摘 要:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)指出,學(xué)科素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn),是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。所謂深度學(xué)習(xí),是一種不同于一般意義學(xué)習(xí)方式的理解性學(xué)習(xí),是一種在現(xiàn)象教學(xué)中把已有知識遷移到新問題的解決的學(xué)習(xí)方式,它更注重學(xué)習(xí)方式方法的掌握和運(yùn)用。所以,深度學(xué)習(xí)正是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一把利劍,可以提高學(xué)生解決實際問題的能力,培養(yǎng)他們主動建構(gòu)知識的良好品質(zhì)。
關(guān)鍵詞:深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng);現(xiàn)象教學(xué)
一、問題提出
高中學(xué)生在剛接觸解析幾何時,對于直線與圓這一部分入門級內(nèi)容的學(xué)習(xí),都感覺力不從心。大部分同學(xué)知道直線與圓問題的關(guān)鍵點在于圓心與直線的距離,但在遇到一些解析幾何問題時,仍然沒能看出題中隱藏的直線與圓的問題,當(dāng)然也就得不到解題思路,更不能解決這類問題。這很值得我們深究,為什么學(xué)生會無法發(fā)現(xiàn)問題的指向?從本質(zhì)上說是學(xué)生沒有抓住數(shù)學(xué)現(xiàn)象,進(jìn)行深度思考與學(xué)習(xí),導(dǎo)致數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象這一關(guān)鍵能力沒能得到很好的培養(yǎng)。本文筆者以解析幾何中隱圓的問題來談?wù)劵跀?shù)學(xué)現(xiàn)象的深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的關(guān)系。
二、案例分析
在教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn)如果給出圓的標(biāo)準(zhǔn)式或一般方程式,學(xué)生還是很容易上手的。但很多時候,題目中并沒有出現(xiàn)圓的方程,需要學(xué)生經(jīng)過分析、轉(zhuǎn)化等一系列方法技巧處理,才能發(fā)現(xiàn)是有關(guān)圓的問題,這類隱圓問題對學(xué)生來說就屬于難題了,如何來幫助學(xué)生尋找解答諸如此類的數(shù)學(xué)問題的方法呢?
其實很多數(shù)學(xué)問題的解題關(guān)鍵是善于透過條件現(xiàn)象的表面,深挖其內(nèi)涵,找尋隱含條件,這樣就能打開解題思路。下面我們就來觀察幾種現(xiàn)象,挖掘一下問題的關(guān)鍵,找到隱含圓的條件,發(fā)現(xiàn)那些隱圓。
問題情境1:含有動點P到兩定點距離的平方和為定值的現(xiàn)象
由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是由兩點距離平方后推導(dǎo)而來,所以如果將兩個距離平方后相加,例如:動點P(x,y)與定點A(a,b),B(c,d)的距離平方和為:
PA2+PB2=(x-a)2+(y-b)2+(x-c)2+(y-d)2=
2x2+2y2-(2a+2c)x-(2b+2d)y+(a2+b2+c2+d2)
從這個數(shù)學(xué)現(xiàn)象出發(fā),深入思考后發(fā)現(xiàn)兩個距離的平方和的“形”與圓的一般方程的“形”基本一致,因此我們就可以從方程的觀點出發(fā),讓學(xué)生知道,只要能得到二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,當(dāng)滿足A=C且B=0時,就很有可能表示一個圓,從而就能發(fā)現(xiàn)隱含在題目中的圓了。
例1:D在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點A(0,2),若圓C上存在點P,滿足PA2+PO2=10,則實數(shù)a的取值范圍是? ?。
本題解析:由PA2+PO2=10這個已知條件,可以得知此處隱含了圓,所以設(shè)P(x,y),由PA2+PO2=10,得到二元二次方程x2+(y-2)2+x2+y2=10,整理后得x2+y2-2y-3=10,可見P的軌跡是以N(0,1)為圓心,2為半徑的圓。
又因為P是圓C上一點,即兩圓有交點,得,即,解得實數(shù)a的取值范圍是[0,3]。
情境拓展:一般的,一動點到任意有限多個點的距離平方和等于定值,都可以從代數(shù)式子上發(fā)現(xiàn)隱圓,乃至形如型問題,都可能是隱圓問題,其中C和λi是常數(shù),Ai是定點。
問題情境2:含有動點P到兩定點距離的比值為定值(不為1)的現(xiàn)象
特別的:含有λPA2-μPB2=k的現(xiàn)象中,當(dāng)λPA2-μPB2=0時,即λPA2=μPB2,可得為常數(shù)(圓的第二定義,阿波羅尼斯圓),也是隱圓的常見現(xiàn)象。
例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點O(0,0),A(0,3),圓的方程為:C:(x-a)2+(y-2a+4)2=1,若圓上總存在點P滿足PA=2PO,則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是 。
本題解析:由已知條件PA=2PO,滿足動點P到兩定點距離的比值為定值的現(xiàn)象,所以設(shè)P(x,y),得,得到二元二次方程3x2+3y2+6y-9=0,即x2+(y+1)2=4,得到點P的軌跡是以N(0,-1)為圓心,2為半徑的圓。即P是兩圓的公共點,得,即解得實數(shù)a的取值范圍是。
問題情境3:含有動點P與兩定點所成向量的數(shù)量積為定值的現(xiàn)象
例3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-t,0),B(t,0)(t>0),點P滿足,且點P到直線l:3x-4y+24=0的最小距離為,則實數(shù)t的值是 。
本題解析:設(shè)P(x,y),由,得(x+t,y)·(x-t,y)=8,得到二元二次方程x2-t2+y2=8,即x2+y2=8+t2,可知動點P的軌跡是以O(shè)(0,0)為圓心,為半徑的圓。又由點P到直線l:3x-4y+24=0的最小距離為,又因為O到直線l:3x-4y+24=0的距離為,所以=3,得t=1。
情境拓展:動點P與兩定點所成向量和的模為定值的現(xiàn)象,即,也是隱圓問題。
問題情境4:含有動點P與兩定點所成角為直角的現(xiàn)象
例4.已知圓和兩點,若圓上存在點P,使得 ,則m的取值范圍是 。
本題解析:設(shè)P(x,y),由,得,即,得到二元二次方程,所以點P的軌跡是以O(shè)(0,0)為圓心,m為半徑的圓.即P是兩圓的公共點,得,即,解得實數(shù)m的取值范圍是[4,6]。
情境拓展:動點P與兩定點A、B所成角為定角的現(xiàn)象,即(θ為定值且θ≠90°),則動點P的軌跡是兩段圓弧。
三、深度學(xué)習(xí)導(dǎo)向下,以隱形圓為例培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
(一)通過深度學(xué)習(xí)來培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方式
“深度學(xué)習(xí)”,由瑞典學(xué)者費倫斯·馬頓和羅杰·薩爾喬1979年在《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別:結(jié)果與過程》一書中首次提出,它是指“學(xué)習(xí)者以高級思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標(biāo)”的一種學(xué)習(xí)方式,而這種方式恰恰適應(yīng)了我們新課標(biāo)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的需求。新課標(biāo)將直線與圓調(diào)整到選擇性必修的平面解析幾何中,讓直線、圓、橢圓、拋物線等連貫到一起,集中學(xué)習(xí),學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何時循序漸進(jìn)、逐步深入,緊扣“四基”,提升“四能”,培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”。我們要鼓勵學(xué)生從已有的舊知圓的基本形象出發(fā),從直觀幾何到抽象代數(shù),積極主動地學(xué)習(xí)新知,批判性地接受新知,從而把新知納入已有知識體系,進(jìn)而達(dá)到縱向遷移的最終目的,讓數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué),讓萬物皆數(shù)的思想延伸并實際化,從而為提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)揮作用。
(二)立足概念本質(zhì)的深度學(xué)習(xí),引導(dǎo)直觀想象,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
古代埃及人認(rèn)為:圓,是神賜給人的神圣圖形。這個神圣的圖形,在自然界和我們的日常生活中普遍存在,它是一個看似簡單卻又奇妙的圖形。早在兩千多年前,墨子就給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個中心(即圓心),圓心到圓周上各點的距離(即半徑)都相等。這個定義一直沿用到現(xiàn)在,而且我們對圓的研究也從未停歇。這些概念學(xué)生已爛熟于心,但我們無法確信他們是淺層次的記憶,還是通過積極主動的思考、勇敢努力的嘗試形成的,但獲得概念的方式必將影響進(jìn)一步的深層學(xué)習(xí)。
由圓的定義,我們可以通過兩點的距離公式來推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)為圓心坐標(biāo),r為半徑。
基于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2這個代數(shù)式的直觀現(xiàn)象,我們很容易推導(dǎo)出圓的一般方程的形式,即x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圓心坐標(biāo)為,半徑。
在圓的方程的學(xué)習(xí)中,我們要讓學(xué)生親身嘗試發(fā)現(xiàn),要從數(shù)學(xué)定義出發(fā),再到形的辨識和理解,才是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的整個過程,當(dāng)對這類概念的本質(zhì)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)后,學(xué)生很容易產(chǎn)生直觀想象,以后凡看到二元二次的形式,便會抽象出數(shù)學(xué)中圓方程的形象,所以這個概念的學(xué)習(xí)完全可以由學(xué)生通過自我深度學(xué)習(xí)完成。
(三)立足性質(zhì)探究的深度學(xué)習(xí),提升邏輯推理,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算
在有了概念的深入理解后,我們就應(yīng)該通過對于性質(zhì)的探究性深度學(xué)習(xí)去提高學(xué)生的邏輯推理能力。比如:在學(xué)習(xí)圓方程式,思維不應(yīng)只局限在一個直觀而形象的圓上,而應(yīng)拓寬學(xué)生的思維,用探究的方式引發(fā)他們的積極思考,多提問,大膽設(shè)想,讓學(xué)生去驗證。在此過程中,當(dāng)學(xué)生奔著某一目標(biāo)大膽追尋時,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力也就在潛移默化中得到優(yōu)化,直至熟練掌握運(yùn)算技巧,以期發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
在問題1中,變式思考:若條件改為2PA2+PO2=10,P的軌跡是否依然是圓?學(xué)生不斷嘗試、探索,通過簡單的推理運(yùn)算,就可以發(fā)現(xiàn)P的軌跡是圓。
引導(dǎo)學(xué)生對此性質(zhì)進(jìn)行推廣,從而自主得到含有λPA2+μPB2=k的現(xiàn)象和含有λPA2-μPB2=k的現(xiàn)象可以本質(zhì)性地劃歸為一類問題。由此問題2中的性質(zhì)就水到渠成了。
(四)立足多角度分析問題的深度學(xué)習(xí),學(xué)會數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析
問題3中涉及向量數(shù)量積的這一概念時,我們要引領(lǐng)學(xué)生多角度地分析問題,不能僅僅停留在向量數(shù)量積的表面,而應(yīng)讓學(xué)生多角度分析問題,結(jié)合上面隱形圓的經(jīng)驗,就不難發(fā)現(xiàn)動點P(x,y)與定點A(a,b),B(c,d)的向量數(shù)量積為:=(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=x2+y2-(a-c)x-(b+d)x+ac+bd,顯然展開后的“形”與圓的一般方程的“形”又是基本一致,因此我們就可以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象也是隱含了圓。
問題4表面上是一道解三角形的數(shù)學(xué)問題,但題中關(guān)鍵信息是APB=90°,出現(xiàn)定角,也是隱圓現(xiàn)象。
變式:在三角形ABC中,AB=2,ACB=60°,則三角形面積的最大值是 。
如圖:以AB邊為x軸,以AB中點為原點,建立直角坐標(biāo)系,由圓周角的特性及,可以發(fā)現(xiàn)點C在定圓的圓周上運(yùn)動,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)三角形是等腰三角形時,面積最大。
根據(jù)數(shù)學(xué)題目展示的條件現(xiàn)象,尋找解題的方法,比尋找題目的答案更重要。在核心素養(yǎng)之下,解法也不是最重要的,讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題,觀察世界,根據(jù)問題所給出的現(xiàn)象,從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,解決數(shù)學(xué)問題,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,形成數(shù)學(xué)的眼光和思維,才是我們數(shù)學(xué)的真正核心所在。
結(jié)束語
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可僅局限于有限的學(xué)校學(xué)習(xí),它應(yīng)該是一種終身學(xué)習(xí)。學(xué)校學(xué)習(xí)中我們應(yīng)盡可能地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng),為以后人們所遇到的問題可能是數(shù)學(xué)問題,也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題做好準(zhǔn)備。而只有具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才能從數(shù)學(xué)的角度看待問題,用數(shù)學(xué)的思維方法思考問題,用數(shù)學(xué)的方法解決問題,這才是我們數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo),我們所需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關(guān)心思考的市民的需要而具備的認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位的能力,做出數(shù)學(xué)判斷的能力,以及參與數(shù)學(xué)活動的能力。而所有的這些能力,只有在深度學(xué)習(xí)中才有可能被習(xí)得,被遷移。所以,通過深度學(xué)習(xí),讓學(xué)生能從現(xiàn)象中提出問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,在分析和解決問題的過程中提高數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的能力,通過熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析技能,把生活中所需要的問題抽象成數(shù)學(xué)問題,直觀想象,進(jìn)而解決實際問題,讓數(shù)學(xué)源于生活而高于生活。
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作者簡介:陳國仙(1982—),男,漢族,江蘇蘇州人,蘇州市吳江高級中學(xué),中學(xué)一級教師,學(xué)士學(xué)位,研究方向:基于學(xué)生為主體的理念,進(jìn)行教學(xué)實踐與解題策略研究。
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