以數(shù)解形，深度幾何概念教學(xué)

胡海光

[摘? 要] 以數(shù)解形是小學(xué)階段認(rèn)識(shí)圖形的重要策略。因此在教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生、教材實(shí)際，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，通過(guò)提供格子圖等含有“數(shù)”的材料，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，把握概念的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 以數(shù)解形;格子圖;幾何概念;深度學(xué)習(xí)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”他特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合的作用與重要性。在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們更關(guān)注“以形助數(shù)”，借助形的幾何直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，用來(lái)理解或解決問(wèn)題;而對(duì)于“以數(shù)解形”，借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性則重視不夠。顯然，在幾何概念教學(xué)中，數(shù)量的介入對(duì)于學(xué)生獲得清晰、精細(xì)、準(zhǔn)確的認(rèn)知顯得尤為重要。能否從這一層面做一些嘗試，借助數(shù)量，尤其是格子圖，讓學(xué)生獲得對(duì)幾何概念清晰、精細(xì)、準(zhǔn)確的認(rèn)知？結(jié)合人教版四上“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這一課，筆者作了一些思考與研究。

一、對(duì)前人實(shí)踐的思考

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)1

1. 認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征

（1）從生活中抽象出圖形。

（2）在方格紙上畫(huà)出圖形。

畫(huà)一畫(huà)：你還能想象出平行四邊形的樣子嗎？在方格紙上畫(huà)一個(gè)平行四邊形。（教師收集學(xué)生作品，排序做好展示準(zhǔn)備）

看一看：展示的作品是不是平行四邊形？如果不是，請(qǐng)說(shuō)出理由。

（3）通過(guò)對(duì)比找異同。

比一比：請(qǐng)觀(guān)察畫(huà)在方格紙上的平行四邊形，它們長(zhǎng)得一樣嗎？不同點(diǎn)在哪兒？相同點(diǎn)在哪兒？

預(yù)設(shè)：

不同點(diǎn)：大小、形狀、方向等。（非圖形特征）

相同點(diǎn)：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等。（圖形特征）

（4）在操作中驗(yàn)證特征。

用畫(huà)在方格紙上的平行四邊形或平行四邊形紙片，想辦法驗(yàn)證剛才發(fā)現(xiàn)的一個(gè)或多個(gè)相同點(diǎn)。先獨(dú)立操作，再組內(nèi)交流，最后全班分享。

2. 概括平行四邊形的定義

對(duì)于平行四邊形，學(xué)生并不陌生，早在一年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生就已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了，在生活中與學(xué)習(xí)中，也多有接觸。但對(duì)于平行四邊形，學(xué)生還是停留在整體的感知上，對(duì)于“邊”與“角”的特征雖有一些感覺(jué)，但并未有很深刻的感悟。顯而易見(jiàn)，只通過(guò)觀(guān)察，是很難讓學(xué)生對(duì)平行四邊形的特征有深刻感悟的。本設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)，把心中的平行四邊形展示出來(lái);再通過(guò)比較、驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)平行四邊形的特征有了較深刻的感悟，從而積累了經(jīng)驗(yàn)。毋庸置疑，在本設(shè)計(jì)中，格子圖作用居功至偉。有了格子圖，才能讓學(xué)生較順利地畫(huà)出他們心中的平行四邊形;有了格子圖，才有不同平行四邊形之間的比較，學(xué)生能夠聚焦到平行四邊形的本質(zhì)特征上?？梢赃@樣說(shuō)，正是借助格子圖，才成就了本節(jié)課;借助格子圖中的“格子數(shù)”，才能讓學(xué)生對(duì)形的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)有了思維的抓手。但細(xì)究之，還有一些地方值得商榷：對(duì)于平行四邊形的認(rèn)識(shí)，學(xué)生本來(lái)就有“整體性”，再讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)完整的平行四邊形是否有助于學(xué)生從“整體感知”走向“特征分析”？面面俱到式的觀(guān)察、驗(yàn)證是否有利于學(xué)生對(duì)于特征的深度學(xué)習(xí)？

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)2

1. 找圖形：呈現(xiàn)課本情境圖——電動(dòng)移門(mén)、樓梯扶手、木柵欄

讓學(xué)生找一找、指一指圖片中的平行四邊形，再說(shuō)一說(shuō)在生活中還有哪些地方能見(jiàn)到平行四邊形，抽象出平行四邊形。

2. 同桌合作，用小棒圍平行四邊形

提供5根不同長(zhǎng)度的小棒，6厘米、6厘米、5厘米、4厘米、4厘米。

思考：（1）你準(zhǔn)備選用哪幾根小棒來(lái)圍平行四邊形？（2）想一想，可以圍成幾個(gè)平行四邊形？

3. 匯報(bào)交流

（1）展示學(xué)生不同的作品（圖1）。

（2）觀(guān)察，你們都用了哪幾根小棒來(lái)圍平行四邊形？在圍的時(shí)候要注意些什么？（對(duì)邊要選同樣長(zhǎng)的小棒，對(duì)邊的小棒要擺平行）

（3）我們?cè)趺磥?lái)驗(yàn)證平行四邊形對(duì)邊平行呢？出示圖2。

生驗(yàn)證反饋：左右對(duì)邊之間的距離都是3格。而上下對(duì)邊之間的距離都是兩個(gè)小正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，說(shuō)明兩組對(duì)邊分別平行（平行線(xiàn)之間的距離處處相等）。師借助課件動(dòng)畫(huà)演示（圖3）。

（4）思考：你認(rèn)為平行四邊形有什么特征？

4. 根據(jù)學(xué)生的回答，概括平行四邊形的特征，并歸納平行四邊形的概念

新課標(biāo)指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。通過(guò)學(xué)生自主地觀(guān)察思考、動(dòng)手操作等體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，有助于解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與兒童思維的形象性之間的矛盾，強(qiáng)化概念學(xué)習(xí)。本例中，用標(biāo)有數(shù)量的小棒擺平行四邊形，讓學(xué)生充分利用原有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自主探索認(rèn)識(shí)平行四邊形邊的特征。在這樣的活動(dòng)過(guò)程中，小棒中的“數(shù)量”以及原有表象綜合在一起，共同促進(jìn)學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生的活動(dòng)真正起到了發(fā)現(xiàn)、探究、證明的作用。顯然，擺的活動(dòng)更傾向于“對(duì)邊相等”這一特點(diǎn)的體驗(yàn)，對(duì)于“對(duì)邊平行”支持力度明顯不足。所以本例中，又提供格子圖背景的標(biāo)準(zhǔn)平行四邊形，讓學(xué)生再次觀(guān)察驗(yàn)證，用“數(shù)”來(lái)幫助學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形對(duì)邊相等這一特征。不難發(fā)現(xiàn)，這樣的設(shè)計(jì)，對(duì)于平行四邊形的“對(duì)邊平行”的體驗(yàn)是不夠深刻的，而“對(duì)邊平行”不僅是認(rèn)識(shí)平行四邊形的特征的需要，更是與后繼課梯形的特征直接相關(guān)。

那么如何有效地利用格子圖，以“數(shù)”解“形”，讓學(xué)生自主地深度探究平行四邊形的特征呢？

二、我們的實(shí)踐與思考

（一）借“格”思“形”——從直覺(jué)認(rèn)識(shí)走向具體分析

教學(xué)片段1：

1.由平行四邊形的生活例子引入，抽象出平行四邊形。

2. 出示格子圖（圖4）。

師：老師已在格子圖中畫(huà)了兩條直線(xiàn)（圖4），你能否再補(bǔ)畫(huà)兩條直線(xiàn)，創(chuàng)造出你心中的平行四邊形？

生：能。

師：請(qǐng)你先想象一下，該補(bǔ)畫(huà)怎樣的兩條直線(xiàn)呢？

師：大家已經(jīng)有想法了，那么動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)吧。

范希爾認(rèn)為，兒童一開(kāi)始是通過(guò)整體輪廓辨認(rèn)圖形，能畫(huà)圖或模仿畫(huà)出圖形，初步描述圖形，但無(wú)法通過(guò)圖形的特征或要素名稱(chēng)來(lái)分析圖形，也無(wú)法對(duì)圖形做概括地論述。學(xué)生對(duì)平行四邊形的原有認(rèn)識(shí)也是這樣，具有整體性，能從整體外觀(guān)上判斷一個(gè)圖形“像”還是“不像”平行四邊形。對(duì)平行四邊形中關(guān)于邊的特征“對(duì)邊平行、對(duì)邊相等”這些特征，學(xué)生雖已有很多經(jīng)驗(yàn)，但并未自動(dòng)地作為判斷平行四邊形的理由與思考的方向。教師出示格子圖中的兩條已有直線(xiàn)，讓學(xué)生補(bǔ)畫(huà)兩條直線(xiàn)來(lái)創(chuàng)造平行四邊形，迫使學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的對(duì)平行四邊形的表象與經(jīng)驗(yàn)，觀(guān)察、思考格子圖中的兩條直線(xiàn)的特征，使平行四邊形邊的特征納入學(xué)生主動(dòng)探索的范圍，使學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)知，由模糊的直覺(jué)逐步走向?qū)μ卣鞯姆治觥?/p>

（二）用“格”辨“形”——讓認(rèn)知從朦朧走向數(shù)學(xué)化

教學(xué)片段2：

1. （學(xué)生補(bǔ)畫(huà)后）你都補(bǔ)畫(huà)了幾個(gè)平行四邊形？你是怎么想的？

2. 匯報(bào)展示

①展示作品（圖5），這是你們心中的平行四邊形嗎？請(qǐng)你給大家介紹一下，你補(bǔ)畫(huà)了怎樣的一組直線(xiàn)創(chuàng)造出了平行四邊形？

展示作品（圖6），這也是你們心中的平行四邊形嗎？

師：同學(xué)們，這兩位同學(xué)的方法有什么相同的地方嗎？（前面三個(gè)都補(bǔ)畫(huà)了一組平行線(xiàn)，第4個(gè)補(bǔ)畫(huà)了一組相交線(xiàn)）

師：你們?cè)趺炊枷氲角懊?個(gè)補(bǔ)畫(huà)一組平行線(xiàn)，第4個(gè)補(bǔ)畫(huà)一組相交線(xiàn)來(lái)創(chuàng)造平行四邊形呢？（前面三個(gè)已經(jīng)有一組平行線(xiàn)，所以再補(bǔ)畫(huà)一組平行線(xiàn)即可;第4個(gè)已經(jīng)有一組相交線(xiàn)，所以再補(bǔ)畫(huà)一組相交線(xiàn)就能創(chuàng)造出平行四邊形了）

②展示作品（圖7），這也是你們心目中的平行四邊形嗎？（第4個(gè)不是，前面三個(gè)是）

師：第4個(gè)也是補(bǔ)畫(huà)了一組相交的直線(xiàn)，為什么你們認(rèn)為它就不是平行四邊形了呢？（有一組對(duì)邊不平行）

師：你們?cè)趺粗肋@兩條線(xiàn)是不平行的呢？（這一頭有5格，那一頭有4格，延長(zhǎng)后會(huì)相交）

師：通過(guò)觀(guān)察，你們看出了這兩條直線(xiàn)是不平行的，還有別的方法也能證明它們不平行嗎？（量一量這兩條直線(xiàn)之間的距離）（請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)驗(yàn)證）

師：大家用不同的方法說(shuō)明了這兩條直線(xiàn)不平行，那么這個(gè)就不是一個(gè)平行四邊形了。

師：那這些線(xiàn)要怎樣才能創(chuàng)造出平行四邊形呢？（要平行）

師：你說(shuō)的平行是指哪兩條直線(xiàn)要平行？（左右平行）那上下呢？（也要平行）

③師：你自己畫(huà)的圖形符合你們對(duì)平行四邊形的要求嗎？請(qǐng)大家選擇一個(gè)自己畫(huà)的平行四邊形驗(yàn)證。（學(xué)生驗(yàn)證）

師：看來(lái)，不管原來(lái)有一組平行線(xiàn)還是一組相交線(xiàn)，要?jiǎng)?chuàng)造平行四邊形，都必須要有兩組平行線(xiàn)，兩組平行線(xiàn)相交就能創(chuàng)造出平行四邊形。

弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)作為人類(lèi)的一種活動(dòng)，它的主要特征就是數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化的過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)化就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)片段2中，學(xué)生對(duì)格子圖中的兩條直線(xiàn)的補(bǔ)畫(huà)，實(shí)質(zhì)上就是讓學(xué)生從數(shù)量上來(lái)考察、認(rèn)識(shí)平行四邊形的過(guò)程。在補(bǔ)畫(huà)過(guò)程中，學(xué)生既能直觀(guān)地整體判斷所創(chuàng)造的圖形，又能從數(shù)量上做分析辨別，從而促使學(xué)生不斷地反思、調(diào)整自己對(duì)平行四邊形的認(rèn)知。通過(guò)正例與錯(cuò)例的比較，引導(dǎo)學(xué)生再次對(duì)畫(huà)法進(jìn)行辨別、反思，將學(xué)生的思維引向精致化，幫助他們從整體感知逐步走向數(shù)量分析，進(jìn)而超越經(jīng)驗(yàn)，獲得關(guān)于平行四邊形基本特征的明確認(rèn)識(shí)。這樣的過(guò)程，由表及里，逐步深入，使學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)從朦朧的感覺(jué)走向明朗化、清晰化、數(shù)學(xué)化，從而一步一步地觸及概念的內(nèi)核，形成正確的概念認(rèn)識(shí)。

（三）用“數(shù)”驗(yàn)“形”——讓認(rèn)識(shí)從粗淺走向深入

教學(xué)片段3：

1. 師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的特征，請(qǐng)你們仔細(xì)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有什么特征嗎？（學(xué)生思考）

師：把你們的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)在2號(hào)學(xué)習(xí)單上。你們可以在老師提供的平行四邊形上量一量，來(lái)證明你們的發(fā)現(xiàn)。

2. 反饋交流

生1：我量出這個(gè)平行四邊形的每條邊分別是……所以平行四邊形的對(duì)邊是相等的。

生2：量出每個(gè)角的度數(shù)，所以對(duì)角也是相等的。

師：哪些同學(xué)也有這樣的發(fā)現(xiàn)？

3. 師：剛才我們發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等的特征，是不是所有的平行四邊形都有這樣的特征呢？

老師在幾何畫(huà)板上畫(huà)出了一個(gè)平行四邊形（圖8）。請(qǐng)大家觀(guān)察：對(duì)邊相等嗎？分別是多少厘米？對(duì)角相等嗎？分別是多少度？

變化平行四邊形的形狀后，對(duì)邊、對(duì)角還會(huì)相等嗎？（拖動(dòng)變化如圖9）

你有什么發(fā)現(xiàn)？（不論怎么變，對(duì)邊相等、對(duì)角相等。一個(gè)角的度數(shù)變了，對(duì)角的度數(shù)也跟著變……）

4. 師：看來(lái)所有的平行四邊形從“邊”來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)了對(duì)邊平行也相等的特征，從“角”來(lái)看，發(fā)現(xiàn)了對(duì)角相等的特征（板書(shū)）。

人類(lèi)認(rèn)識(shí)活動(dòng)，總是先接觸個(gè)別事物，而后推及一般，又從一般推及個(gè)別，如此循環(huán)往復(fù)，使認(rèn)識(shí)不斷深化。著名的化學(xué)家門(mén)捷列夫曾說(shuō)：只有通過(guò)從規(guī)律中推出結(jié)果（沒(méi)有規(guī)律就不可能也不能期待結(jié)果），并且在經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)中證實(shí)這些結(jié)果，才能得出這些規(guī)律。顯然，在平行四邊形特征的認(rèn)識(shí)中，讓學(xué)生對(duì)平行四邊形進(jìn)行觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)、操作、驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上得出“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”等結(jié)論僅僅是一個(gè)粗淺的認(rèn)識(shí)。要進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)，還需要提供更豐富的材料，讓學(xué)生建立突出事物共性的、清晰的典型表象。幾何畫(huà)板中提供的可任意拖動(dòng)變化的平行四邊形以及隨之變化的邊與角度的數(shù)據(jù)，極大地豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，讓學(xué)生在觀(guān)察邊、角數(shù)據(jù)的變化中，進(jìn)一步感悟到平行四邊形無(wú)論怎么變，對(duì)邊始終相等、對(duì)角始終相等的特征，甚至更進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角和是180度、四個(gè)內(nèi)角和是360度等知識(shí)。巧妙地提供平行四邊形的邊與角的數(shù)據(jù)，不僅使教學(xué)更加流暢，還讓學(xué)生對(duì)形的認(rèn)識(shí)從粗淺走向深入。

三、反思及聯(lián)想

用數(shù)解形，顯然有利于對(duì)形的深度學(xué)習(xí)。但怎樣利用數(shù)、什么時(shí)候利用數(shù)來(lái)深挖概念本質(zhì)是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。

（一）在感知模糊處結(jié)合“數(shù)”，凸顯“形”之本質(zhì)

形比較直觀(guān)，但正因?yàn)橹庇^(guān)，使學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多了幾分感性，少了幾分理性。然而對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，不僅要從直觀(guān)上知其然，還要從數(shù)理的本質(zhì)上知其所以然。這就離不開(kāi)“數(shù)”的參與。“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”一例中，充分利用格子圖，讓學(xué)生對(duì)“對(duì)邊平行且相等”與“對(duì)角相等”的特征既能從直觀(guān)上得到感知，又能從數(shù)理上解釋所感知的內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)平行四邊形概念本質(zhì)的理解更加清晰、深刻。

小學(xué)教材中對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)，尤其是低段內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教材在編排時(shí)多直觀(guān)、少數(shù)理。人教版二年級(jí)下冊(cè)的“平移與旋轉(zhuǎn)”，教材是這樣編排的：從生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象引入，讓學(xué)生直觀(guān)感知什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)。教師在講平移時(shí)，只能說(shuō)是向上、向下、向各個(gè)方向直直地移動(dòng)。至于什么是直直地移動(dòng)，只能意會(huì)不能言傳了。這樣的編排與教學(xué)，在有助于低年級(jí)學(xué)生直觀(guān)學(xué)習(xí)的同時(shí)，似乎也少了些數(shù)學(xué)的味道，學(xué)生對(duì)概念的感知比較模糊。

怎樣破解？有教師這樣教學(xué)平移。

教學(xué)片段4：

1. 師：這（圖10）是格子板上的一個(gè)箭頭，你能平移一下這個(gè)箭頭嗎？

2. 學(xué)生嘗試后展示學(xué)生作品（圖11）。

師：這些（圖11）都是你們心中的平移嗎？（學(xué)生認(rèn)為前3個(gè)作品是平移，第4個(gè)不是平移）

師質(zhì)疑：為什么說(shuō)第4個(gè)不是平移？

生1：箭頭有點(diǎn)斜了。

生2：頭移動(dòng)了2格，尾巴只移動(dòng)了一格多，頭和尾移動(dòng)的格數(shù)要一樣多。

師：同意他們的觀(guān)點(diǎn)嗎？前面3個(gè)頭和尾移動(dòng)得一樣多嗎？

小結(jié)：看來(lái)，平移就是頭移動(dòng)幾格，尾移動(dòng)同樣的格子。平移時(shí)，可以向上平移，也可以向下平移。

3. 展示左右平移的作品，引導(dǎo)學(xué)生思考這是不是平移。（略）

4. 微視頻：斜著平移箭頭。讓學(xué)生區(qū)別是不是平移？為什么？（略）

這樣的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)平移的認(rèn)知從模糊走向清晰，讓學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知從感性走向理性。顯然，適當(dāng)加入“數(shù)”，更有助于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

（二）在表達(dá)不清處利用“數(shù)”，說(shuō)清概念本質(zhì)

形的直觀(guān)使學(xué)生的思維變得更為感性，然而數(shù)學(xué)概念本質(zhì)相對(duì)抽象，學(xué)生雖通過(guò)觀(guān)察、操作等活動(dòng)，對(duì)隱藏在直觀(guān)的形背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)有感悟，但若缺失從直觀(guān)過(guò)渡到抽象的那一把梯子，就不能很好地把觀(guān)察所得理性地表達(dá)清楚。如在“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”一例中，教師提供了格子背景，使學(xué)生能很快借助格子從數(shù)據(jù)上得出結(jié)論與理由：上下邊長(zhǎng)各是4格，左右邊長(zhǎng)各是3斜邊，所以對(duì)邊相等。又因?yàn)樯舷逻吘嚯x都是3格，左右邊距離都是2對(duì)角線(xiàn)，所以對(duì)邊平行。讓直觀(guān)與理性分析得到完美地整合。又如在“平行與垂直”這一課中，對(duì)看似平行實(shí)則不平行的兩條線(xiàn)的判斷，學(xué)生是很難講清楚的。因?yàn)榻柚皟蓷l直線(xiàn)延長(zhǎng)后不相交”，有時(shí)并非行得通，而且這種外延描述式的概念界定，使學(xué)生很難把握概念的本質(zhì)。有教師據(jù)此，對(duì)“平行與垂直”做如下教學(xué)。

教學(xué)片段5：

在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)相交與不相交后，出示課件（圖12）。

師：老師畫(huà)了兩幅圖（圖12），你們能幫助判斷一下，它們屬于什么情況？

生1：第①組的兩條直線(xiàn)延長(zhǎng)之后不會(huì)相交，第②組的兩條好像不會(huì)相交。

生2：第②組的兩條也不一定呀。

師：老師這里有工具，借用一下，再來(lái)觀(guān)察，它們到底會(huì)不會(huì)相交，為什么？（課件呈現(xiàn)圖13）

生：第②組兩條直線(xiàn)很明顯，原來(lái)空的是兩格，后來(lái)距離變得越來(lái)越近，最后一定會(huì)相交了。

師：如果老師把它們延長(zhǎng)，想象一下會(huì)怎么樣？（學(xué)生思考后，課件演示延長(zhǎng)，圖14）

師：再看第①組，你們憑什么說(shuō)它們不會(huì)相交？

生：因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)之間的距離一直都是兩格，再怎么延長(zhǎng)也不會(huì)相交。

小結(jié)：看來(lái)，在同一張紙上的兩條直線(xiàn)，只要寬度不變，它們就不會(huì)相交，如果寬度有變化，延長(zhǎng)后肯定相交。

通過(guò)格子圖中的數(shù)，讓學(xué)生清楚地表達(dá)出平行線(xiàn)的一個(gè)重要特征：平行線(xiàn)的距離處處相等。通過(guò)數(shù)讓學(xué)生清楚地表達(dá)出形的特征，而語(yǔ)言的清晰表達(dá)，則又鍛煉了學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的深度理解。

（三）在不甚理解時(shí)利用“數(shù)”，感悟概念本質(zhì)

數(shù)量的特點(diǎn)是精確，與形相比，剔除了外在的干擾，易于聚集于問(wèn)題的本質(zhì)。如“角的初步認(rèn)識(shí)”這一課中，教師通過(guò)做活動(dòng)角、比較活動(dòng)角等活動(dòng)，花大量的時(shí)間，力圖讓學(xué)生感悟“角的大小與所畫(huà)邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，與邊叉開(kāi)的大小有關(guān)” 。實(shí)際的結(jié)果卻是，教師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得牽強(qiáng)，仍無(wú)法從根本上讓學(xué)生信服此結(jié)論。究其原因是學(xué)生看到的角是兩邊的長(zhǎng)短，至于兩邊的關(guān)系（叉開(kāi)的大?。┲皇且粋€(gè)模糊的感覺(jué)，所以當(dāng)邊的長(zhǎng)度明顯變化時(shí)，更加刺激了學(xué)生關(guān)注邊的長(zhǎng)度，而非思考邊與邊的關(guān)系。針對(duì)這一問(wèn)題，有教師采用了這樣的設(shè)計(jì)。

教學(xué)片段6：

1. 師：老師在鐘面里畫(huà)了三個(gè)角（圖15），觀(guān)察這三個(gè)角，你想說(shuō)些什么？

生1：第一個(gè)角的開(kāi)口對(duì)著一格，第二個(gè)角的開(kāi)口對(duì)著兩格，第三個(gè)角的開(kāi)口對(duì)著三格，角的開(kāi)口越來(lái)越大了。

生2：第一個(gè)角里面有一個(gè)小角，第二個(gè)角里面有兩個(gè)小角，第三個(gè)角里面有三個(gè)小角。所以第三個(gè)角最大。

師：大家同意嗎？看來(lái)角的兩邊張開(kāi)得越大角就越大。

2. 師：比較這兩個(gè)角（圖16），誰(shuí)大？你是怎么看出來(lái)的？

生：一樣大，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)小角，角的兩邊張開(kāi)得一樣大。

師：哦，角的兩邊張開(kāi)得一樣大，說(shuō)明角的大小一樣。

3. 師：這兩個(gè)角呢（圖17）？

生1：第二個(gè)大，因?yàn)檫@個(gè)角的邊更長(zhǎng)。

生2：不對(duì)。兩個(gè)一樣大。因?yàn)檫@兩個(gè)角都有一個(gè)小角，張開(kāi)的大小是一樣的。

師：大家同意嗎？比較兩個(gè)角的大小，我們要看什么？

小結(jié)：角的大小與角兩邊叉開(kāi)的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。

通過(guò)提供可視、可數(shù)的鐘面小角圖，實(shí)質(zhì)上為學(xué)生提供了可以比較、可以測(cè)量的工具，角的“大小”不再是語(yǔ)言中、手勢(shì)中的“大小”，而是可用“數(shù)”來(lái)描述的“大小”，讓概念的本質(zhì)屬性得以強(qiáng)化，讓學(xué)生的思維有了依靠。“數(shù)”的加入，真正使學(xué)生感悟到了角的“大小”的本質(zhì)。