電磁感應(yīng)中的“知三求三”

■重慶市高新區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 楊天才(特級(jí)教師,正高級(jí)教師)

恒力作用下的導(dǎo)體桿做切割磁感線運(yùn)動(dòng),已知條件一般有:①基本屬性:導(dǎo)體桿的質(zhì)量m,電路中的總電阻R;②外部環(huán)境:勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B;③幾何長(zhǎng)度:導(dǎo)體桿的有效切割長(zhǎng)度L;④初始條件:導(dǎo)體桿的初速度為零;⑤隱含條件:導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì),且足夠長(zhǎng)。待求的物理量一般有六個(gè):①恒定外力F;②導(dǎo)體桿的速度v;③導(dǎo)體桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;④導(dǎo)體桿的位移x;⑤產(chǎn)生的焦耳熱Q;⑥通過導(dǎo)體桿橫截面的電荷量q。如果知道這六個(gè)物理量中的三個(gè),那么就可以利用方程Ft+ (-qBL)=mv,Fx+求剩下的三個(gè)。

說明:①若導(dǎo)體桿的初速度不為零,則同理可以“知三求三”;②若導(dǎo)體桿最終達(dá)到最大速度vmax,增加一個(gè)方程,則可以“知二求四”;③在沒有外力作用的情形下,方程Ft+(-qBL)=mv變?yōu)閝BL=mv,則不能求解時(shí)間t,而位移x、焦耳熱Q、電荷量q仍可求。

例1如圖1所示,在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬軌道MN、PQ固定在水平面內(nèi),相距為L(zhǎng)。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒cd垂直于軌道MN、PQ放置,與軌道接觸良好。軌道和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)。若軌道左端M、P間接一阻值為R的電阻,導(dǎo)體棒cd在拉力F的作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過時(shí)間t,導(dǎo)體棒cd的速度為v。求:

(1)通過導(dǎo)體棒cd某一橫截面的電荷量q。

(2)時(shí)間t內(nèi)導(dǎo)體棒cd的位移x。

(3)時(shí)間t內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

解析:(1)導(dǎo)體棒cd在拉力F和安培力的作用下做變加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)動(dòng)量定理得qBL,解得。

(3)根據(jù)動(dòng)能定理得Fx+(-Q)=,解得。

點(diǎn)評(píng):恒力作用下的導(dǎo)體桿切割磁感線運(yùn)動(dòng)模型,涉及的物理量多,已知條件也多,所要用到的物理規(guī)律涵蓋高中物理的絕大多數(shù),如力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系(受力分析、牛頓運(yùn)動(dòng)定律等),功和能的關(guān)系(動(dòng)能定理、能量守恒定律等),沖量和動(dòng)量的關(guān)系(動(dòng)量定理、力的沖量等),電路(串并聯(lián)電路規(guī)律、閉合電路歐姆定律等),電磁感應(yīng)現(xiàn)象(法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律、右手定則、左手定則等),因而成為了高考考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)。本題已知恒定外力F、導(dǎo)體棒cd的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和速度v,屬于“知三求三”的具體應(yīng)用。

例2如圖2所示,相距為L(zhǎng)的兩根足夠長(zhǎng)平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面間的夾角為θ,導(dǎo)軌上端N、Q間接有阻值為R的電阻。整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下。將質(zhì)量為m,阻值也為R的金屬桿cd垂直放置在導(dǎo)軌上,由靜止釋放,下滑距離為x時(shí)達(dá)到最大速度。重力加速度為g,導(dǎo)軌電阻不計(jì),金屬桿cd與導(dǎo)軌始終接觸良好。求:

圖2

(1)金屬桿cd下滑過程中的最大加速度amax。

(2)金屬桿cd能夠達(dá)到的最大速度vmax。

(3)金屬桿cd由靜止運(yùn)動(dòng)至達(dá)到最大速度的過程中,金屬桿cd中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

(4)金屬桿cd由靜止運(yùn)動(dòng)至達(dá)到最大速度的過程中,通過金屬桿cd某一橫截面的電荷量q。

(5)金屬桿cd由靜止運(yùn)動(dòng)至達(dá)到最大速度的過程所用的時(shí)間t。

(6)畫出金屬桿cd在下滑過程中的大致v-t圖像。

解析:(1)設(shè)金屬桿cd下滑到某位置時(shí)的速度為v,則金屬桿cd切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv,回路中的感應(yīng)電流I=,金屬桿cd受到的安培力F安=BIL,根據(jù)牛頓第二定律得,即。當(dāng)v=0時(shí),金屬桿cd的加速度最大,最大加速度amax=gsinθ,方向沿導(dǎo)軌所在平面向下。

(2)當(dāng)金屬桿cd的加速度a=0時(shí),速度最大,最大速度,方向沿導(dǎo)軌所在平面向下。

(3)根據(jù)能量守恒定律得mgxsinθ=,解得Q=。

(4)通過金屬桿cd某一橫截面的電荷量。

(5)根據(jù)動(dòng)量定理得mgtsinθ-qBL=mvmax,解得。

(6)由(1)問的分析可知,金屬桿cd在下滑過程中的大致v-t圖像如圖3所示。

圖3

點(diǎn)評(píng):本題已知恒定外力mgsinθ和金屬桿cd沿導(dǎo)軌下滑的位移x,還已知下滑過程中金屬桿cd最終達(dá)到最大速度,屬于“知二求四”的具體應(yīng)用。

如圖4所示,相距為L(zhǎng)的兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi),導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下分布在導(dǎo)軌所在空間內(nèi),質(zhì)量為m的金屬棒PQ垂直于導(dǎo)軌放置?，F(xiàn)使金屬棒PQ以一定的初速度v0向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)其到達(dá)虛線c所在位置時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)導(dǎo)軌與金屬棒PQ的電阻均不計(jì),求:

圖4

(1)通過金屬棒PQ某一橫截面的電荷量q。

(2)金屬棒PQ運(yùn)動(dòng)的距離x。

(3)電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

參考答案:(1);(2);(3)。