原來，它們的本質(zhì)是一樣的

成維嘉

在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道，“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，這便把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，使得有理數(shù)的加減混合運算統(tǒng)一成加法。因此，加法與減法本質(zhì)是一樣的。而根據(jù)“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，我們便把除法轉(zhuǎn)化為乘法。因此，乘法與除法本質(zhì)上也是一樣的。那么，在本章的學(xué)習(xí)中，同底數(shù)冪的除法可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法嗎？它們的本質(zhì)也是一樣的嗎？

同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)是：am·an=am+n（m、n為正整數(shù)）。同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)是：am÷an=am-n（a≠0，m、n為正整數(shù)，m>n）。在規(guī)定了零指數(shù)冪a0=1（a≠0）和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a-n=[1an]（a≠0，n為正整數(shù)）的意義后，冪的運算性質(zhì)的適用范圍隨之?dāng)U大到整數(shù)范圍，同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)擴(kuò)展為am÷an=am-n（a≠0，m、n為整數(shù)）。這時不再需要強(qiáng)調(diào)m、n為正整數(shù)，也不再需要關(guān)注m與n的大小關(guān)系。同時，我們可以用同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)推導(dǎo)出同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)。具體思路是：首先，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，am÷an=am?[1an];其次，根據(jù)a-n=[1an]（a≠0，n為正整數(shù)），得到am?[1an]=am?a-n;再次，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)，得到am?a-n=am+（-n）=am-n;最后，am÷an=am?[1an]=am?a-n=am+（-n）=am-n。這個過程中，有am÷an=am?a-n，同底數(shù)冪的除法就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法了。原來，同底數(shù)冪的乘法、除法本質(zhì)上是一樣的。

根據(jù)乘方的意義，我們還可以發(fā)現(xiàn)（[ba]）n=[bnan]（a≠0，n是整數(shù)）。同學(xué)們，你能用類似上述的方法推導(dǎo)出這個結(jié)論嗎？

教師點評

小作者不僅能正確地認(rèn)識與理解冪的運算性質(zhì)，而且能借助已有的知識，以理馭算，研究發(fā)現(xiàn)新問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的理性思考，是一種創(chuàng)新意識?！霸瓉恚鼈兊谋举|(zhì)是一樣的”是一個了不起的發(fā)現(xiàn)。

（指導(dǎo)教師：宋志娟）

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