((b),(d))分布,BL 參數(shù)為 V0=10,n=3,計(jì)算范圍 x,y ∈[-8,8],α=0.角速率分別是0.05((a),(b))和0.1((c),(d))Fig.7.In the absence of SOC,the densities ((a),(c)) and phases ((b),(d)) vortex solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL in the rotating coordinate frame with different Ω (0.05 for panels (a) and (b),and 0.1 for panels (c) and (d)),where x,y ∈[-8,8],α=0 ,V0=10,n=3.

圖8 是存在SOC 作用時(shí),環(huán)狀淺勢(shì)阱中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).可以看出,當(dāng)存在SOC 作用時(shí),兩組分之間發(fā)生了組分分離,這和無(wú)SOC 作用系統(tǒng)的組分分離條件是不一致的,無(wú)SOC 作用系統(tǒng)的組分分離條件是＞g1g2[37],而本文所給的參數(shù)并不滿足這一條件,因此在存在SOC 作用的系統(tǒng)中,由于SOC 作用的存在,不滿足條件1g2時(shí),組分之間也發(fā)產(chǎn)生了分離.另外可以看出,當(dāng)系統(tǒng)中存在SOC 作用時(shí),在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,環(huán)狀淺勢(shì)阱中兩組分形成不對(duì)稱的(|ψ1|2/=|ψ2|2)穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

圖8(a)表示旋轉(zhuǎn)角速率為Ω=-0.15 時(shí)環(huán)狀淺勢(shì)阱中的極化激元凝聚的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).第一組分的密度分布|ψ1|2呈現(xiàn)類似于偶極孤立子的結(jié)構(gòu),偶極孤立子的兩極關(guān)于x軸分離對(duì)稱.|ψ1|2對(duì)應(yīng)的相位分布呈不規(guī)則的區(qū)域顯示,每個(gè)區(qū)域內(nèi)相位是從0 到 π 變化,但是每個(gè)區(qū)域的邊緣不規(guī)則,而且每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的相位奇點(diǎn)也不重合.第二組分的密度分布|ψ2|2也呈現(xiàn)類似于偶極孤立子的分布,但是兩極沒有完全分離,關(guān)于y軸對(duì)稱,相位分布和第一組分具有相同特點(diǎn).整體上看,兩個(gè)組分發(fā)生了組分分離,第一組分上下布局,第二組分左右布局.

圖8 存在SOC 作用時(shí),不同角速率下形成的渦旋孤立子的密度和相位分布 (a) —0.15;(b) 0;(c) 0.15.計(jì)算范圍x,y ∈[-8,8],α=0.1 ,V0=10,n=3Fig.8.In the presence of SOC,the densities and phases of vortex solitons in the ring-shaped shallow potential well of the BL with different Ω :(a) —0.15;(b) 0;(c) 0.15.x,y ∈[-8,8] ,V0=10,n=3,α=0.1.

圖8(b)表示旋轉(zhuǎn)角速率為0 時(shí)環(huán)狀淺勢(shì)阱中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),兩組分呈對(duì)稱分布,即|ψ1|2=|ψ2|2,其特點(diǎn)在第3.1 節(jié)做了分析,兩組分的相位分布相差 π/2 角度,即第二組分的相位分布相對(duì)于第一組分的相位旋轉(zhuǎn)了 π/2 角度.圖8(c)表示旋轉(zhuǎn)角速率為Ω=0.15 時(shí)環(huán)狀淺勢(shì)阱中的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),和圖8(a)的旋轉(zhuǎn)方向相反,可以看出,由于SOC 作用的存在,相比于圖8(a),兩組分的密度和相位分布剛好完全交換.因此,對(duì)于存在SOC 作用的體系,環(huán)狀淺勢(shì)阱中渦旋孤立子的基態(tài)結(jié)構(gòu)對(duì)于角速率不是完全對(duì)稱的,而是反對(duì)稱的,即|ψ1(Ω)|2=|ψ2(-Ω)|2,|ψ2(Ω)|2=|ψ1(-Ω)|2.

4.2 BL 的徑向縮放因子對(duì)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的影響

如上所述,當(dāng)存在SOC 作用時(shí),在環(huán)狀淺勢(shì)阱中的渦旋孤立子會(huì)產(chǎn)生組分分離使系統(tǒng)形成非對(duì)稱的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),這種組分分離現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中并不會(huì)產(chǎn)生,在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中形成對(duì)稱的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).本節(jié)討論坐標(biāo)系高速 (Ω ≈1) 旋轉(zhuǎn)情況下,BL 勢(shì)場(chǎng)的徑向縮放因子b對(duì)中央深勢(shì)阱中渦旋穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的影響,縮放因子可以通過調(diào)節(jié)深勢(shì)阱的寬度改變勢(shì)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)而影響穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

圖9(a)給出了b=0.1 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),b的數(shù)值越小,勢(shì)阱寬度越大,可以看出,兩組分發(fā)生了完全的柱對(duì)稱組分分離,組分1 占據(jù)深勢(shì)阱的中央位置,而組分2 環(huán)繞在組分1 周圍,而且組分1 的密度最大值遠(yuǎn)大于組分2 的密度最大值,1.405/0.1289≈11,即組分1 的密度最大值大約是組分2 密度最大值的11 倍.

圖9(b)給出了b=0.2 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),隨著b值的增加,勢(shì)阱寬度減小,囚禁范圍減小,可以看出,兩組分所占據(jù)的空間范圍減小,兩組分的主要部分(密度分布較大的區(qū)域)也發(fā)生了組分分離,組分1 的密度空間分布沒有很大變化,而相位分布有了變化,獨(dú)立的4 個(gè)相位區(qū)域均勻分布,相位大小交替變化.組分2 的主要部分形成了上下對(duì)稱的偶極孤立子形式,而其余部分在中央形成了相鄰的兩個(gè)渦旋,在相位圖上可以清楚地看出,兩組相位從0 到 π 變化區(qū)域,但是相位奇點(diǎn)沒有完全重合.

圖9 BL 勢(shì)場(chǎng)的徑向縮放因子b 對(duì)中央深勢(shì)阱中渦旋穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的密度和相位的影響 (a) b=0.1;(b) b=0.2;(c) b=0.3 ;(d) b=0.4.計(jì)算范圍 x,y ∈[-2,2],SOC 作用強(qiáng)度 α=0.4,BL 參數(shù)為 V0=40,n=0,旋轉(zhuǎn)角速率Ω=0.95Fig.9.Densities and phases of stationary vortex structures in the central deep potential of the BL with different b:(a) b=0.1 ;(b) b=0.2;(c) b=0.3;(d) b=0.4.x,y ∈[-2,2],α=0.4 ,V0=40,n=0,Ω=0.95.

圖9(c)給出了b=0.3 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),隨著b值繼續(xù)增加,勢(shì)阱寬度繼續(xù)減小,囚禁范圍繼續(xù)減小,可以看出,兩組分所占據(jù)的空間范圍進(jìn)一步縮小,整體上看,兩組分沒有完全組分分離,兩組分都在深勢(shì)阱中央部分有分布,組分1 全部分布在勢(shì)阱中央部分,而組分2 呈“紡錘”型沿著y方向分布,沿x方向有兩個(gè)渦旋對(duì)稱分布.兩組分的相位分布相對(duì)于圖9(b)沒有顯著變化.

圖9(d)給出了b=0.4 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),兩組分的密度分布相對(duì)于圖9(c)無(wú)顯著變化,只是組分2 的“紡錘”型分布沿y方向.組分1 的相位分布由反對(duì)稱的上下兩部分構(gòu)成,組分2 的兩個(gè)從0 到 π 的相位變化區(qū)域奇點(diǎn)關(guān)于x軸分離對(duì)稱分布.

5 BL 勢(shì)場(chǎng)中多極孤立子的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性

第3 節(jié)給出了實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中,在Bessel 勢(shì)場(chǎng)的中央深勢(shì)阱和環(huán)狀淺勢(shì)阱中可以形成多極孤立子,由于環(huán)狀淺勢(shì)阱存在中央勢(shì)壘,能阻止粒子向勢(shì)場(chǎng)中心靠攏,從而更容易形成多極孤立子.第4 節(jié)研究了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中渦旋孤立子的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).本節(jié)研究第3 節(jié)中給出的多極孤立子的穩(wěn)定性,即讓多極孤立子以一定的角速率長(zhǎng)時(shí)間旋轉(zhuǎn),檢驗(yàn)其保持整體性的能力.

檢驗(yàn)多極孤立子穩(wěn)定性的一個(gè)有效方法是觀察其長(zhǎng)時(shí)間演化行為,如果其密度分布的整體性和相對(duì)結(jié)構(gòu)不隨時(shí)間變化,則極化激元凝聚系統(tǒng)是穩(wěn)定的,否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.圖10 為旋轉(zhuǎn)角速率為Ω=0.1時(shí),幾種模式的多極孤立子在t ∈[0,100]區(qū)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中其密度分布隨時(shí)間的變化.圖10(a)和圖10(b)表示的是在中央深勢(shì)阱中形成的偶極和四極孤立子密度分布隨時(shí)間的演化情況.從圖10(a)可以看出,中央深勢(shì)阱中形成的偶極孤立子在長(zhǎng)時(shí)間的旋轉(zhuǎn)演化過程中密度分布的相對(duì)位置和結(jié)構(gòu)保持不變,偶極孤立子是旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定的.為了觀察其旋轉(zhuǎn)細(xì)節(jié),給出了時(shí)間間隔 Δt=25 時(shí)的密度分布,可以看出,偶極孤立子整體做類似于剛體的勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),更進(jìn)一步證實(shí)了其穩(wěn)定性.

圖10(b)給出了中央深勢(shì)阱中形成的四極孤立子的旋轉(zhuǎn)情況,可以看出在t ∈[0,22.5]區(qū)間內(nèi)保持完整的剛體勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),但是,當(dāng)t=30 時(shí),四極孤立子突然塌縮.一方面,在Bessel 勢(shì)場(chǎng)的中央深勢(shì)阱中很難形成極數(shù)較多的多極孤立子,如在本文給定的條件下,形成了np=2 的偶極孤立子;另一方面,在Bessel 勢(shì)場(chǎng)的中央深勢(shì)阱中形成的極數(shù)較多的孤立子是不穩(wěn)定的,如本文給定的條件下,偶極孤立子是穩(wěn)定的,而四極孤立子是不穩(wěn)定的.

圖10(c),(d)給出了Bessel 勢(shì)場(chǎng)中環(huán)狀淺勢(shì)阱中形成的多極孤立子的旋轉(zhuǎn)過程.圖10(c)表示環(huán)狀淺勢(shì)阱中四極孤立子在t ∈[0,100]區(qū)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)過程中密度分布隨時(shí)間的變化過程,同樣地,給出時(shí)間間隔 Δt=25 時(shí)的密度分布,可以看出,旋轉(zhuǎn)過程中,四極孤立子保持了整體的剛性勻速旋轉(zhuǎn),密度分布的四極之間的相對(duì)位置沒有變化,密度分布的最大值也保持恒定.

圖10 BL 勢(shì)場(chǎng)中多極孤立子在旋轉(zhuǎn)過程中,密度分布 |ψ1,2|2隨時(shí)間變化,旋轉(zhuǎn)角速率為Ω=0.1Fig.10.Evolution dynamics of the multipolar solitions in the BL with Ω=0.1.

圖10(d)給出了np=12 的多極孤立子的旋轉(zhuǎn)過程,可以看出,其旋轉(zhuǎn)過程中保持了很好的完整性,內(nèi)部各部分之間相對(duì)位形保持不變,因此,環(huán)狀淺勢(shì)阱中形成的多極孤立子具有良好的穩(wěn)定性.另外,隨著np的增加,穩(wěn)定的多極孤立子的密度分布在空間形成類似儀表的刻度,能更好地標(biāo)識(shí)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角位置,進(jìn)而根據(jù)多極孤立子旋轉(zhuǎn)角速率和坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角速率之間的關(guān)系,確定坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速率,基于此,有人提出了多極孤立子陀螺的概念[38].

6 結(jié)論

BL 勢(shì)場(chǎng)具有環(huán)狀勢(shì)阱和無(wú)限深勢(shì)阱的雙重性質(zhì),0 階BL 在勢(shì)場(chǎng)中央形成類似于拋物型勢(shì)阱的深勢(shì)阱,而高階BL 在第一圓環(huán)處可以形成環(huán)狀淺勢(shì)阱,這種環(huán)狀淺勢(shì)阱由于中央存在勢(shì)壘,能阻止粒子向中央聚集.BL 勢(shì)場(chǎng)是非周期性勢(shì)場(chǎng),柱對(duì)稱的BL 勢(shì)場(chǎng)中央深勢(shì)阱和第一圓環(huán)處的淺勢(shì)阱更具有特殊性,可以通過勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度和徑向縮放因子分別調(diào)節(jié)中央深勢(shì)阱和環(huán)狀淺勢(shì)阱的深度和寬度,使得粒子被牢固地束縛在其中形成多種構(gòu)型的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).另外,極化激元系統(tǒng)甚至可以在室溫下發(fā)生相變形成極化激元凝聚,這種能在室溫下實(shí)現(xiàn)凝聚的系統(tǒng)給量子物理研究帶來了十分優(yōu)越的平臺(tái),而在其中通過TE-TM 分裂形成具有較強(qiáng)SOC 作用的雙組分旋量極化激元凝聚系統(tǒng),SOC 作用的引入使得系統(tǒng)多了一個(gè)自由度,可以通過調(diào)節(jié)SOC強(qiáng)度改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

本文把BL 引入具有SOC 作用的雙組分旋量極化激元系統(tǒng),研究了實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中極化激元凝聚系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)包括基礎(chǔ)型孤立子(高斯孤立子)、多極孤立子、靜態(tài)環(huán)狀孤立子和渦旋環(huán)狀孤立子.由于多極孤立子在量子導(dǎo)航領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用,本文也驗(yàn)證了多極孤立子的穩(wěn)定性,在BL 勢(shì)場(chǎng)的環(huán)狀淺勢(shì)阱中形成的多極孤立子具有良好的穩(wěn)定性,能在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中保持穩(wěn)定和結(jié)構(gòu)的完整性.